Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 149

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

3 2 0

 

К А Н О Н И Ч Е С К И Е

Ф ОРМ Ы У Р А В Н Е Н И Й

ІГЛ. X I I

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bf0] =

т0 'ф/,

 

 

ЬУ] =

 

 

 

аь1Я

 

),

— («г'Ѵ0/01 + *i‘V —j t----Н то ХтуЬ1^

= - Ы

Ѵ

Р

dxp

^ 2]) ^ 01 +

] + (2 ^

+

+

[i]

 

 

dt

+ 4 ’V

^

f +

Щ

 

 

+ то

 

 

 

 

д№

 

 

ті (— ЬУ] + *2 V6/01 + >4‘V - j f ) + ™i‘V /° ]

В соответствии

с этим

 

 

(2.26)

 

 

 

 

 

Ч>/5]

=

ЦоЬ[,м

( £ = 0 , 1 , 2 , . . . ) .

(2-27)

Рекуррентные соотношения (2.27) и (2.26) позволяют последовательно определить члены формальных рядов (2.21). Тем самым теорема доказана.

Коэффициенты уравнений (2.20) представлены в форме

рядов.

Удерживая в этих

рядах

члены, содержащие в

в степени не выше

т (т >

0), получим

приближенно пре­

образованную систему

 

 

 

 

d%

Yi e*a i£J

dzo

V7 I 6 a2o 2o =

У е Ч ій і -М .1Г11)

dt* +

dt

 

А=1

 

*=0

k=0

 

(ФІ 1 =

0 , a

= l , 2 ,

. . . ,

p).

§ 3. Уравнения управляемого процесса в канонической форме

Рассмотрим систему автоматического управления с ли­ нейным объектом, который описывается уравнением

К (0 + т1(t)]

+ г (0

+ [і0 (О ~Ь іа (і)] Я ~ а (О о + ф (О*

 

 

(3.1)

Здесь q — столбцовая матрица (типа п х 1) обобщенных координат объекта управления; ср — столбцовая матрица

§ 3]

У Р А В Н Е Н И Я У П Р А В Л Я Е М О Г О П Р О Ц Е С С А

321

внешних

возмущений; б — матрица (типа / х 1)

управля­

ющих воздействий; rn0,mltг, 10, Іг— квадратные матрицы порядка п, а а — матрица типа п х /.

Результаты, полученные в § 2, непосредственно приме­ нимы к уравнению (3.1). Для этого нужно лишь в формулах (2.26) векторную функцию ср0 заменить функцией йб + ф.

положить равной 0 и в выражениях коэффициентов при­ нять е = 1.

Этим путем, удерживая в уравнениях члены, содержа­ щие е в степени не выше первой, получим преобразованную систему уравнений регулируемого объекта в виде

 

~dF~ +

“ l® ~1Г + (а ° +

“ 2а ) 2а = Р а ( б[0] + 6С‘])

(3.2)

 

 

 

 

 

 

 

( 0 = 1 , 2 ,

. . . , р),

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а 1а^ =

ра

0

ГХа -р 2

—j -р (Хст7іаа — <7іаа&ст>

 

 

а 2 а

—

—

 

р а й ? о

 

( П І ^ Х а С С о

—

/ j X CT) - р С С ^ ^ а а — (j2oo&Or

 

 

 

 

 

 

 

Ьт =

шо“1(аб -р ф),

 

= — (>41]р +

т Г '/д )

іщ 1(йб +

ф ) — ирр/лГ1[a ~sf + 4

" ^ ) •

В случае,

когда

векторная

функция йб мала, полагая

Ф0 =

ф и фА=

 

йб, будем иметь

 

 

d2za

,

[ 1 ]

^ 2 о

.

,

,

[ 1 ] ,

 

 

—jjß

р a w

 

 

р

( С С а - р

С С 2 а

) Za =

 

 

=

Ра [ö0 — ( 4 ‘Ѵ +

 

 

т г ‘ф] — Ki'W iT1

(3-3)

 

 

 

 

 

 

 

(а =

1,2,

р).

 

Преобразованные уравнения объекта управления имеют более простой вид, поскольку левая часть системы оказы­ вается расщепленной и связь между подсистемами полной системы сохраняется только через матрицу б в правой час­ ти системы. Такая система более удобна при всевозможных исследованиях, в частности при моделировании на анало­ говых машинах.

П р и м е ч а н и е . При замене переменных желатель­ но, чтобы норма вектора z<s совпадала бы или же мало

11 К. А. Абгаряы

322

К А Н О Н И Ч Е С К И Е Ф ОРМ Ы У Р А В Н Е Н И Й

[ГЛ X II

отличалась от нормы вектора qa. Этого можно достичь так. Пусть

qa =

^ — )- (Кг, -(- EJCIJCT) za

(3-4)

— вектор, который при е == 1 представляет приближенное решение системы (3.1), соответствующее решению га систе­ мы (3.2) или (3.3). Квадрат нормы этого вектора равен

d z ’0

tfoQo —^gXgXgZg

d t

J.U*

.

* • [1]

dza

+

а

Ко?а +

ZoXaXio1

d t

 

 

~ Ь Z(jXoX2oZg -j- ZQX 2a XQZQ ) —|—E2

• • •

Матрица ха всегда может быть выбрана так, что

 

 

 

 

=

 

Еha.

(3.5)

Используя произвол, имеющийся в выборе матриц q^0,

можно добиться выполнения

 

равенств

 

 

х'ах\о] — 0

 

 

(і =

1,2).

(3.6)

Действительно,

 

 

 

 

ЛП

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<?/1СГ

 

 

 

 

 

 

 

 

Л 1 ]

Р

 

Хах\а]

Ха (х2Х2

Хр)

 

 

Q i 2С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

ДП

_

 

или, учитывая

(3.5), получим

Я і р о

 

 

 

 

 

 

 

И\Л>] _

ЛП

I

 

у

V V ЛЧ

 

 

Л0 Л/0 —

Ціаа

“Г

 

~ - 1

^sVIsa-

 

 

 

 

 

 

 

s+ o

 

 

Отсюда ясно, что равенства (3.6) будут иметь место, если

принять

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЧДЧю а -—

__ кМ

 

ZУj у,л[|]v i s a -

 

 

 

 

 

 

S Фо

 

 

Тогда

ЯаЯо = z"aZa + 62 . . . ,

т. е. с точностью до членов, содержащих е2, норма векторов при преобразовании (3.4) сохраняется.

Г л а в а XIII

КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ

§ 1. Метризация векторного пространства

Рассмотрим векторное пространство R над полем комп­ лексных чисел ді, в котором введена бинарная операция, ставящая каждой паре х, у векторов из R в соответствие скаляр (х, у) — скалярное произведение а: и у , причем для любых векторов х, у, z из R и любого комплексного числа

аиз дъ

1)[х,у) = (у,х) (эрмитова симметрия),

2)(ах, у) — а (х, у) (ассоциативный закон),

3)(х + у, г) = (х, z) -f- (у, z) (дистрибутивный закон).

Если для векторов пространства R определена бинар­ ная операция со свойствами I) — 3), то говорят, что в R

внесена эрмитова метрика.

Из 2) и 3) следует еще:

2')

(х,ау) = а (х ,у ),

3')

(X, у + z) = (л:, у) + (х, z ).

Если для любого вектора х из R

4)

(х, х) > О,

то эрмитова метрика называется неотрицательной. При выполнении же дополнительного условия

5)

( х ,х ) > 0

(х=/=0)

эрмитова метрика называется положительно определенной. Векторное пространство с положительно определенной эрмитовой метрикой называется унитарным пространством.

И*

Смотрите также файлы