Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

ресекает поверхность (4.1) один раз при значении парамет­ ра s = р. Действительно,

Р2 = ( ± G“ '' (t) Ga (t) S, ± GT1(t) Ga(t) s) = s2.

Точки пересечения этих лучей с поверхностью (4.1) на­

порожденная какой-нибудь парой столбцов матрицы G, пересекается с поверхностью (4.1) по эллипсу, описываемо­ му уравнениями

X = G(S; -j- GjSj, Si s] = p2. (4.2)

Лучи G£st и GjSj расположены симметрично относитель­ но главных осей эллипса (4.2) и направлены по диагоналям

ее ра-трубкой), каждое сечение которой гиперплоскостью t — і* представляет собой эллипсоид с указанными выше свойствами (рис. 14.3). С течением времени может меняться

5 5] Ф У Н К Ц И И Л Я П У Н О В А ЗѲ 7

меры его полуосей), по при этом строго определенные зна­

которые в момент t0 находились внутри или на поверхности этой трубки. Вели же такой ри-трубки не существует, то процесс неустойчив.

§ 5. Функции Ляпунова

Все способы решения задач устойчивости могут быть раз­ биты на две категории. К первой категории относятся те способы, которые основаны на определении общего или частного решения уравнений возмущенного процесса. Сово­ купность всех способов первой категории Ляпунов назвал первым методом. При исследовании устойчивости по перво­ му методу центральным является вопрос об интегрировании уравнений возмущенного процесса. Если удается проинте­ грировать эти уравнения, то исследование устойчивости да­ лее уже не представляет серьезных трудностей.

Ко второй категории относятся те способы, которые не требуют нахождения частных или общих решений уравнений возмущенного процесса. Совокупность всех способов вто­ рой категории Ляпунов назвал вторым или прямым ме­ тодом.

Прямой метод основан на применении некоторых вспо­ могательных функций, определенных в окрестности начала координат и обладающих специфическими свойствами.

Введем в рассмотрение скалярную функцию V (х), опре­ деленную при

Относительно этих функций будем всегда предполагать, что они однозначны, обращаются в нуль при х = 0 и обла­ дают непрерывными частными производными.

Функция V (а) называется знакоопределенной (положи­ тельно определенной или отрицательно определенной), если она при условии (5.1), где d — достаточно малое положи­ тельное число, может принимать значения только одного определенного знака и обращается в нуль только при а- = 0.

Функция V (а ) называется знакопостоянной (положи­ тельной или отрицательной), если она в области (5.1) может

Рис. 14.4.

принимать значения только одного определенного знака,

При с = 0, как это следует из определения знакоопределен­ ной функции, а = 0, т. е. поверхность V — с при с = 0 вырождается в точку (в начало координат).

Покажем, что при достаточно малом с поверхность (5.3) будет замкнутой поверхностью, содержащей внутри себя начало координат.

На границе области (5.1) функция V, будучи непрерыв­ ной функцией, достигает своей нижней грани а, так что на

Произвольно выбранной непрерывной кривой у соединим начало координат с какой-нибудь точкой границы области (5.1) и проследим за изменением функции V вдоль этой кри­ вой. В начале координат У обращается в нуль, а на границе области (5.1) принимает значение, не меньшее, чем а. Зна­

замкнутой и окружает начало координат.

Если изменить с от нуля до некоторого достаточно мало­ го значения, то получим семейство замкнутых поверхностей, каждое из которых соответствует определенному значению с. На данной замкнутой поверхности V имеет постоянное значение, равное соответствующему значению с. Никакие две замкнутые поверхности не могут пересекаться друг с другом, в противном случае на линии пересечения этих поверхностей функция V должна была бы принять два раз­ ных значения, что невозможно в силу предполагаемой одно­

висящая от ( положительно определенная функция. Функ­ ция V (/, х) называется отрицательно определенной, если она при том же условии удовлетворяет неравенству

V (t, х) < — W (х).

Функция V (t, х) называется знакопостоянной, если в области (5.2) она может принимать значения только одного определенного знака и может обращаться в нуль и при