Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 124

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г л а в а XV

НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОЦЕС­ СОВ НА ЗАДАННОМ ПРОМЕЖУТКЕ ВРЕМЕНИ

§1. Оценка нормы решения линейной системы

1.1.Неравенства Важевского. Пусть х (t) — произволь ное решение линейного дифференциального уравнения

-2Г = ^ (0 *

(1-1)

с непрерывной на [/„, Т) матрицей U. Оценим норму этого решения.

Переходя в (1.1) к эрмитово сопряженным матрицам, имеем

=

( 1. 2)

Умножая (1.1) слева на х*, а (1.2) справа на х и склады­ вая результаты, получим дифференциальное уравнение отно­ сительно нормы столбцовой матрицы х:

 

d IMP

— 2x*Sx,

 

dt

 

 

где 5 =

1/2 (U + U*) — эрмитова

матрица.

Для

эрмитовой формы

х*5х имеет место оценка (см.

гл. XIII,

§ 6)

 

 

 

^min (О I Х||2 < X*S (t) X <

Xmi„ (t) IX f,

где A.min и A,max — соответственно минимальное и максималь­ ное собственные значения матрицы 5. Учитывая это, нахо­ дим

2Amin||x f < І М - < 2 Я , 11ах||х||а.

§ 1] О Ц Е Н К А Н О РМ Ы Р Е Ш Е Н И Я

Л И Н Е Й Н О Й С И С Т Е М Ы

371

Интегрируя последнее соотношение в пределах от t0 до

t, получим

неравенства

 

 

 

I

t

 

I -X(t0) I exp

j ^rain (т) dr < IIX (t) II <

IIX ( g II exp j Xmax(r) dr, (1.3)

именуемые часто неравенствами Важевского [82].

Оценка (1.3) нормы решения дифференциальной системы (1.1), вообще говоря, тем лучше, чем «ближе» матрица U

кдиагональной. Это наводит на мысль, что оценка нормы решения может быть улучшена, если прибегнуть к такому преобразованию, которое «приблизило» бы матрицу системы

кдиагональной матрице (а еще лучше, разумеется, если преобразованная система будет иметь диагональную матри­ цу). Ниже делается попытка улучшения оценки нормы ре­ шения дифференциальной системы указанным путем.

1.2.Две леммы о собственных значениях эрмитовой мат­

рицы.

Ле м м а 1.1. Для того чтобы эрмитова матрица А (порядка п) была представима в виде

А — В*В,

(1.4)

где В — некоторая, вообще говоря, прямоугольная п X т- матрица, необходимо и достаточно, чтобы она не имела отрицательных собственных значений.

Н е о б х о д и м о с т ь . Матрица А, как эрмитова мат­ рица, имеет только вещественные собственные значения. Покажем, что все собственные значения матрицы А неотри­

цательны.

форма х*В*Вх,

где

х — произвольная

п X

Эрмитова

X 1-матрица,

представляет собой

квадрат эрмитовой

нор­

мы столбцовой матрицы Вх,

и потому

 

 

х*Ах — х*В*Вх > 0 .

(1.5)

Через Т обозначим унитарную матрицу (Т * = Л-1), которая преобразует эрмитову матрицу А к диагональному виду D (D = diag (р1; р2, ..., рл), р;- — собственные значе­ ния матрицы А). Тогда

А = T ~ XDT — T*DT.

(1.6)

Подставив (1.6) в (1.5), получаем

z*Dz > О,

(1-7)

372

Н Е К О Т О Р Ы Е У С Л О В И Я У С Т О Й Ч И В О С Т И

[ГЛ . X V

где

 

 

 

 

 

z — Тх =

 

 

 

Учитывая (1.7), имеем

 

 

 

 

І і

р/1 г, I2 > 0.

 

 

 

/=і

 

 

zf тог­

 

Последнее соотношение справедливо при любых

да и только тогда, когда

 

 

 

 

Р /> 0

( /= 1, 2,

, п).

(1.8)

Д о с т а т о ч н о с т ь .

Пусть

выполняется

условие

(1.8). Тогда в качестве матрицы В можно принять матрицу

0 ‘

Ѵ р„

При этом, как это следует из равенства (1.6), В*В = А. Лемма доказана.

Л е м м а 1.2. Пусть А (і)— эрмитова матрица по­ рядка и, допускающая на промежутке /0 < / < Т разложе­ ние

А = В*В, где В — квадратная матрица того же порядка п, причем

1)

В (t) ограничена на [/„, Т), /п. е.

 

 

 

sup IIS (0 1 < оо

(t £

[tQ,

Т)),

2)

|d e t S ( 0 |> a > 0

(t £

[t0,

T)).

Тогда собственные значения матрицы А на промежутке [t0, Т) ограничены снизу некоторой положительной постоян­ ной, т. е.

Pi (t )> d> 0

(t£[t0,T)).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Определитель квадратной матрицы равен произведению всех ее собственных значений

$ 1] О Ц Е Н К А Н О Р М Ы Р Е Ш Е Н И Я Л И Н Е Й Н О Й С И С Т Е М Ы

3 7 3

(с учетом

их

кратностей):

П

 

 

 

 

 

 

 

det А (t) =

р/ (t)

 

 

 

 

 

П

 

 

(см. гл. IV, § 6).

 

 

 

 

 

 

неот­

По лемме 1.1 собственные значения ps матрицы А

рицательны,

поэтому и

 

 

 

 

 

 

 

 

I det А (01 =

П

р,(/).

 

 

При условиях леммы

/=і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I det ЛI =

I det ß* det Л j = | detß |2 > a 2> 0

(t £ [t0, T)).

Значит,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П P/ (0 >

a2 > 0.

 

(1.9)

 

 

 

 

/=i

 

 

 

 

 

Учитывая ограниченность нормы матрицы В, находим

P;<H||<||ß*||||ß||<JV<cx>

(t£[t0,T))

(1.10)

(N — положительная

постоянная).

 

 

 

 

Пусть

 

Pmin — min (Pj, Р2 ,

• • •

, Рл)-

 

 

 

 

Тогда, принимая во внимание (1.10), получим

 

 

 

 

П рД гХ Рты Л Г -1.

 

(1.11)

 

 

 

/= 1

 

 

 

 

 

Сопоставляя неравенства (1.9) и (1.11),

получаем

 

Отсюда

 

 

PminWn- 1> a 2> 0 .

 

 

 

Ршіп(0 >ä>0

(t £[f0, °°)),

 

где d, =

 

 

a2 ---- положительная постоянная.

 

Лемма доказана.

 

 

 

 

 

 

1.3.

Еще одна

оценка. Рассмотрим линейное преобразо­

вание

 

 

 

x = K ( t) y ,

 

 

 

(1.12)

 

 

 

 

 

 

 

матрица которого обладает следующими свойствами:

 

1) К (t)

и

-jj-

ограничены

на

промежутке \ta, Т), т. е.

sup!Я

ю

н ­

о е .

sup ак

<

оо

(‘ е ^о, т}),

 

 

 

 

 

(

dt

 

 

 

 

3 7 4

Н Е К О Т О Р Ы Е

У С Л О В И Я У С Т О Й Ч И В О С Т И

[ГЛ. X V

2) I det К (О I > а >

0

(t £ [t0, Т), а — некоторая поло­

жительная постоянная).

 

 

Заметим, что если свойства 1) и 2) выполняются на про­

межутке

Н0, оо), то К (0

называется матрицей

Ляпунова,

а преобразование (1.12) при этом называется преобразова­ нием Ляпунова.

Допустим, что с помощью преобразования (1.12) уравне­

ние (1.1) приводится к виду

 

■%- = Л (% .

(М 3)

Оценим норму решения х (t) уравнения (1.1), удовлетво­ ряющего начальному условию

*(*о) = По­

этому решению соответствует решение у (t) уравнения (1.13), отвечающее начальному условию

У ІК) =

0о = Я -1 (*о)Не­

согласно (1.12)

= у*К*Ку.

II x f

Отсюда, учитывая, что

Pmin fl У||2 ^

У*К*Ку Ртах ||У||2,

где Ртіп и ртах — соответственно наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы К*К, находим

 

I^Pmin IIУ К

IIх II ^ V Ртах IIУ II

(1-14)

(по лемме 1.2 pmin, ртах >

d > 0).

 

 

Норма

решения у (/)

уравнения (1.13)

удовлетворяет

неравенствам

 

 

 

t

 

 

 

 

ІУоІІехр j

(Ä,min “f" ^min) dx

Iу I

 

 

 

 

t

 

 

 

<1Ы 1ехр J (Я.max

^max)dx,

(1.15)

где Xmin, \ max — соответственно минимальное и максималь­ ное собственные значения матрицы Ѵ2 (Л + Л*), а ѵтіП. ѵтах — соответственно минимальное и максимальное собст­ венные значения матрицы Ѵ2 (Я + Я*). Неравенства (1.15) устанавливаются тем лее путем, что и неравенства (1.3).

Смотрите также файлы