Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

§ 2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АВТОМОРФНЫХ ФОРМ I I ФУНКЦИЙ

49

следовательно, /

| [—о"];{ =

—/ | [о1];,;

если к четно,

то

действие

[—а]к совпадает

с действием

[ о ] й .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

2.1. Пусть к —• целое

число. Функция

/

на полу­

(i) функция f м.ероморфна на ,£>;

(ii)

для

всех

у 6 Г имеет место

равенство

f \ ly]h

= /;

(Ш)

функция

f

мероморфна

в

каждой параболической точке

группы

Г

ТОЧНЫЙ

смысл

последнего

условия таков.

Прежде

всего, оно

Возьмем

такой

элемент

р

из

SL 2 (R),

чтобы

p(s) =

оо. Положив

T s

=

{у

6 Г

I y(s)

= s }>

мы

получим

равенство

ргV 4 ± i } = { ±

I т

6

в котором h — некоторое

положительное

вещественное число. В свете

условия

(ii) функция

/

| [р- 1 ]ь инвариантна относительно

[o]k

при

любом а 6 рГгР- 1

СЛУЧАЙ I

: число к четно. Та'.;, как

функция

/| [р - 1 ];, инвариантна

относительно

сдвига

zv-*

z

h,

существует

такая

мероморфиая

в

области

0 <

| (7 | <

г (при некотором положительном веществен-

ном г) функция Ф(д), что

/

I [р"1 ]* =

Ф(в2яй/Л).

В

этом

случае

условие

(ш) означает,

что

Ф(д)

мероморфна

в

точке

q

=

0.

СЛУЧАЙ

I I : число к нечетно. Если Г содержит — 1 , то из

условия

(ii) следует равенство / =

—/ н, таким образом, не существует

авто­

морфной

формы

веса

к,

отличной

от

0.

Поэтому

предположим, что

1 £ Г. Тогда рГ„р - 1 порождается

или матрицей

"1

li

, пли матри-

0

1

цеи

1

К

. В

зависимости

от того,

какой нз

этих

случаев имеет

0

1

место, мы говорим, что

точка

s регулярна

или

нерегулярна.

Если s

ренном

выше

случае

I . Если же точка

s нерегулярна, то функция

g(z) =

/ I [р-1 ]/*

удовлетворяет условию

g(z + Щ =

—g(z)

и,

следо­

вательно, g(z

+

2/г) =

g(z). Условие (iii) означает

тогда,

что

суще-

50

ГЛ. 2.

АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ

I I ФУНКЦИИ

ствует

такая мероморфная в

окрестности

нуля функция х ¥, что

/ I

[p-4h

= Ще**«к).

Функция х¥ должна

быть

нечетной.

=

оо. Классификация

точек s иа регулярные и нерегулярные также

не

зависит от

выэора

р.

ЗАМЕЧАНИЕ

2 . 3 . Если приведенное выше условие выполняется

параболической точке, эквивалентной s относительно Г.

Проверка

этих фактов непосредственна, и мы оставляем ее читателю.

Выражение функции

/| [ p - 1 ] / t

в

виде

степенного

ряда

от

е2ли'и

или от ел ! г /'1 часто

называется разложением

Фурье

функции

/ в точке

s; оно имеет вид

/ Ц р " 1 ] ; ^

2

с„е2 я ""<'А .

Коэффициенты

п>-п0

естественно,

сп

называются,

коэффициентами

Фурье.

Еслп

к = 0,

то в

силу

определения

комплексной

структуры

на Г\§* очевидно, что функция

/ удовлетворяет

приведенным

выше условиям тогда и только тогда, когда / по существу

является

мероморфной функцией

иа

Г\.<д* 1 ) . Таким

образом,

автоморфная

функция

относительно

группы

Г

является

автоморфиоп

формой

веса 0 относительно Г, и обратно.

Обозначим через Ah(T)

множество всех автоморфиых

форм веса /с

сительно Г. Далее, обозначим через

Gh(T) множество

всех тех / £

6 Ah (Г), которые голоморфны па §

и для которых в каждой пара­

болической точке функции Ф или ХУ из данного выше

определения

ле

координат,

т. е. коэффициенты Фурье сп равпы

0 при

п <С 0.

Элементы множества Gh(T)

(соответственно множества Sti(T))

назы­

ваются целыми формами (соответственно

параболическими формами)

веса /с относительно Г. Если у группы Г пет параболических

точек,

то

Gh(T) = Sh(T).

(В

этом

случае термин «параболическая

форма»

не

нужен и,

возможно, вносит некоторую путаницу; однако часто

он

оказывается

удобным.)

1 ) Т о есть /

(у

(z)) = /

(z), у

£ Г,

z g !р, а отвечающая / в силу этого

условия

инвариантности

функция

иа

Г \ §

допускает

мероморфпое

продолжение па

Г \ § * . — Прим.

ред.

§ 2 . 1 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ АВТОМОРФНЫХ ФОРМ И ФУНКЦИЙ

51

Если Г — главная коигруэнц-подгруппа в SL2 (Z) уровня

N,

обычно называются модулярными

функциями

(соответственно

форма­

ми) уровня

N.

Возвращаясь к общему случаю, мы легко замечаем, что

(2.1.1а)

feAk{T),

geAm(T)

=Ф

f-g€Ah+m(T);

(2.1.16)

/

€ Ск (Г),

g

6 бт(Г)

=Ф 1-g

6

Glt+m(T);

(2.1.1B)

/

е sh(T),

g

е s m ( n

=Ф

е

sh+n(V).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. Пусть

Г'

— подгруппа

в SL2 (R) и а — такой

элемент из GI4(R), что ссГа- 1 является подгруппой конечного

индекса

в Г'. Тогда

отображение

/>-> / | la]h дает

С-линейное

вложение мно­

жества

Ah(T')

(соответственно Gk(T'),

Sh(T'))

в Л|,(Г)

(соответственно

в Gh(T),

Sh(T)),

являющееся

сюръективным

при Г' =

а Г а - 1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

S (соответственно ©')

— мно­

Тогда а(Ё) = ®',

и

утверждение следует непосредственно из

опре­

деления.

Положим

=

£3 U (£'. Тогда коммутативна следующая

диа­

грамма:

£*

» £*'

I

I

i

Та

I

Г\.§*

•

Г'\£*'

при

некотором

голоморфном

отображении

Та.

В частности,

если

аГсс- 1 = Г,

то

Та — бирегулярный

автоморфизм

пространства

Г\£>*, соответствующий автоморфизму

/> — » - /° а

поля ^10 (Г).

Пусть А — подгруппа конечного индекса группы Г. Отождествим

А0(Т)

(соответственно

^40 (А))

с полем

всех мероморфных

функций

на

Г\)§* (соответственно

на

Д \ ; § * ) .

Как

было замечено в § 1.5,

факторпростраиство

A\SQ*

является

накрытием

степени

[Г : А]

пространства

Г\^*,

так

что

поле

А0(А)

является

алгебраическим

расширением

степени

[Г : А]

поля

^4о(Г).

Предположим, что

А —

Г). Тогда, очевидно, поле А0(А)

окажется расширением Галуа поля

Л0 (Г) и группа

Gal(^0 (А)/А0 (Г))

будет

изоморфна Г/А.

Г конечного

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

2.5. Пусть

Г' — подгруппа

группы

индекса и % — подполе

поля

/10 (Г'), содержащее

^4о(Г) и

обладающее

следующим

свойством:

(С) если

а С Г

и

/ о а

= /

для

всех / €

т о

а € Г'.

В этом случае g

=

А0(Т').