Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл (14,38Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 115

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 1.6. КОНГРУЭНЦ-ПОДГРУППЫ В SL2 (Z)

[Г-

: о]11Т'ак

f] Tz]

и Г

|] Г'а,,Г2

(объединение

разделенное

л=1

частности,

если Г" — нормальный

делитель в Г, то ei

. . . =

IT: Г']

eji.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Первое

утверждение

следует

немед

ленно

пз

определения

индекса

ветвления.

Так как Гц ,

= ОиТгОй1

Г,'Г/

Г'

П GiXzOJi1,

мы

получаем

второе

утверждение.

Пусть

6 Т. Так

как /(ф'(у(2 ))) =

ф(т(2 ))

ф(2 )

Р> т 0

Р И

некотором

/г

справедливо

равенство

ф'(-у(г))

и,

следовательно,

ф'(7(2 ))

— q>'(oh(z)).

Поэтому

y(z) = 5o;t(z)

при

некотором

б 6 Г'.

Но

тогда

•у_16а,( 6 Г2

£ r ' o f t r z .

Этим

показано,

что

(J Г'о-|,Гг. Если

е £ Г ' а Л Г 2 )

то

cp'(e(z))

= ф'(и;,,)

qh.

Поэтому

объединение разделе

но. Остальные

утверждения

предложения

очевидны.

§ 1.6. Конгруэнц-подгруппы в SL2 (Z)

Форма фундаментальной области факторпространства SL2 (Z)\<§*

описанная

1.4,

говорит

том,

что

рнмаиова

поверхность

SL2 (Z)\Jg*

изоморфна

римановой

сфере.

Изучим

теперь

Т\$*

для некоторых подгрупп Г группы SL2 (Z). В этом параграфе Jg*

означает объедипеиие

Q U { ° ° } -

Для каждого натурального числа N положим

(1.6.1)

T(N)

6 SL2 (Z)

mod(iV)}

SL2 (Z) [a

d =

1, b =

с =

0 mod tfzj

•

Тогда T(N)

является нормальным делителем группы SL2 (Z) и назы

вается главной

конгруэнц-подгруппой

(группы SL2 (Z)) уровня

В общем

случае

подгруппа

группы

SL2 (Z)

называется конгруэнц-

подгруппой

SL2 (Z),

если

она содержит T(N)

при

некотором

Лг.

Лвмма 1.38. Если отображение /: SL2 (Z) -*- SL2 (Z/7VZ) определено

равенством

/(а)

а mod(iV), то

последовательность

точна.

T(N)

SL2 (Z)

-U

SL2 (Z/iVZ) -»- 1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Единственным

нетривиальным обстоя

тельством является сюръектнвность гомоморфизма /. Мы докажем более общий факт: отображение S L m ( Z ) —>- SLm (Z/iVZ) сюръективно для любого положительного целого т, т. е. если /1 6 M m ( Z ) и d e t ( 4 ) = = 1 mod(JV), то А == В mod(JV) при некоторой матрице В £ S L m ( Z ) .

1 ) Разделенным (дизъюнктивным) объединением называется объединение непересекающихся множеств . — Прим. ред.

40	ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА
Если т =	1 , то это очевидно. Поэтому предположим, что утвержде

ние верно для т — 1 , где т > 1 . В этом случае для рассматриваемой матрицы А мы можем на основании теории элементарных делителей

найти такие два элемента

U н V из S L m ( Z ) ,

что UAV

— диагональ

ная

матрица. Пусть

а ь

. . .,

ат — соответствующие

диагональные

элементы

Ъ =

а2

. . . ат.

Положим

Ь — 1

W--

•

—

я 4

a j a 2

А':

силу

соотношения

алЪ =

det А =

1 mod (iV) выполняется и

WUAVX

mod(N).

По

предположению

индукции существует

такой элемент

С в SLm-^Z),

что

mod(iV).

Поло жим

•

в = / j - w - 1

1 — at

Тогда матрица 5 обладает требуемым свойством.

Если

\\ ]f

— разложение числа Лг в произведение степеней

различных

р,

то

простых чисел

Z / i V Z ~ [ ] ( Z / y z ) ,

G L 2

(Z/NZ)

П G L 2

(Z/pe Z),

S L 2 ( Z . W Z ) ~ [ J S L 2 ( Z / p e Z ) .

§ 1.6. КОНГРУЭНЦ-ПОДГРУППЫ В SL2 (Z)

Рассмотрим

теперь

точную

последовательность

1 - > X -+

G L 2 ( Z / / Z ) - J -

GL2 (Z//>Z)

Так как

группа

Z состоит

из элементов

группы

M ^ Z / p ' Z ) ,

сравни

мых с 1 2

по

модулю р, то порядок группы X

равен р 4 ( е

_ 1 )

. Хорошо

известно, что

порядок

группы

GL2 (Z/pZ)

равен

(р-

— 1) (р- — р).

Поэтому

GL2 (Z//?e Z)

порядок

группы

равен

рМе-1Кр2

_ р )

{ р 2 _ i

) =

p - i }

( 1

р _ В ) ;

порядок группы SL2 (Z/pe Z)

равен

р3е{1

— Р~2)-

Согласно

лемме

1.38,

[Г(1)

: T(iV)] = iV3.

Так как

— 1 2

6 Г(2)

— 1 ^

£ T{N)

для

iV > 2 ,

имеем

Г (^3 /2) • П

(1 - р ' 2 ) ,

если

N >

(1.6.2)

[Г (1)

: Г (#)] = •{

P I J V

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.39.

> 1 ,

??го

если

N =

Если

группа

T(N)

не

содержит

эллиптических

элементов.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В § 1.4

мы видели, что каждый

эллип

тический

элемент

группы Г(1) сопряжен с одним из

следующих:

—

- г

- - 1

. 1

± Л — 1 _

Но ни один из этих элементов не сопряжен с 1 2 по модулю N, если

N > 1 . Так

как Г(ЛГ) — нормальный делитель в Г(1), мы получили

требуемое.

Отыщем

теперь индексы

ветвления накрытия

Щ 0 \ Г - ^ Ц 1 ) \ Г -

Пусть cpjV — проектирование пространства

на

T(N)\$g*.

Соглас

но предложению 1.38, индекс ветвления

в точке

фдДг),

где z £ <g*,

равен [Г(1)2

: Г(Лг )г ].

Если

z — эллиптическая

точка

группы Г(1),

то Г(1)2 имеет порядок 2 или 3.

силу предыдущего

предложения

T(iV)2 =

{1}, если N > 1 . Поэтому

индекс

ветвления

в точке ф,у (г)

равен 2 или 3 в зависимости от соответствующего порядка группы Г(1)2 . Кроме того, полагая

(1.6.3)	pN	= [Г(1) : f(N)],
мы видим,	что число] точек	пространства	T(N)\$Q*,	лежащих над
9i(z), равно	\|д,у/2 или u.j Y /3 в	зависимости	от тех же	условий (если

42	ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

Если s — параболическая точка, то она Г(1)-эквивалентна точке

оо.Имеем

( ! ) -

{

" 1

г ?11 mez

. 0

- 0

71 m^Z

Г ( Л % = Г ( Л о п Г ( 1 )

~ 1

ЛГ

так что

[Г(1) со : T(N)«,]

Поэтому

группа

Г(;У)

имеет

ровно

11Лг Л'

неэквивалентных

параболических

точек.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 . 40 . Пусть

Г" — подгруппа

индекса

\х группы Г ( 1 )

v 2 ,

v 3

— числа

Г'-неэквивалентных

эллиптических

точек

порядка

2 к 3 соответственно.

Пусть

v «> — число Г"'-неэквивалентных

парабо

лических

точек. Тогда

род

ри.чановой

поверхности

Г'\.§*

задается

формулой

£ =

l - . i . J L

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

накрытие

Г'\ф*

->-

->• Г(1)\£1*.

Пусть

е ь

. . .,

— индексы

ветвления

точках

про

странства Г'\ £ *,

лежащих

над

ср,(е2 л '/3 ). Тогда

\х =

е{

. . . +

и е( равно

1 или

Число

индексов

для

которых

ег =

1 , равно

v 3 .

Еслп

v 3 +

v'3,

то

ix =

v 3

+ 3vj,

так

что

У] (ег

— 1 ) =

ц —

i=i

—

t =

2\'g =

2(u — v3 )/3. Аналогично,

если

eP — индекс ветвления

некоторой

точке

пространства Г'\§*,

то

ц —v2

(Р

лежпт

над

ф4

(г)),

(е Р

— l )

u —v„

(Р

лежпт

над

cpj (оо)).

Мы видим

теперь,

что

Г ( 1 ) \ ^ *

имеет

род

0 . Поэтому нужное нам

утверждение следует из формулы Гурвица

( 1 . 5 . 1 ) .

случае

когда

Г' =

Г(А^),

имеем

v 2

v 3

если

1 ,

и Vco =

\nN/N.

Таким

образом, мы получаем формулу для

рода

поверхности

T(N)\iQ*:

( 1 . 6 . 4 )

l + liN.(N

6)/127V

(N> 1 ) .

Определим

теперь

явным

образом

множество

представителей

для параболических

точек

по

модулю Г(7\г)-эквпвалеитности.

ЛЕММА

1 . 4 1 . Пустъ

целые числа а,

Ь, с,

таковы,

что

(а,

Ь) =

а'

mod

(N). Тогда существует

такой элемент

в группе

Г(ЛГ ), что

Смотрите также файлы

Аэропорт Урай.docx

Государственная система контроля качества, эффективности и безопасности лс.doc

Информация о мероприятиях, проведенных в 20212022 учебном году, по ранней профессионализации школьников с целью получения высшего образования в рамках предметного профиля Русский язык и литература.docx

Циклограмма на неделю(1115 апреля 2022 года).docx

Мбоу пильнинская сш 2 им. А. С. Пушкина учитель начальных классов.doc

Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно