Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

§

1.6.

КОНГРУЭНЦ-ПОДГРУППЫ

В

SL,(Z)

43

Д о к а з а т е л ь с т в о .

(I) Предположим,

что

с ~

"

1 ~

А.

— _0_ . Тогда

а =- 1 mod (N).

Выберем

целые

числа

р

и

q

так,

чтобы

ар — bq

'a

Nq

= ( 1 — a)/N, и положим а ==

Ъ

1+Np_

Тогда матрица

о

обладает

требуемым

свойством.

(II)

В

общем

случае

выберем

целые

числа

г

и

s

так,

чтобы

"с

— S

1

с

а

cr+ds=l,

и положим т

=

d

г

. Тогда

т

0

—

d

=

Ъ mod N;

следовательно,

т

а'

" 1 " mod (N).

Согласно

пункту

(I), можно

_Ъ _

_ 0 _

"

1 "

найти

такой

элемент

о

в

Г (TV),

что

а

а

Но

тогда

_ 0 .

Ъ

т о т - 1

обладает

требуемым свойством.

ЛЕММА

1 . 42 . Пусть s =

alb

и

s'

=

c/d — параболические

точки

группы T(N) при таких целых a,

ft,

с, d, что (a, ft)

=

1 , (с, d) = 1 .

{Подразумевается,

что 1/0 = оо.)

В этом случае s и s'

эквивалентны

.а

относительно

группы

T(N)

тогда

и только

тогда,

когда

±

mod(tf).

~ а~

'с'

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

±

ft _ —

d

mod(iV), то суще-

ствует,

согласно

лемме

1.41, такой

элемент

а

=

Р

'

из

T{N),

"р

с"

" a

что

?"

Если

bd Ф

О,

то, очевидно,

o(s') = s.

г

s_

,d

Ь

0 (факт, устанавливаемый простой провер-

Это верно даже при bd =

\Р

з~1

кой).

Обратно,

если

a(s')

= s

при

a

=

^

6 I W ) ,

то

a/ft =

=

(рс

+

qd)/(rc

+ sd),

опять-таки при bd Ф

a

'

с

суще-

0. Следовательио,~Р ?"

ствует такое рациональное число

X,

что А

ft

г

s_

d

Поло­

жим

X =

mln,

где т

и

п — взаимно простые

целые

числа.

Тогда

т

~ al

=

п

[Р

Ч~\ Vе

.

1

Так

как

(a,

ft) = 1 и

(с,

d)

= 1,

имеем

,

|_7"

~,

_ ftJ

s j |_ a J

m

=

± 1

и

п =

± 1 ;

следовательно,

л- =

± 1 .

Проверка

случая

bd = 0 также проста, и мы предоставляем ее читателю.

Итак, классы ЦА^-эквивалентности параболических точек пол­

ностью

описываются

леммой 1.42. Например,

если N =

2, то

суще-

40

ГЛ.

1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

Для каждого элемента о £

U ^ 2 рассмотрим

L как ZM-модуль.

Так как Z[o] изоморфно кольцу

/ 1 , а кольцо

А — кольцо

главных

идеалов, то существует Z-лпнейпын изоморфизм / из А в L , при

котором f(t,x)

—

cff(x)

для всех х ^А.

Пусть теперь Т — множество-

всех Z-лииейиых изоморфизмов кольца А в кольцо L . Тогда Т —

разделенное

объединение

подмножеств

Tt

=

{/ 6 Т

| f{t,x)

=

af(x)

при

а

6

i = 1,

2.

Если а б M2 (Z) н det(a) =

— 1 , то /

£ Ту Ф==Ф а/ 6 2"г- Для

каждого

f Е Ту

положим

/

= / _ 1 ( L A

T ) .

Так

как

Го (Л0 =

{т

е Г(1)

\yLN

=

L J V } ,

элемент

о,

удовлетворяющий

условию

f{t,x)

= af(x),

принадлежит

Г0 (ЛГ ) тогда и только тогда, когда /

— идеал

в А.

Более того,

так

как факторкольцо

A I J изоморфно

7JNZ, мы

видим, что

(i)

i V K / Q

(J)

=

N,

где

К

=

Q(P;

(ii)

идеал /

ие делится

ии на одно целое положительное число,,

отличное

от 1.

Обратно, если /

— такой идеал в А,

то можно отыскать

элемент

/ в

Г,

для

которого

/ ( / )

=

L

N , и предполагать, что / £ Ту,

заменяя

Г1

О

-

при необходимости

/

иа

е/,

где

я =

^

^

. Тогда мы

получим

с

помощью

условия

=

о/(х)

некоторый

элемент

о из

Sy П

П Г0 (АГ ). Покажем, что соответствие между идеалами J и классами

сопряженных элементов

о

внутри

группы

Го (А0 является

взаимно

однозначным.

Пусть

/ е Г ь

/' € Тг,

Мх)

=

af(x),

/'(£*)

= a'f'(x)

и

f(J)

=

=

/'(-О =

L N при одном и том же идеале

Мы можем пайти

такой

элемент у в Г(1), что / '

=

у}. Тогда

а

= у^а'у

и yLN

=

L N

, так

что

о

сопряжен

с некоторым

элементом

а'

в

T0(N).

=

Обратно,

пусть

/ ( / ) =

L N ,

f'(J')

=

LN ,

/(£*) =

<sf(x),

f&x)

=

п Ри

/

6 Гц

/'

6 Л

и

у

6 Го(Л^). Положим

Л =

f^yf.

Тогда

h

является

Z-линенпым автоморфизмом

модуля А и h(^x)

=

=

Уъ(х). Положим К =

1г(1). Тогда h(a +

bt)

=

(а +

bQX для a,

b £

б Z. Следовательно, ^ 6 .4х .

Поэтому

/

=

=

ГЧУГ(П)

=

^

'

=

Итак,

мы доказали, что v 3

является

числом идеалов

/

кольца

Z[t),

удовлетворяющих

условиям

(i)

и

(ii) . Рассматривая

разложение

идеала J в простые идеалы, легко установить, что v 3

является числом,

определяемым формулой (3). Число v 2

мы получим теми же

рассуж-

дениями применительно к ( — I ) 1 ' 2 и к

Г0

-- 111 вместо £ и ГО

-

1

1

0

1

-

1

В частном случае, когда N — простое число, точки 0 и оо пред­

ставляют неэквивалентные параболические точки

группы

T0{N);

§ 1.6. КОНГРУЭНЦ-ПОДГРУППЫ

В

SLj(Z)

47

степень

накрытия

г 0 ( л о \ Г

+

Г(1)\.§*

равна [Г(1) : r0 (./V)] =

N +

1; индексы

ветвления в 0 и в оо

равны

N и 1 соответственно.

Определим элемент т группы

SL2 (R)

условием

•

О

" 0 - 1 "

т

=

О

N

0

Тогда т2 =

— 1 и

T _ : t r o ( i V ) T =

T0(N).

Поэтому

мы

можем

образо­

вать группу

Г*(#) следующим

способом: T*(N)

= TQ(N) [}

Г0 (Лг )т.

Тогда

Г*(ЛГ) — дискретная

подгруппа

в

SL 2 (R),

соизмеримая

с SL2 (Z), но не обязательно

сопряженная с какой-либо подгруппой

в SL2 (Z).

До сих пор все примеры подгрупп Г давали подгруппы, соизме­

римые

с SL2 (Z),

так

что факторпростраиство

Г\,<§

не было ком­

фуксовы группы Г с компактным

факторпространством

Г\<§; мы

определим

их

некоторым арифметическим

способом.

УПРАЖНЕНИЕ 1.44. Пусть Г' — такая

дискретная

подгруппа

в SL 2 (R),

что

факторпростраиство

Г'\<д*

компактно, и

Г — под­

болическая точка группы Г по модулю Г-эквивалентности

п группа

Г со порождена элементом

1

П

_

0

1 . Докажите, что группа

порож-

'1 1/т

дается элементом

0

1

УПРАЖНЕНИЕ 1.45.

Используя упражнение 1.44, докажите, что

равно 1. (Следует заметить, что если Г и Г'

те же, что выше, то Г'

порождается подгруппой Г и элементом

."1

1/пГ

0

1