Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 122

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

52 ГЛ. 2. АВТОМОРФЫЫЕ ФОРМЫ I I ФУНКЦИИ

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим Д = П а Г ' а - 1 . Тогда Д —

а £ Г

нормальный делитель конечного индекса в группе Г, содержащийся в Г'. Отождествим указанным выше способом группы G&\(A0{A)/A0(T)) и Г/Д. Свойство (С) означает, что Г7 Д содержит подгруппу группы Gal(^40(^)/^o(r)), соответствующую полю g\ Так как каждый эле­ мент поля /1о(Г') инвариантен относительно Г' , получаем в силу

теории Галуа, что ^о(Г') с %.

Однако предполагалось,

что

$ ^

с 4 0 ( Г ) . Следовательно, % =

А0{Т').

 

 

 

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.6. Пусть Г ' — подгруппа

конечного индекса

груп­

пы Г. Тогда Ah(T)

(соответственно

Gh{T), Sk(T))

является

множеством

всех форм f из Ак{Т') (соответственно из Gh(T'),

5,ДГ')), инвариантных

относительно [у]к

при всех у 6 Г.

 

 

 

Единственное

нетривиальное

обстоятельство связано

с условием

в параболических точках. Но здесь все проверяется непосредственно.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.7. Каждая

Y-инвариантная

мероморфная

функ­

ция на полутиюскости Q,

алгебраическая над полем /1о(Г),

является

автоморфной

функцией

относительно Г.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть g — такая

функция

и

gn -f-

n -

l

 

 

 

 

 

 

+ S

= 0

при /х, 6 >1 о(Г) — алгебраическое

уравнение

для g

над полем ^10 (Г). Для произвольной параболической точки s группы Г возьмем р и q = e2ni:lh так, как это делалось при определении автоморфной функции. Тогда A(p_ 1 (z)) = Ф^(</) и g(p- 1 (z)) = xY(q) — мероморфные в области 0 < | q | < г (при некотором положительном вещественном г) функции. Так как функции cl\ мероморфны в точке

q = 0, мы можем найти такое

положительное целое число т, что

(1)

l i m дт Ф,(д) = 0

(Х = 0, 1,

п - 1 ) .

Положим V(q) = qmW{q). Тогда

 

n - i

(2)

1 + 2 д - ( " - « Ф ? . (5) V (qf-n = 0.

 

?v=0

Предположим, что l i m V(qk) = оо для некоторой последовательности

h-*co

точек {qu}, стремящейся к 0. Тогда из (1) и (2) мы получаем, что 1 = 0 — противоречие. Поэтому функция V(q) ограничена в окре­ стности нуля и W мероморфна в точке q = 0, что и требовалось доказать.

УПРАЖНЕНИЕ '2.8. Пусть / 6 ^ (Г) n 7 g = (fc + l ) ( - | j - ) S - f c - / . Q .

Покажите, что (i) g£A2k+i(Y);

(ii) g6S2u+.i (Г), если / е < ? л ( Г ) .

§ 2.2. ПРИМЕРЫ МОДУЛЯРНЫХ ФОРМ И ФУНКЦИЙ

53

§ 2.2. Примеры модулярных форм и функций

Приведем теперь некоторые примеры модулярных форм и функ­ ций. Пусть L — решетка на комплексной плоскости С, т. е. свобод­ ный дискретный Z-подмодуль в С ранга 2. Выберем в L базис {аи со2 ) над Z так, чтобы со/сог 6 и Д л я четного целого числа к положим

 

E

h

(L) =E

h

 

 

2

2

ы - л 1

 

 

 

 

 

{щ, со ) =

UJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

co£L-{0)

 

 

 

Этот ряд

сходится

 

абсолютно

при

к ^

4.

Для

доказательства

рас­

смотрим

параллелограмм

Рт

 

па

комплексной

плоскости,

стороны

которого

суть ±7n.coj ± ?тгсо2.

Пусть

г =

m i n { | z \ \ z ^ Ру).

Тогда

\ z \ 7^ тг для z 6 />,„. В снлу того что Рт

Г) L имеет ровно

8тточек,

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S|со |-"<87?г . ( 7 7 г г ) - й .

ю£РтПЬ

Так как множество L — {0} представляет собой объединение мно-

со

жеств Рт

П L для

т = 1,

2, . . .

и так

как

ряд

2

™ ~ ь + 1 сходит-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7П=1

 

ся при

/с > 2, абсолютная

сходимость ряда

E h ( L ) установлена.

Легко

видеть,

что

№Ек(\(й1,

Я,ы2) =

^;г(шь

w2 )

и

Eh

(acoj 4- bco2, ccoi -{- dco2) =

(wu co2)

при

а Ъ'

6 S L 2 ( Z ) ;

с

d

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^((acOi-h^/CccOi-i-dco,), 1) ( C

. ( - ^ ) ^ d ) ~ U

=

£ f t

( - g - , l ) ,

Это означает, что еслп положить

E%{z) =

Eh(z,

1), то ряд Е% ока­

жется

инвариантным

относительно

оператора

[y]k

для всех у £

6 SL 2 (Z) . Покажем, что £ 1 является

элементом множества Gf t (SL2 (Z)),

для чего получим его разложение Фурье в сю:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

(2.2.1)

 

£ £ ( 2 ) = 2 £ ( A : ) 4 - 2 . - | ^

^

И ^

 

? =

 

где t, — дзета-функция Римана и os(n) — сумма чисел ds по всем положительным делителям d числа 7г.

Доказательство начнем с хорошо известной формулы

со

(2.2.2)

n-ctg{nz)=z~1+

S [(s-!-7?z)_ 1 -r-(z — m ) - 1 ] ,

54

ГЛ. 2. АВТОМОРФИЫЕ ФОРМЫ I I ФУНКЦИИ

которую можно найти в любом распространенном учебнике по ком­ плексному анализу г). С другой стороны, положив q = е"л", полу­ чим

я-ctg (ns) =

(я-cos (nz))/(sin (л-z)) =ni (eniz

+

e-!,iz)/(e7liz

— e-7tU) =

=

n i ( ? - : - l ) / ( f f - l ) = m ( l - 2

S

?")•

 

 

71=0

 

 

Приравнивая (2.2.2) к последней сумме п последовательно диффе­

ренцируя

по z, мы

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

(z-w?i)-2 =

(2m)2 -

Ц

 

 

 

 

 

 

 

Ш=—оо

 

 

 

 

со

Т1— 1

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

9

„

 

 

2

V

(z -t-m)-s = (2ni)s -

2

« V 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

m = - o o

 

 

 

 

71=1

 

 

 

 

( -

1)* (к -

1)!

У]

(z —- m ) - h =

(2ni)f t • 2

(Л > 2).

 

 

 

 

 

m= — с о

 

 

 

 

n = l

 

 

Поэтому если к четно и не меньше 4, то

 

 

 

 

 

 

Et(z)=

5

 

(»гг - г п) - " =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( т . тг)=р(0, 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m£Z, 7t£Z

 

оо

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2. У, 1Гк-;-2.

Y

3

( m z + 7 1 ) - * =

 

 

 

 

 

71=1

 

 

771=1 71 = —СО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2 - £ (А) - f- [2 - (2яОА / (А- — 1)! j - f]

2 п и

! ш ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

771=1 71=1

 

 

а это дает формулу (2.2.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

ТЕОРЕМА 2.9.

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gz(z)

=

60

 

г 8 ( з ) =

140.£J(z),

 

 

 

 

 

A(z) = ? 2 ( z ) 3 -

27^3 (z)2 , J{z)

=

123 -^(z)3 /A(z).

 

Тогда

A(z) — параболическая

форма

веса

12

относительно

группы

SL2 (Z)

u /(z) — модулярная

функция

уровня

1 с разложением

Фурье

на

бесконечности

вида

 

 

 

 

§с„дп),

 

 

 

 

 

 

 

J(z)=q-1-(i

••••

 

 

71=1

где сп — целые коэффициенты. Кроме того, поле всех модулярных функций уровня 1 представляет собой поле рациональных функций

ад-

: ) См., например, Привалов И. И., Введение в теорию функции к о м п л е к с ­ ного переменного, М., 1960, стр. 256.—Прим. перев.

§ 2.2. ПРИМЕРЫ МОДУЛЯРНЫХ ФОРМ I I ФУНКЦИИ

55

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Г =

SL?(Z). Так

как g 2 £ С4 (Г)

11 ёз

6 СВ (Г),

то

справедливы

включения

А

6 £ 1 2 ( Г)

" ^ б ^ о ( Г ) .

Если

теперь Вг обозначает

r-е число

Бериуллп, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№ )

=

3

га-2г

= 2 2 г - 1 В г я 2 7(2г)! 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так

что

120-ь(4)

=

(2п)*/12,

280-£(6)

=

(2л)«/216.

Положим

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

Х =

S

o3(n)qn,

 

 

Y=

 

S

 

стб(»)Зп-

 

 

 

Тогда

 

 

 

n = l

 

 

 

 

 

 

n = l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g2

(z) =

(2п)* [1/12 4- 20X],_

£ 3

(2)

=

(2я)6

[ 1 / 2 1 6 -

77/3],

 

(2л)"1 2 А (г) =

(5X -}- 7У)/12 4- ЮОА'2

-

203 Х3 - 3 • 7 2 У 2

=

 

 

 

 

 

n = l

d|n

 

 

 

 

n > i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d>0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при некоторых целых

a„. Кроме

того,

db

=

6? mod(12)

для

каждого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

целого числа

d. Поэтому

(2л.)~1?Д =

У] bnqn

с целыми

коэффициен­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

та^

 

 

 

 

 

 

тами и bi = 1. Следовательно, А

£ 51 2 (Г) п разложение Фурье для /

будет описанпого выше вида. Для доказательства последнего утвер­ ждения нам нужен следующий факт:

{2.2.4) A(z) Ф 0 для каждого z £

он будет доказан в § 4.2. А сейчас, принимая его, заметим, что функ­ ция J(z) голоморфна на Поэтому функция / , рассматриваемая на Г\.ч^*, имеет полюс только в той точке, которая соответствует точке оо,— это показывает разложение Фурье. Так как упомянутый полюс простой и поверхность Г\<р* имеет род 0, поле С(/) должно быть в соответствии с утверждением (3) предложения 2.11 (см. ниже) полем всех мероморфиых функций па Г\<§*.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

2.10.

Пусть

Г = SL2 (Z)

и

а £ G L 2 ( Q ) ,

причем

det(a) >

0.

Тогда

С(/,

J ° а)

— поле всех

модулярных

функций

относительно

группы

Г

|~) а - 1 Г а . В частности,

поле C(/(z),

J(Nz))

(соответственно

C(/(s),

J(z/N)))

является

полем всех

Модулярных

функций

относительно

Г0 (А0

(соответственно

T'0(N)),

где

группа

T0(N) определена в (1.6.5), и

 

 

 

а Ь

6SL 2 (Z)|& =

0

mod (АО } .

с d

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

Г'

= Г (") ос_ 1 Га. Согласно

лемме 2.9 (см. ниже), группа Г' является подгруппой конечного индекса в Г. Очевидно, что С(/, J о а) а /10 (Г'). Применяя предло-

56 ГЛ. 2 АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ I I ФУНКЦИИ

жеипе 2.5

к данной ситуации, получаем первую часть предложения,

исталыюо является частным случаем прц а •

о

 

соответствен-

 

 

У

1

 

1 О'

 

 

но прц а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В гл. О мы рассмотрим некоторые из образующих поля

A0(T(N)),

которые можно записывать с помощью отношений значений эллип­

тических

функций.

 

 

 

 

 

 

§ 2.3. Теорема Рнмана — Роха

 

 

Цель

ближайших параграфов — вычислить размерности

вектор­

ных пространств Gh(T)

и Sk(T) над

полем С

с помощью

теоремы

Рнмана — Роха. Для

этого напошшм

сначала

элементарные факты

0 дивизорах на компактной рпмановой поверхности

Более подроб­

ные рассмотрения см., например, Г. Вейль [1], Шевалле [1], Ивасава [1], Спрингер [1].

Пусть 2В — компактная риманова поверхность н К — поле мероморфпых функций иа ней. Мы отождествляем С с подполем констант

вК. Тогда К — поле алгебраических функций размерности 1 над С,

т.е. еслн / £ К и / (J С, то К — конечное алгебраическое расширение поля рациональных функций С(/). Пусть D — свободный Z-модуль, порожденный точками поверхности 2В, т. е. модуль формальных

конечных сумм У cvPv,

 

где

cv

6 Z

и

P V 6 2B.

 

Элементы

модуля

D

 

 

 

 

V

 

поверхности 2В или поля К. Для произволь­

называются дивизорами

ного

дивизора

А =

У с Р Р

мы

полагаем

сР

=

vP(A)

п

deg(/l)

=

— У Ср. Мы пишем А

^

0, еслн v P ( / l )

^

0 для всех Р 6 2В, п А

^

 

В,

если А

— В ^

0. Для каждой точки Р £ 23 множество {/ 6 К | f{P)

Ф

Ф оо}

является

кольцом дискретного

нормирования,

для

которого

К служит полем частных. Пусть

v P

— функция нормализованного

дискретного порядка

 

Z

[)

{°°}>

ассоциированная

с этим

коль­

цом. Если t — локальный параметр в точке Р,

то v P

определяется

так:

пусть

 

/(<?)= 2 avt(Q)v,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а^фО,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v ^ v o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Q — точка,

меняющаяся

в

малой

окрестности точки

Р.

Тогда

•vp(/)

=

v 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*)

Вес последующие

 

определения,

предложения

 

и теоремы

применимы

к произвольной неособой алгебраической кривой

V над алгебраически замкну­

тым полем (или даже над универсальной областью) Q любой характеристики.

Именно, достаточно заменить 2В, А п

С па

Tr , Q (У) и

Q, где Q (V) — поле

всех

(мероморфных)

функций

на V.

Род

кривой

I ' определяется,

например,

как

1 ( d i v (<»)) ДЛЯ любой дифференциальной формы со на V плн как некоторое целое число g, участвующее в формулировке теоремы Римапа — Роха . По поводу всего этого см. дополнение 9.

Смотрите также файлы