Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

§ 2.4. ДИВИЗОР ЛВТОМОРФНОЙ ФОРМЫ

59

дифференциальной форме со на Ж, так что /.(div(co) — А)

=

0 в силу

утверждения ( 1 ) . По тогда из теоремы Римаиа — Роха следует, что

1(A)

=

deg(/l)

-

g

+

i .

§ 2Л.

Дивизор

автоморфнон

формы

Рассмотрим

теперь

случай,

когда

933 = Г\$*

для

некоторой

фуксовой группы Г первого рода. Наше основное внимание будет

обращено

на пространства

Gk(T)

и

Sh{T).

Мы

предполагаем,

что

— 1

(? Г всякий

раз, когда

говорим

о множестве Ah(T)

при

нечетном

к, так как Ah{T)

=

{ 0 } , если к нечетно и

— 1 £ Г. Если f(t) — меро-

морфная функция комплексной перемеииой t, определенная в неко­

торой окрестности пуля, то через v;(/) мы обозначаем порядок этой

функции при t

=

0, т. е.

vt(f)=m,

если

/ (t) =

У]

cntn,

стф0.

Далее мы полагаем К

=

А0(Т)

и отождествляем поле К с полем всех

мероморфных функций иа ШЗ.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

2 . 1 5 .

Множество

^4^(Г)

отлично

от нуля для

каж­

дого

целого

числа

к.

Это означает с учетом формул

( 2 . 1 . 1 ) ,

что

Ah(T)

является

одно­

мерным

векторным

пространством

над

полем

К.

6

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Возьмем

произвольный

элемент

яр £

К —

С х ) . Тогда

яр(у(г))

=

яр(г) для всех у 6 Г-

Взяв

производную

яр'

=

d i p / d z , мы найдем, что ip (y(z))j{y,

s

z)~2

— яр'(г), так как dy(z)ldz

—

— j(y, z ) - 2

. В

параболической

точке

мы

имеем

ip(p- 1 (s)) = Ф(д),

где Ф — функция, мероморфиая в точке q =

0, а р и q взяты из § 2 . 1 .

В

этой

ситуации

Ч>' I t p ] 2

=

^ ' ( р - ^ Ж р - 1 ,

z)2 =

Ф'(д)

.(2nUh)

-q;

следовательно,

яр' 6 А2(Т).

Поэтому,

согласно

( 2 . 1 . 1 ) ,

0 Ф яр'7 1

£

£ ^42п(Г) для любого целого

7г. Это

доказывает

наше

утверждение

для четных к. Случай нечетного к будет рассмотрен несколько позже.

Для каждого элемента F

£ А*(Т)

мы можем рассматривать

F(z)dz

как некоторую дифференциальную форму на ЗВ. Действительно,

возьмем

яр £ К

—

С,

как

это

делалось

выше. Так

как

яр' =

dxp/dz £

6

Аг{Т),

то Fhp'

е

Л0 (Г) =

К.

Положим F(z)dz

=

{F/\\>')d\\>.

Это выр

жение не зависит от выбора

элемента яр. Обратно,

если

со £

Dif(Sffi),

то

/

=

со/йяр £ К,

/яр' £ А2(Т)

и со =

(/яр')йг.

Поэтому

отображение

F

н-»- F-dz

дает

изоморфизм

пространства

А2(Т)

на

DinT\£>*).

1 ) Существование такого элемента нуждается

в доказательстве. Его легко

вывести, например, из теоремы Римаиа — Р о х

а . — Прим. ред.

Мы

можем теперь

построить

ассоциативную

(градуированную)

алгебру

со

®=

У, D i f " (SB

над полем К, подчиненную следующим условиям:

(а)

Dif°(9B) = К,

Dif1 (SB)

=

D i f (SB);

(б)

для каждого п прямое слагаемое Dif"(ЗБ) является одно­

мерным векторным пространством над К;

(в)

для каждого а 6 D i f m

(SB) и каждого р £ Dif"(8B) произве-

денпе ар определяется

как некоторый элемент из

D i f m + n (SB) и ар =

Алгебра %

однозначно

определена этими условиями.

Если

0 ф со 6 Dii(SB),

то со" — вполне

определенный элемент из Dif"(SB).

Следовательно,

Dif"(SB) = /£соп ,

так что

каждый

элемент

\

из

Dif"(SB) имеет вид \ =

/со"

при

некотором

/ £ К.

Если £

0,

то

мы определяем

div(|)

равенством

Согласно предложению 2.13, если g — род

поверхности

Ж =

Г у § * ,

то

(2.4.1)

deg(div(l)

=

n{2g -

2)

при

0 ф I

6

Dif'(SB).

Возьмем

элемент

i|>, как и

выше.

Для

F 6 /1«„(Г)

имеет

место

включение

Fi^'n

6 Л0 (Г) =

К;

положим

F{z)(dz)n

=

(Ftyn)(d$)n.

Тогда

F(z)

(dz)n

— вполне

определенный

элемент

из

Dii'"(SB),

не

зависящий от выбора

элемента яр. Очевидно, F >-*- F(z) (dz)n

является

изоморфизмом пространства

Л 2 п (Г)

на

Dii"(2B).

Пусть F

£ У1; ,(Г) И Р

£ SB.

Определим следующим

образом

vP(F).

Если точка Р соответствует точке z0 полуплоскости

то

возьмем

какой-либо голоморфный изоморфизм X полуплоскости

SQ

на еди­

ничный круг, прп котором X(z0)

= 0. Если подгруппа

{у

£ Г

I y(zo)

=

= z 0 }

имеет

порядок е,

то

функция

t

=

X(z)e

служит

стандартным

локальным параметром в Р (см. § 1.5). Положим

vP(F)

=

V(Z-za)

(F)/e.

Далее,

если

Р

соответствует

параболической

точке

s,

то

пусть

р

и q =

ехр(2ягг//г) те же, что в

§ 2.1. Тогда

аналогично

определению

автоморфной

формы

- 1

J ^

( ? 1 / 2

) i е

с л и

к

нечетно

и s — нерегулярная

точка,

I [р Ik — j ф (д)

в

остальных

случаях,

где ?

и Ф — мероморфные

функции

в окрестности нуля. Положим

/ п

ч

[ v , ( 4 ' ) / 2

(t

=

qW

= e>ti«h),