Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл (14,38Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 126

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2.4. ДИВИЗОР АВТОМОРФНОЙ ФОРМЫ

соответственно указанным представлениям для F. Заметим, что

число v,(x F) нечетно.

Пусть Dq=

D eg) Z Q . Тогда с

каждой

формой F £ Ак(Т) можно

связать некоторый элемент div(F) пз D

следующим

образом:

div(F) =

vP(F)P.

Очевидно, что

d i v ( № )

= div(F,)

div(F 2 )

(Fi

€ Ahl(T),

Рг

Alti(T)),

( 2 . 4 . 2 )

Gk(T) =

{ F

6 Л , ( ( Г )

I div(F)

0 } ,

{F € А

(Г) I div (JF) >

2 <?; - i -

<?;•}

(Л четно),

( 2 . 4 . 3 ) Я Л ( Г ) = «{

J = 1

J = = 1

6 А

(Г) I div (F) >

& +

(1/2) 2

Qi) (к нечетно),

j'=l

3 = 1

где <2i, . . ., (?u (соответственно <2|, • • -j <?u') — точки на 5Ш, отве чающие регулярным (соответственно нерегулярным) параболическим точкам группы Г . Заметим, что отношение ^ п функция deg( ) могут быть распространены на DQ естественным образом.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2 . 1 6 . Пусть Pt,

. . ., РТ — точки

пространства

Г \ § * ,

отвечающие

эллиптическим

точкам

группы

порядков

еи

. . ., ег соответственно,

и Qi,

. . .,

Qu,

Q[,

. . ., Q'u- имеют тот

же смысл, что выше. Пусть

0 Ф F £ ^4;( (Г) и,

если

четно,

и =

F(z)

(dz)W2. Тогда

d i v ( F )

= d i v ( Л ) - f - f

{ 2 d - e i x )

Ql +

Qi}

четн°)•

i = l

j =

3 = 1

d e g ( d i v ( F ) ) = | . { ( 2 g - 2 ) + 2

( l - ^ + u - i - u ' }

i = l

(А

четно

или

нечетно).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Р — точка

пространства

28 =

=Г\,<д*. Если Р соответствует точке z0 полуплоскости @, то возь

мем Ь =		X(z)e , как и выше. Тогда dt/dz = e-A^z)5 - 1 (dX/dz) и vt(dt/dz)							=
=	1 — е - 1 . Поэтому,				предполагая	к четным, получаем
( 2 . 4 . 4 )		v P (г)) = v P			(F• (dz/d/)f t / 2 )	=	v P (F) + (к/2) (e'1	- 1 ) .
Если же Р соответствует параболической точке s, то возьмем р и q									=
—	einizih^	к а к э т 0	делалось иа стр. 4 9 . Полагая, z = р(и>), получаем
	F(w)	(du»)f t /2	=	(F I [р-Чь) (dz)*/2 = ф(д) (dz/dq)^2				(dq)W =
			=	Ф(д) (2niqlh)-W-			(dq)k'2;
следовательно,
( 2 . 4 . 5 )			vp(ii) = ve (<D) -				k/2 = vp(F) - A/2.

62 ГЛ. 2. АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ И ФУНКЦИИ

Первая из наших формул следует теперь из (2.4.4) и (2.4.5); что жекасается второй, то она для четного к вытекает из (2.4.1) и первой формулы. Если же к нечетно, то cliv(F) = (1/2) •cliv(/'"2 ), так что мы можем вывести нужную формулу для cleg(cIiv(F)) при нечетном Аг из формулы для четного к.

Доказанное предложение позволяет вычислять дивизоры автоморфных форм, полагая формально

div	(dz) = - { 2 (		l -	O Pt	S	Qj 4- S	Qj}.
		i=i			j=i	j=l
Число {2g — 2) J		r	и +	и',	появившееся		во второй фор-
Число {2g — 2) J	r	У, (1 — ej1) +	и +	и',	появившееся		во второй фор-
		t = i

муле, имеет важный геометрический смысл, который будет рас

смотрен в следующем

параграфе.

СЛЕДСТВИЕ 2.17. Отображение

F^F-dz

устанавливает

изомор

физм пространства

S2(T)

и векторного

пространства

всех голоморф

ных дифференциальных

форм

на SB =

Г\§*. В

частности,

размер

ность

пространства

S2(T)

равна

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если F£A2(r)

w = F-dz,

то

из предло

жения

2.16

следует,

что

div (со) >

0 тогда

только

тогда,

когда

и'

div(F)>

Qj-r 2

Qj-

Поэтому утверждение

следует

из (2.4.3).

3 = 1

3=1

п р е д л о ж е н и я

2.15

д л я

и е -

Д о к а з а т е л ь с т в о

ч е т н о г о

к. Возьмем любую ненулевую

дифференциальную фор

му со на Ж и любую точку

па 2В. Тогда deg[cliv(co) — 2(g — 1)/?0 ] =

= 0.

Классическим

является тот факт, что все

классы

дивизоров

на 2В степени 0 образуют абелеву группу, изоморфную

комплексному

тору комплексной размерности g (эта группа называется якобпевым

многообразием для 38). Поэтому					можно найти такой дивизор В
на	2В, что	div(co) — 2(g — 1)R0		~	2В, т. е.
		2В - div(co)	+	2(g	- 1)Д0 =	div(/)
для	некоторого элемента /		6 К'.		Положим	В' = В + (g —	l ) i ? 0 -
Мы	можем	определить некоторый			элемент F	пространства	А2(Т),

положив F(z) dz =	/со.	Согласно	предложению	2.16,
div (F) =	2В'	4- У (1 -	е?1) Pi 4- У Qj -	2 Qj.
		i = l	3 = 1	i = l

Согласно следствию 1.21, все числа et нечетны, если — 1 (| Г. Поэтому

функция F имеет четный порядок в каждой точке				полуплоскости ^g.
Следовательно,		можно так определить мероморфную функцию			G
на	чтобы G2 = F. Так как F 6 А2{Т),		то для каждого у £ Г имеет
место	равенство	G \\у]{ = %{y)G при	%(у) = ± 1 .	Положим Г'	=

§ 2.5. МЕРА ФАКТОРПРОСТРАНСТВА г\§

={7 6 Г | %(у) = 1}. Тогда Г' — подгруппа в Г индекса, меньшего

или равного 2. Так как F £ А2(Т),	то функция G мероморфиа в каж
дой параболической точке группы	Г', так что G 6 >11(Г'). Если Г =

=Г', то вопрос этим решен, ибо 0 ф G1' £ ^4;,(Г) для любого целого к.

Пусть [Г : Г']	= 2 и Г = Г'	U Г'е. Так	как поле	А0(Г)	является
квадратичным	расширением	поля А0(Т)	и группа	Gal(.-10 (Г')М 0 (Г))

изоморфна факторгруппе Г/Г' (это было показано на стр. 52 после

предложения 2.4), то				существует такой ненулевой элемент h			поля
Л 0 (Г'),	что /i(e(z)) =			—h(z). Тогда произведение h-G		принадлежит
Ai(T')	и	ииварнаитио		относительно оператора	Ы ь так что		h-G 6
^Л 4 (Г)	в	силу	предложения 2.6. Поэтому О Ф		(h-G)h	£ Ah{T)	для
любого	целого		числа	к, что и требовалось доказать.

§ 2.5. Мера факторпространства Г\.<§

Для каждой дифференциальной формы со на ^ и каждого эле мента о £ SL 2 (R) обозначим через со о а естественное преобразование формы со посредством а: если со имеет степень 0 и, следовательно,

является функцией, символ

со о а имеет,

конечно, смысл; в общем же

случае

d(co о а)

(dco) о а,

(со Д и) ° а =

(со о а) Д (л о а).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.18. Пусть

и — дифференциальная

форма

на

определенная

равенством

н = у'1

dz,

z =

х +

iy.

Тогда

(1)

г) о а

—

г| =

2i-d

log[/(cr,

z)]

для каждого а £ SL 2 (R);

(2)

dr\ = у'2

/\dy =

(i/2y2) -dz

Д dz~;

(3)

форма

y~2 dx Д

инвариантна

относительно

группы

S L 2 ( R ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

6 S L 2 ( R ) , то

dzoo

= 7 (0,

z)~2

cfe

и,

согласно

(1.2.3),

у о a

| /(a,

|~2

г/,

так

что-

т| о о =

l(rz +

s)/(rz

+ s)] -г).

Поэтому

т| о a —

т| =

\{rz +

s)/(rz +

s) — 1]т) =

— [2irl(rz

s)] -dz

—2i -d log(rz - f

s).

Формула (2) получается непосредственно. Беря внешний дифферен циал от (1), получаем (3).

Определим	теперь	меру т	на полуплоскости		<а равенством
		т (А)	^ у	2dxdy,
			А
где А — произвольное		подмножество		в !Q. Согласно утверждению-
(3) предложения 2.18, мера т инвариантна, т. е.					т(А) = т(а(А))-
для каждого	a £ SL 2 (R) и каждого			(измеримого)	множества А *).

х ) Как известно, рассматриваемое действие S L 2 ( R ) на верхней полупло скости превращает ее в плоскость Лобачевского (интерпретация Пуанкаре);: т{А) — инвариантная площадь в этой геометрии.— Прим. ред.

•и	ГЛ. 2. АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ I I ФУНКЦИИ

С помощью этой меры можно определить меру ц. на пространстве Г\£>*. Пусть ср: Г \ <g* — проектпроваипе; для г; £ jg* положим

Г в

{у

€ Г

| y(v)

v}.

Для

каждой

точки v

можно

найти

такую

открытую

окрестность

6 v, что

Г„ =

{ т € Г

\y(U)

[)

11Ф0}

7(С/) =

U для

всех

у £ Г„.

Тогда

фактормножество

ГД £ /

может

быть

отождествлено

некоторой

открытой

окрестностью

точки

ф(у)

в r \ j g * .

Если, у—

не

параболическая точка и если Г„ имеет

порядок е (точка v эллиптическая,

еслн е >

1),

то

U можно

разде

лить ua е угловых секторов

С/ь

. . ., Ue

так,

чтобы

y(Ut) — Ui+l

для 1 ^ i < e

y(Ue)

U±, где у

— образующая группы Г„. Тогда

для подмножества

TV\U

мы можем найти множество А пред

ставителей

классов

из

А'

положить

ц(А')

= т(А).

Анало

гично если v — параболическая точка, скажем оо, то Г„ порождается

Г1 hi

некоторым элементом

вида

, н окрестность

U можно

выбрать

так,

чтобы

она имела

вид

U — {оо}

[} {z

| Im(z) >

с}.

Тогда для

-<4' с : ГД/У

можно

найти

множество

представителей

классов

из А' в области

= х

\ у >

с, 0 ^

х <

/i}

(исключая

оо)

и положить

u(--l')

m(.-l). Теперь

пространство

Г\£>* может быть

покрыто открытыми множествами вида

ГДСЛ

Если { / г , . } ^

являет

ся

С-^-разбиеипем

единицы

применительно

этому

покрытию

{ И 7 ; } ^ ! , то

для любой

непрерывной функции /

на

Г\.<§*

можно

положить

<*)

/.dji=2

fa-tv-

Легко видеть, что такая мера пространства Г\<д* не зависит от выбора покрытия {W^} и разбиения {/г?.}. Мы также будем писать

^ (/0 ф)*/~2 dx dy вместо интеграла (*).

г\Ф
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.19.	Если	пространство		T \ S Q * компактно, то
и.(Г\.<д*) < ; оо. (Другими	словами,		равенство	(*)	определяет меру
Радона.)
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Если	пространство		Г\.£>* компактно,

то указанное выше покрытие может быть построено из конечного

числа множеств вида TV\U, для которых	множество	U компактно.
Если теперь точка у не параболическая, то,	очевидно,	\|л,(ГД£7) < оо.

		§ 2.5. МЕРА ФАКТОРПРОСТРАНСТВА Г/ф								65
Если	же	v — параболическая			точка,		то	конечность меры следует
из того,		что		^ j
				^ j	у~2 dx dy <			оо.
				с<у
ТЕОРЕМА 2.20. Пусть g — род компактной римановой										поверхности
Г\<§*,	т — число		неэквивалентных			параболических			точек группы Г
в й)		ег — порядки неэквивалентных						эллиптических		точек груп
пы Г.	Тогда
								г
		\	y-4xdy	=	2g-2	+		m+2>(l-l/ev).
		г\ф						v=i
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Хорошо		известно,		что	пространство

Г\<§*, являясь римановой поверхностью, может быть триангули ровано кусочно-аналитическими кривыми, которые — так можно считать без потери общности — не содержат ни одной параболиче ской и ни одной эллиптической точки. С помощью этой триангуляции

пространство	Г\4д* можно представить	в виде нормальной формы
а1 Ь1 а71 о71 . . .	aghga'g-b^1, изображающей	4^-сторонний многоуголь

ник, все вершины которого отождествлены, а граница состоит из 2g кривых at, bt, проходимых по одному разу в каждом направлении

всоответствии с указанным выше порядком, причем эллиптические

ипараболические точки лежат внутри многоугольника. Далее, проведем непересекающиеся кусочно-аналитические пути, связы вающие одну из вершин многоугольника с соответствующими пара болическими и эллиптическими точками. Кроме того, проведем вокруг каждой эллиптической или параболической точки небольшую окружность, радиус которой устремим к нулю. Разрезая многоуголь ник вдоль проведенных кривых и окружностей, мы получим «много угольник» с Ag + 2т -\- 2г сторонами, если не считать малых окруж ностей. Возьмем теперь маленький открытый круг в этом многоуголь нике и отобразим его в полуплоскость ,<§ посредством отображения, обратного к проектированию $ * - > - Г\ф* . Это отображение голо морфно и может быть голоморфно продолжено на всю внутреннюю часть многоугольника. Поэтому наш многоугольник может быть отображен на некоторый многоугольник полуплоскости <§, и этот последний мы обозначим через П. Из построения видно, что граница

ЗП многоугольника П может быть записана в виде

	n	m-fr
(1)	дП= 2 (Sx-yx(Sx))+	2 Tv (n = 2g + m + r).
	%=i	v=l

Здесь Tv — кривые, соответствующие малым окружностям, Sx соот ветствуют «сторонам», а ук — некоторый элемент группы Г, сопо ставляемый каждому X. Внутренняя часть многоугольника П : когда каждая из кривых Tv стягивается в точку, превращается, конечно,

5—01118

Смотрите также файлы

Аэропорт Урай.docx

Государственная система контроля качества, эффективности и безопасности лс.doc

Информация о мероприятиях, проведенных в 20212022 учебном году, по ранней профессионализации школьников с целью получения высшего образования в рамках предметного профиля Русский язык и литература.docx

Циклограмма на неделю(1115 апреля 2022 года).docx

Мбоу пильнинская сш 2 им. А. С. Пушкина учитель начальных классов.doc

Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно