Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл (14,38Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 129

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

66	ГЛ. 2. АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ И ФУНКЦИИ
в фундаментальную область группы Г. Однако кривые		не обязаны

быть «прямыми линиями» в смысле неевклидовой геометрии. В дей ствительности можпо построить фундаментальную область группы Г, являющуюся многоугольником, «прямолинейным» в смысле неев

клидовой геометрии		Но для наших нынешних целей «криволиней
ный» многоугольник		П достаточен.
Рассмотрим	теперь	дифференциальную		форму и,		определенную
в предложении	2.18.	Так как d\] =	у'2	dx dy,	то
ф		l-i (Г\ £ *) =	l i m	J у~2	dx dy =	l i m f r\

nan

всилу теоремы Стокса. Указанный предел берется при стягивании кругов. Согласно (1),

71 7)1+Г

[ 1 i= S \ (л —*1°т0-г 3			( л-
en	ь=1 sA	v = i	r v
Пусть F — ненулевой элемент из Л2 (Г). Определим дифференциаль
ную форму £ на	полуплоскости §	равенством £ = d(\og F) =

=F~XF' dz. Беря логарифмическую производную от

получаем			F(o(z))		=	F(z)j(e, zf		(а	е Г),
получаем
		l o	o -	I = 2-d(log/(ff,				z))	(о	6 Г).
Согласно формуле			(1) из предложения 2.18,
Поэтому		Г\|оО — Т] =				— i(\|oCT —		I)	(о	6 Г).
Поэтому							m + r		m-'rr
		b =		~* 1			m + r		m-'rr
(3)		b =		~* 1		5 +	2 J л-и S J ё-
		en			en		v = i r v	v = i f v
Если	T v	соответствует		эллиптической				точке v порядка e, то, оче
видно,	1\|	л стремится		к	нулю. Что же касается интеграла ^ £, то
	f									f
	v									v

возьмем такое голоморфное отображение т пространства <§ на еди ничный круг, что т(у) = 0, и положим t(z) = r(z)e . Тогда 2 — локаль ный параметр, и мы можем предположить, что Tv является образом

х ) Процед5г ра построения такой фундаментальной области очень проста. Пусть точка. z0 не является неподвижной ни для какого элемента у £ Г. Обо значим через р инвариантное расстояние. Рассмотрим множество D таких точек з, что р(г, z0 ) < p(z, yz0) для всех у 6 Г. Нетрудно показать, что D — геодези ческий многоугольник, являющийся замыканием фундаментальной области. Легко показать, что если многоугольник D ограничен, то ои имеет конечное число сторон. Более сложно (К . Л . Зигель) показывается, что тем же свойством обладает многоугольник D конечной инвариантной площади и что в этом случае многоугольник D имеет коночное число «выходов на границу» (они отвечают параболическим точкам) . — Прим. ред. ,

§ 2.5. МЕРА ФАКТОРПРОСТРАНСТВА Г \ §

малой окружности Cv в i-плоскости с началом координат в ее центре. Обход па этой окружности следует взять отрицательным, так как ее внешняя часть соответствует внутренней части многоугольника П.

Поэтому, полагая	со =		F(z) dz	и \\i(t) = F(z)	(dz/dt), получаем
j	I =	-	\ [d (log яр) + d (log (dt/dz)) ] =
	=	— 2ni [vt		(яр) -)- v, (d*/dz)]	=
	=	— 2ni [vP		(со) - f 1 — e"1]	=
	=	—2m - V p (F),

согласно

формуле (2.4.4), где P — точка

на

Г\^*,

соответствующая

рассматриваемой эллиптической

точке.

Далее,

предположим,

что

соответствует параболической точ

ке

Пусть

р — такой

элемент

из

SL 2 (R),

что

p(s) = оо,

и пусть

q = е2л1р(2)/л_ Тогда

можно считать,

что Ту

— образ

малой

окруж

ности

д-плоскости

с началом координат в ее центре. Полагая

= p(z)

F(p-1(w)))(p~1,

w)2 =

Ф(?)» мы получаем,

что F(z) dz =

0 11

Ф(д) dw. Если s Ф

о о , то можно взять р =

\ s

' ^ 0 Г Д а

dw/dz=

w2,

так что F(z)

Ф(д) w2

j d (log70 =

[d (logO (g))-b2-d (logic)]

u-0+Л

— 2 J U . V 9 ( ® ) —

2-d(logu;)-*-

tt'o

—>— 2л i • vq

(CIJJ =

— 2ni • v P

(F)

(w0 ->• oo).

Здесь

i 3

— точка

пространства

Г\<§*,

соответствующая

точке s.

Еслия == о о , то можно взять в качестве р единичную матрицу и полу

чить тот же результат. Что же			касается формы л,	то
f n =	j	n<.p-i=: j	{и — 2 i - d l o g ( ; ( p - \	и>))}
T V	P(TV )	P(TV )

в силу утверждения (1) предложения 2.18. Как и выше, мы заме

чаем, что p(Tv ) является отрезком от w0 до w0 +							h. Но	тогда
		wo-+h
j	i l =	j	[dz/y —2i-d	(logw)]-+0			(w0^>-oo).
Объединяя вместе г се эти вычисления,					мы получаем из (2) и (3), что
			j d (log F) +	г			m
ц (Г \	=	- i	j d (log F) +	2я ^	V P £	(f ) +	2л 2 VQ . OF)':
			en	i = i		.	j = i	,

68 ГЛ. 2. АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ И ФУНКЦИИ

Далее, выражение		(2я£) 1 j	d(logF)		является суммой	чисел	vP(F)
для всех	Р во	дП		части многоугольника		П. Поэтому
		внутренней
(Г\ @*) =	2л-cleg (div (F)),		что	вместе с предложением 2.16			дока
зывает теорему.
Из этой теоремы видно, что
(2.5.1)		2 f f - 2 +	i ? i + 2		( 1 - е Г 1 ) > 0 .
				i = l

Если g ; > 1 , то -то неравенство тривиально. Если g — 1, то т -f- г >• 1.

		г
Если# =	0,	то ?/..-}- 2 (1 — е Г 1 ) > 2 ; следовательно, 7?г-\|-7->3. Можно
показать		i = i	трудностей,		что	случай # =	0, ??г = 0,
	без каких-либо
( е ь е2 , е3 ) =		(2, 3, 7) приводит		к группе	Г с	наименьшим	значенном
меры U-(r\jg*). Таким образом,
		(2л.)-1	j	dxdy/if->	1/42

для любой фуксовой группы Г первого рода. С помощью этого факта можно показать, что группа всех автоморфизмов любой компактной римановой поверхности рода g > 1 имеет порядок, меньший или равный числу 84(g — 1). Здесь мы отсылаем читателя к следующим книгам: Гурвиц [2], Клейн и Фрикке [2, стр. 606—621] и Шимура

[9,

3.18].

Кроме того, Зигелем [2] было показано, что верно и обращение

предложенпя

2.19,

т. е.

если ц.(Г\<§) <

°о для

дискретной

под

группы Г группы SL 2 (R), то факторпрострапство Г\.§* компактно 1

) .

2.6. Размерность

пространства

параболических

форм

Пусть

— ненулевой

элемент пространства

Ак(Т)

— d i v ( F 0 ) . Каждый

элемент F

из Ah(T)

можно записать

в виде F

f-F0 при

некотором

/ 6 К.

Поэтому

div(F) ^

тогда

только

тогда, когда

div(/) ^

—В;

следовательно,

согласно

формуле

(2.4.2),

(2.6.1)

d i m G f t ( r ) = d i n i { / e / s : | d i v ( / ) >

-В)

и, аналогично, согласно формуле (2.4.3),

(2.6.2) d i m 5 f t ( r ) = d i m { / e Z | d i v ( / ) > - B + 2 ^ ~ n

% с?-},

где

ц. равно

3 = 1

1 или 1/2 в зависимости от того, четно или нечетно к.

г ) Другими

словами,

условие

|л(Г\§) <

оо

равносильно тому,

что

—

фуксова группа первого рода. В связи с этим в литературе часто в качестве

основного используется термин «дискретные группы на	верхией полуплоскости
с фундаментальной областью конечной (неевклидовой)	площади».— Прим. ред.

§ 2.G. РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ФОРМ

Для вычисления этих размерностей мы собираемся применить тео рему Римаиа — Роха к дивизорам

-в,

		1=1		3 = 1
Однако эти дивизоры лежат в группе			D	Q ,	НО не обязательно принад
лежат группе	D . Чтобы освободиться			от этой трудности, рассмотрим
«целую часть»	произвольного	элемента		из	D Q	. Для х		£ R пусть	[х]
обозначает наибольшее целое число, не превосходящее								х; если р	=
= Ы , то р ^	х < р + 1. Тогда для			А =	2	сРР	6 DQ	при сР £ Q
мы положим	[А] = 2 [сР ]
	[А] = 2 [сР ]			Р .
		р
ЛЕММА 2.21. Для любого		f £ К*	и любого			А	£ D Q
	div (/) > -	А <=> div (/) >			—	[А].

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим А = 2 сРР. Тогда

d i v ( / ) > — ^ 4 < = > v P ( / ) > — с Р <=> — v p ( / ) < c p <^>

< ^ > -

V p (/) <

[сР] < = > v P (/) >

— [Ср] < ^ >

div (/) > — [Л].

Предположим сначала,

что

число к

четно,

и положим

п =

к/2,

F0 = l>l(dz)n,

где |£Diin (2B). Согласно предложению

2.16,

Д =

div (*•„)= d i v ®

-|-ra.{2 (

l - ^

i V

2 & + 2 «},

i = l

i = i

а в силу

(2.6.1) и леммы

2.21

d i m C f t ( r ) =

Z([BJ).

Полагая

и -\- и' = т,

мы

видим,

что

(2.6.3)

dog([5]) =

n ( 2 g - 2

+ m)--f 2

[»

( е , - 1 ) / е , ] .

ЛЕММА

2.22. Пусть

к £ Z, е £ Z,

е >

0. 2?сли число /г(е — 1) чет

но, то

[к(е -

1)/2е]

— 2) (е —

1)/2в.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

[/«(е — 1)/2е].

Тогда

Це — 1)/2е < р + 1,

откуда

/с(е — 1) <

2ер +

2е.

Так

как

обе

части этого неравенства четны, то к(е — 1) ^

2ре +

2е — 2, и пото

му (к — 2) (е — 1) ^ 2ер;

следовательно, (к — 2) (е — 1)/2е ^

р, а

это и требовалось доказать. (Заметим,

что

неравенство

неверно,

если число к(е — 1) нечетно.)

Смотрите также файлы

Аэропорт Урай.docx

Государственная система контроля качества, эффективности и безопасности лс.doc

Информация о мероприятиях, проведенных в 20212022 учебном году, по ранней профессионализации школьников с целью получения высшего образования в рамках предметного профиля Русский язык и литература.docx

Циклограмма на неделю(1115 апреля 2022 года).docx

Мбоу пильнинская сш 2 им. А. С. Пушкина учитель начальных классов.doc

Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно