Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 133
Скачиваний: 0
70 |
|
|
|
ГЛ. |
2. |
АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ I I ФУНКЦИИ |
|
|
|
|
|||||||||
В |
силу |
леммы |
2.22 и неравенства |
(2.5.1) |
мы получаем, что |
если |
|||||||||||||
п > |
1, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.6.4) d e g ( [ J B ] ) - ( 2 g - 2 ) > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
>(п |
- |
1) {(2g - |
2) + |
V |
( 1 _ |
e r i ) |
m J |
:.т |
> |
т . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = l |
|
|
|
|
|
||
Поэтому в |
силу |
|
утверждения (2) |
предложения |
2.14 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ц[В]) |
= |
deg([5l) |
- g |
+ |
1 . |
|
|
|
|
|
||
Если |
п = |
1 |
и |
771 ; > 0, то |
получается |
тот |
же |
результат. |
Если |
же |
|||||||||
п = |
1 и т?г = |
0, |
то С,г(Г) = 5/ДГ), |
и ответ |
дает |
следствие |
2.17. Если |
||||||||||||
п = |
0, |
то |
В = |
0 |
и |
/([Я]) |
= |
1. Если |
?г < |
0, то |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d e t ( [ 5 ] ) < d e g ( B ) = n { ( 2 g - 2 ) - ! - 2 ( l - e ? 1 ) - ; - m } < 0 |
|
|
|||||||||||||||
в силу |
неравенства |
(2.5.1); |
|
|
|
i= l |
согласно |
утверждению |
|||||||||||
следовательно, |
|||||||||||||||||||
(1) предложения |
2.14, 1{[В\) = 0. |
Таким образом, |
|
|
|
|
|||||||||||||
ТЕОРЕМА |
2.23. |
Пусть |
g — род |
поверхности |
ГД.'д*, |
т — число |
|||||||||||||
неэквивалентных |
|
параболических |
точек группы |
Г и |
еи |
. . ., |
ег — |
порядки неэквивалентных эллиптических элементов группы Г. Тогда размерность векторного пространства G/ДГ) для четного числа к задается так:
Г |
г |
|
|
|
(к -1) (g-1) |
I - 4 • т + 2 |
(«I - l)/2et ] |
№ > 2), |
|
dim Gft (Г) = g + tn — 1 |
t = i |
(Л = |
2, m > 0 ) , |
|
|
||||
g |
|
(k = |
2,m |
= 0), |
1 |
|
|
|
( f t = 0 ) |
,0 |
|
|
|
( & < 0 ) |
С помощью тех же рассуждений применительно к дивизору
В' =В— |
и |
|
|
и' |
Qj и |
с учетом того, что в силу формулы (2.6.4) |
|||
У] Qj— |
2 |
||||||||
deg ([В']) |
3 = |
1 |
|
з' = 1 |
тг>2, можно доказать, что верна |
||||
> |
2g |
— 2, |
если |
||||||
ТЕОРЕМА |
2.24. Размерность векторного |
пространства |
5; ! (Г) для |
||||||
четного |
числа |
к |
равна |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
( f c - l ) |
(g-l)--r(±-l)m |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 [ Л ( в , - 1 ) / 2 в 1 ] |
|
( Л > 2 ) , |
|
dim |
Sh (Г) |
|
|
|
i = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(/с = |
0, |
771 = 0), |
|
|
|
|
|
|
|
(ft = |
0, |
m > 0 ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( f c < 0 ) . |
§ 2.6. РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ФОРМ |
71 |
Предположим теперь, что к — нечетное число. Сохраняя за обо значениями F0 н В прежний смысл, положим т) = Fl/(dz)b. Тогда Г) 6 DiIft(S!B) и, согласно предложению 2.16,
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
и |
|
W |
|
|
(2.6.5) div (F0) = |
4-div(T]) -b|. |
{ |
2 |
|
|
Pi -г 2 |
^ |
- I - |
2 |
• |
|||||||
|
|
|
|
" |
|
|
|
i = |
i |
|
|
|
i = l |
|
j |
= l |
|
Из определения |
|
дивизора div(/70 ) |
следует, |
что |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Г y m o d ( Z ) , |
|
|
|
|
если |
P = Q'j, |
|
|
|
|||||
vP |
(F0) |
= |
-j целое |
число m Q [ 1 |
^ ^ |
если |
P = |
Pt, |
|
|
|
||||||
|
|
|
[ |
Omod(Z) |
|
|
|
|
в остальных случаях. |
|
|||||||
Поэтому |
из |
формулы |
(2.6.5) |
получается |
сравнение |
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
, |
. |
/4 - n i o d ( Z ) , |
если |
P = |
Qh |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Omod(Z) |
|
в остальных |
случаях. |
|
|
|||||||
Это очевидно, если Р Ф |
Pt. |
Если |
же Р |
= Ph |
|
то положим |
vP .(r|) |
= |
|||||||||
= ct. Тогда |
С; £ Z и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
V |
P , (F0) |
= |
с,/2 |
+ |
k(et |
- |
l)/2ef |
= |
(е| С | |
+ |
Afo |
- |
1))/2е{ . |
|
|||
Так как число ег |
нечетно и е^Р. |
(FD) |
6 Z, число сг должно быть четным. |
||||||||||||||
Мы, |
таким |
образом, |
получаем, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
[В] =idiv |
у Щ=г*-Рг+? |
2 <?и - ^ 2 а. |
|||
|
|
г = 1 |
' |
3 = 1 |
3 = 1 |
[ * - 2 а - т 2 « ] = |
|
|
|
||
j = i |
3 = 1 |
|
|
|
|
|
|
м + 2 |
|
* 2 |
а + ^ 2 0- |
|
|
i = l |
|
3 = 1 |
3 = 1 |
Если А-< 0, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
d e g ( [ £ ] ) < d e g C B ) = 4 { 2 g - 2 + 2 ( 1 - ^ ) + ™ } < 0;
г = 1
72 ГЛ. 2. АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ I I ФУНКЦИИ
следовательно, |
G,, (Г) = Sk(Г) |
= {0}. Предположим, |
что |
к>3. |
Тогда |
||||
в силу |
леммы |
2.22 |
|
|
|
|
|
|
|
deB ( [ В - 2 9 , - 4 S « ] ) - <2« - |
2) |
= |
|
|
|
||||
|
j = l |
i = l |
|
|
|
, u ' ( f c _ l ) |
|
|
|
|
|
(Л- — 2 ) (2rr — 2 ) |
, н(к-2) |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
1 |
2 |
ч |
2 |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
i = i |
|
|
|
|
ft-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ 2 g - 2 + u |
+ u ' + 2 ( l - s 7 1 ) } > 0 . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
i = i |
|
|
|
(Здесь |
все числа ег нечетны, |
так |
как |
мы предполагаем, |
что |
— 1 (J Г; |
см. следствие 1.21.) Поэтому в силу утверждения (2) предложения 2.14 получается
ТЕОРЕМА |
2.25. Сохраняя |
обозначения |
теоремы 2.23, |
предположим, |
|
что — 1 $ Г. Пусть и (соответственно |
и') |
— число неэквивалентных |
|||
регулярных |
(соответственно нерегулярных) |
параболических |
точек груп |
||
пы Г. Тогда |
для произвольного нечетного числа к |
|
|||
|
j ' ( * - i ) ( g - i ) - r - 4 + ^ ^ - + |
|
|||
d i m G f c ( r ) = 4 |
+ |
^[Щ=А^ |
(fc>3), |
||
|
10 |
i = l |
" 1 |
( f t < 0 ) ; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
с И т 5 Л ( Г ) = \ |
+ 2 р % г Ч ( * > 3 ) . |
||||
|
|
||||
|
.0 |
|
|
|
( / c < 0 ) . |
Заметим, что число и должно быть четным.
По очевидным причинам наш метод не эффективен в случае к = 1.
Если к = |
1, то deg([5]) = |
g — 1 + и/2, |
в силу чего |
(2.6.6) |
d f m d (Г) > - ! ! - , |
|
|
(2.6.7) |
climG1 (r) = |
-|-, если |
u>2g — 2. |
Далее, |
|
|
|
deg [ 5 - 2 <?;-т i = i
2 Q'f] = g - i ~ i • i = i
Поэтому, согласно утверждению (1) предложения 2.14, (2.6.8) 5,(Г) = {0}, если u>2g - 2 .
|
§ 2.6. РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ФОРМ |
|
7 » |
||||||||||||||||||||||||
Например, |
рассмотрим |
группу |
|
|
|
из |
(1.6.1) |
для |
N > |
2. Очевидно, |
|||||||||||||||||
что — 1 (£ r i |
Y . Так как каждый параболический элемент из TN |
сопря- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г1 |
N- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
жен с некоторой степенью матрицы |
^ |
|
относительно Г^, то любая |
||||||||||||||||||||||||
параболическая |
точка группы |
r j Y |
регулярна. Если i i Y = |
[1\ : Г л - ] г |
|||||||||||||||||||||||
то |
и = |
n,N/N |
и |
g = |
1 + |
|
|
|
— и/2, как |
было |
показано |
в |
§ |
1.6 |
|||||||||||||
так |
что |
и/2 — g + |
1 = |
ц(1 — iV/12). |
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(2.6.9) |
|
|
dim ^ ( Г ^ ) |
= |
f.LjV /2iV, |
|
5 t |
( r w ) |
= |
{0}, |
3 < |
N < |
11. |
||||||||||||||
Вычисление |
размерностей |
dim Gi{T) |
и dim Si(T) |
более эффективным |
|||||||||||||||||||||||
способом |
является |
открытой |
|
проблемой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Возвращаясь |
|
к |
четному |
к |
|
при |
Г = |
SL2 (Z), |
мы |
получаем, |
что |
|||||||||||||||
g = |
0, т = |
1 и |
{ел, |
е 2 } |
= |
{2, |
3}, |
так что после легкого |
вычисления |
||||||||||||||||||
устанавливается |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
2.26. Если |
Г = |
SL2 (Z), то |
для |
четного |
к ^ |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f [Л/12] |
|
|
(А; = |
2 mod (12)), |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
d i m G f t ( r ) = | [ й |
/ 1 |
2 |
] + |
1 |
|
(/c^2mod(12)); |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г 0 |
|
|
|
|
|
(/с = |
2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dim |
5,, (Г) = |
<^ [к/12] - |
1 |
|
(к > |
2, |
'к = |
2 mod (12)), |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L [Л/12] |
|
|
|
(/c^2mod(12)) 1 ) . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Например, |
отсюда |
видно, |
что |
|
dim Gh(T) |
= |
1 |
п |
dim Sh(F) |
= О |
||||||||||||||||
для к — 4, |
6, 8, 10. В § |
2.2 |
|
мы |
видели, |
что |
пространство |
|
Gh(T) |
||||||||||||||||||
содержит |
нетривиальный элемент Е%. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
Gh(T) |
= |
C-Ei, |
|
Sh(T) |
|
= |
|
{0} |
|
(к — 4, |
6, 8, |
10). |
|
|
|
||||||||
При |
к = 1 2 |
имеем |
dini £ 1 2 ( Г) = |
1, d i m G J 2 |
= |
2; |
форма |
A(z) |
из |
тео |
|||||||||||||||||
ремы |
2.9 |
порождает |
51 2 (Г) |
и, |
как |
было |
показано |
в |
(2.2.1), |
Et |
не является параболической формой. Поэтому пространство <?12 (Г)
натянуто |
на |
A(z) |
и Е*2. |
Аналогично можно показать, что |
|
|||||||
|
|
Su(T) |
= |
{0}, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sk(T) |
= |
C A - £ f _ 1 2 |
(к = |
16, 18, |
20, |
22), |
|
|||
|
|
5 2 4 (Г) = |
СА-Е*2 + |
С-А2 . |
|
|
|
|
||||
Вообще |
справедливо |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
2.27. Если |
Г = SL2 (Z), то |
пространство |
Gk(T) |
||||||||
порождается |
над полем С функциями |
g^g^, где а и b — такие |
неотри |
|||||||||
цательные |
целые |
числа, |
что |
4а + |
6b = к |
и |
Sh(T) = А -С,;_1 2 (Г), |
|||||
a A, |
g2 |
и g3 |
определены в теореме |
2.9. |
|
|
|
|||||
1 ) |
Заметим, что |
отображение |
/ ь - Д |
•/ устанавливает изоморфизм: между |
||||||||
б;,(Г) |
и 5 Й + 1 2 ( Г ) , так как A(z) = t 0 при |
Im(z) > 0 и Д имеет простой пуль при |
||||||||||
z = со . Кроме того, d i m Gh — |
d i m Sh = |
1 при к > |
2, так как £fc 6 Gk, |
Е% $ 5ft, |
||||||||
а все параболические точки эквивалентны о о . — Прим. |
ред. |
|
74 |
ГЛ. 2 . АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ И ФУНКЦИИ |
|
|
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Положим g2 (cob |
со2) = |
GO•JE,/j(co1, со2) |
|||||||
1 1 ёз(С °1! «ь) |
= 140 •/?,.(со 1, со2) |
при |
^4 |
и Еа, взятых |
из § |
2.2. Тогда |
||||
g2 (z) = g2 (z, |
1) и g3(z) |
= g3 (z, |
1). Позднее (в § 4.2) мы покажем, |
что |
||||||
g2 (coi, со2) и |
g3 (coi, coo) алгебраически независимы |
над |
полем |
С. |
||||||
Из этого следует, что мономы |
^2 (z)a g3(z)b |
при |
4a + |
66 = |
А и фик |
|||||
сированном А- линейно независимы |
над |
С, |
так |
как |
|
|
|
|||
« Г " £ 2 |
( 2 ) a g3 (Zf |
= g 2 ( C 0 i , C 0 2 |
) ° g 3 |
(СО», |
СО»)" |
( Z = |
2 " ) |
• |
|
Теперь легко проверить, что число неотрицательных целых решений
(a, |
Ь) уравнения |
4a + |
Qb = А- равно |
[А/12], если А == |
2mod(12), |
и |
[А/12] -г 1, если |
А |
2mod(12). Так |
получается первое |
из утвер |
ждений, еслп принять во внпмаиие предложение 2.26. В силу того же предложения мы получаем н второе из доказываемых утвержде
ний, потому что |
A(z) |
2 (Г) с= SU(T) и |
dim Sh(T) |
= dim G h _ i 2 ( r ) . |
|
В качестве примера пространства Sk(V) |
для |
копгруэиц-подгруппы |
|||
Г' группы SL2 (Z) рассмотрим |
|
|
|
||
ПРИМЕР 2.28. Пусть N — одно из чисел 2, |
3, 5, |
И , и пусть А = |
|||
= 24/(А' -г 1). Тогда пространство Sk(T0(N)) |
одномерно и порождает |
||||
ся элементом |
(A{z)A(Nz))i^N+i\ |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Первое утверждение получается нз тео ремы 2.24 п предложения 1.43 с помощью простого подсчета. Так как на полуплоскости £i форма A(z) нигде не обращается в нуль, можно
определить |
A(z)1 -'"1 для любого положительного |
целого |
числа |
т: |
|||
это |
будет некоторая голоморфная функция на |
Положим g(z) |
= |
||||
= |
A(z)A(Nz). |
Согласно (1.6.6) и предложению 2.4, Д(Аг) 6 |
Sl2(r0(N)), |
||||
так что g 6 £2 4(r0 (iV)). Так как A(z) = спр(д), где |
функция ty(q) голо |
||||||
морфна в q = |
e2niz |
и отлична от нуля |
в нуле, то g(z) = giV+1 iKGr )1'(5, 'V )> |
||||
так |
что g имеет |
нуль порядка N + |
1 в параболической |
точке |
оо. |
Согласно предложению 1.43, точки 0 и оо — единственные неэкви
валентные параболические |
точки группы T0(N), потому что число N |
|||||
простое. Положим т = А - 1 |
/ 2 |
0 - |
1 " . Тогда х переставляет 0 и оо и |
|||
|
|
|
N |
0 |
|
|
g |
| [ т ] к = A ( - l / A T z ) A ( - l / z ) (Ar z)-1 2 z~1 2 |
A(Az)A(z) = |
g(z). |
|||
Так |
как х |
1 |
0" |
является |
образующей |
группы |
-N |
1 . |
{У е T0{N) | т(0) = 0},
то функция g имеет нуль порядка N -f- 1 и в параболической точке 0. Пусть теперь / — произвольный ненулевой элемент пространства
Sh(T0(N)). |
Тогда и g, |
и f + 1 |
принадлежат S2i{T0{N)), |
так что |
f+i/g£ |
€A0{F0{N)). |
Так как |
g=^0 |
на <§, функция fN+i/g |
голоморфна |
на !Q. |