Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл (14,38Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 130

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2.G. РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ФОРМ								75
Более того, так как / имеет нуль в 0 и в сю, функция fN+i/g							голоморф-
па также и в параболических точках. Поэтому fh+i!g						должна		быть
константой. Доказательство закончено.
Является классическим тот факт, что форма					A ( z ) представляется
в виде	со
	со
( 2 K ) - 1 2 A ( Z ) = C7 I ] ( l - g n ) 2 4				(д = е 2 ^ ) .
				со
Действительно,	если положить	т\| ( z ) =	е 2 я ' 2 / 2 4	Д	( 1 — д " ) ,		то	Г] будет
удовлетворять	равенству		п = 1
удовлетворять	равенству
п ((az 4- b)/(cz + d)) = X-(cz		+ d)U2t]	( z )	/ ^	Ь	6 S L 2	(Z)
				с	d

при некоторой константе X, зависящей от а, Ъ, с, d. В связи с этой темой, а также с вопросами, с пей связанными, мы отсылаем читателя

книгам: Дедекпнд [ 1 ] , Эрмит

[ 1 ] , Гурвиц [ 1 ] , Вебер [ 1 , стр. 1 1 2 —

1 3 0 ] , Знгель

[ 3 ] п Вейль

[И] г ) .

УПРАЖНЕНИЕ 2 . 2 9 . Пусть N — одно из чисел 2 , 3, 4, 6, 1 2 , и пусть

= 12/JV. Докажите, что Sh(T(N))

= C-A(z)*/*.

ЗАМЕЧАНИЕ

2 . 3 0 . С каждым

элементом

/ пространства

Gh(T)

мы

можем

связать

функцию

ср

на

группе SL 2 (R), положив

ср(а)

f(a(i))j(a,

i)~k для

а £ S L 2 ( R ) .

Легко

проверить,

что

у(у-сс)

ф(а)

для

каждого

у £ Г

ср(а- а(0))

= е т -ф(а)

для

каждого

а(Э) =

cos0

sinO~|

SO(2).

Часто оказывается удобным и важ-

. .

„ 6

L — sm0 COS0J

ным рассматривать ср вместо /. Мы, однако, не будем в дальнейшем развивать эту точку зрения.

1 ) Указанное разложение формы Д(г) в бесконечное произведение носит название формулы Якоби . Классическое доказательство Гурвнца этой формулы

можно	найти в	«Семинаре по комплексному умножению», сб .	Математика,
12 : 1 (1968), 67; другое очень короткое доказательство имеется			в книге Серра
[2, стр .	1 5 1 ] . —	Прим. ред.

Г Л А В А 3

ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С МОДУЛЯРНЫМИ ФОРМАМИ

§	3 . 1 . Определение кольца Гекке
Пусть G — мультипликативная			группа и Г, Г'	— ее подгруппы.
Будем писать Г ~	Г', если	Г и	Г' соизмеримы,	т. е. если группа
Г П Г' является подгруппой		конечного индекса в Г и в Г'			(см. § 1 . 1 ,
особенно предложение 1 . 11) . Зафиксируем произвольную					подгруппу
Г в G и положим

Г = (а 6 G | а Г а " 1 ~ Г} .

В силу ( 1 ) (предложение 1 . 1 1 ) Г — подгруппа в G, содержащая Г и центр группы G. Далее, если Г' — подгруппа в G, соизмеримая с Г, то Г' = Г. Подгруппу Г мы называем соизмерителем подгруппы

Гв группе G.

Впоследующем мы зафиксируем Г, а также семейство подгрупп {Г^}^л группы G, соизмеримых с Г, где Л — множество индексов.

Заметим, что aI\oc- 1 ~

Гц

для всех

a £ Г и всех

X, ц. £ Л.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3 . 1 . Если

а £ Г,

то имеют

место

разложения

на непересекающиеся

смежные

классы:

Г?.аГц =

U I\a„

где

d =

[\\ : Гц f]

а^Ы;

i=i

r , . a I V =

P W ,

где

е =

[Г>.: I \

f] a ^ a " 1

] .

3 = 1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим разложение на

непересе

кающиеся смежные

классы

I V =

U (Гц

П с г З Д б , .

Тогда

а^Г^аГц

|J а- 1 1\сх6; и,

следовательно, Г^аГц

у Г^аб,-.

Если

Г^аб, =

то

6 i 6 j x 6 Гц П а _ 1 Г * а

и,

таким

r x a 6 j ,

образом,

i = j . Это доказывает первое соотношение. Аналогичные соображе ния применимы и ко второму.

Рассмотрим теперь Z-модуль .Я^ц, состоящий из всех формальных

конечных сумм вида	2 си •(Г^а,1 Г1 1 ), где ck	£ Z,	ah	6 Г. Для	каждого
_	к
Г а аГц при а £ Г обозначим через ueg(TaaY^		число смежных			классов
Г\е, содержащихся	в Г^аГц. Далее, для	х =	2	сл -(Гя а; ( Гц) 6 Я-хц

§ 3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЬЦА ГЕККЕ

определим число deg(#) равенством	deg(x)	= 2	c?i •deg(r^af c ri l ) и на-
		k
зовем его степенью элемента х.	(Мы	можем	определить степень

иначе, рассматривая смежные классы 5Гц, содержащиеся в Г^аГ^..

Такая

степень может быть отличной

от

только

что определенной.)

Введем закон умножения RXVk

X R^-*-

R\v.

Для

этого рас

смотрим сначала разложения на непересекающиеся

смежные

классы

I V z r ^ U I V a , ,

ГцРГ, =

(разумеется,

при этом

лежат

Г).

Тогда Г\ссГц,рГ\,

U Г^аГ^Р; =

U 1\аг р; -;

поэтому

Г\аГцр1\,

является

конечным

i, 3

объединением

двойных

смежных

классов вида

Г\£ГУ . Пусть и =

1\аГц, v =

r ^ t p r v

w =

1\£ГГ ;

определим

«произведение»

u-v

как следующий

элемент

из

RXv:

u-v = 2 rn(u-v;

w)w,

где сумма распространяется на все

w =

1\£Г\, с

Г\аГцРГ\,

(3.1.1)

m{U'V,

w) =

число таких пар (£, j), что 1\аг Р; =

I \ t ,

(для

фиксированного

£).

Для доказательства корректности этого определения нужно пока

зать, что правая часть равенства (3.1.1)

зависит

только от

и,

v и w

и не зависит от выбора представителей

{о^}, {Р,} и £. Для

этого

обозначим

через fl

(S)

число

элементов в конечном множестве S

заметим,

что Txa$j

= Г х |

тогда

и только

тогда, когда

1\сс; =

I Y I P J 1 .

Для

каждого

фиксированного

последнее

равенство

выполняется ровно

прп

одном

значении

i. Поэтому

{(г, ])

| Г х а,р, =

Ы}

{ Л

6 Г , а Г „ }

й {/ | Р, 6 Tlta-^l}

{/ I

с : 1 > - Ч \ | }

= число смежных классов вида Т^Е В Г^рГ^, П Гр.а- 1 1\Е.


Последнее число,			очевидно,		не		зависит от		выбора представителей
{а,-} и		{Р;} . Далее,		если			=	1\г)Гу ,	то I =	б'г)6, где 5' 6 1\
и	б g T v ;	следовательно,
		Г^рГ,	П I V c r 1		^	=	( Г „ р ^ П		Г ^ Г ^ б .
Поэтому число, о котором идет речь, не зависит от выбора £.
	После	такой проверки мы				можем определить закон умноженпя
Rkyi	X R^v~f- Rxv,		продолжая			естественным образом по Z-лпней-
постп отображение (и, v) н-> u-v.
	ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.2. Пусть				и,	v, w,		{ а * } , { Р ; } и § те же, что выше.
Тогда		deg(u>) -т(и-v;		w) =				/) \| 1\аг р; -1\, =		I \ g r v } .
					ft	{ ( i ,

78	ГЛ.	3. ОПЕРАТОРЫ	ГЕККЕ	И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
				/
	Д о к а з а т е л ь с т в о .		Пусть	F>£TV = [}	I \ \|.{ — разложе-
нпе на непересекающиеся смежные классы. Тогда					Гх а,В; -Гг =
в том и только		в том случае,	когда 1\а;В;- =		при некотором к.

Замечая, что последнее равенство выполняется ровно для одного к,. получаем

	Й {(*.	Л I ВДА	= r , ? r v } =S				tt	{(i,	i) I Гха.-Bj = I\&„} =
							ft=i
			= f-m(u-v;				w),
что	и требовалось доказать.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.3. Для				каждого х £					и каждого	у ^
			deg(x-y)		=	deg(x) -deg(i/).
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Сохраним				обозначения	предложе
ния	3.2.	Суммируя	по	всем		w —			с : Г^аГ^вГ^.,	приходим
к соотношению
		deg(u-i>) =			У] deg(w)-m(u-v;				w) =
					то
			=	число			всех	пар	(£, /) = deg(u)-deg(у).

По линейности получаем формулу в общем случае.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.4. Введенный выше закон умножения

ассоциативен

в том

смысле,

что (x-y)-z

x-(y-z)

для

х £ RKx,

6 -й>.ц> г

й ^ -

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

iW^

обозначает

Z-модуль

всех

формальных конечных

сумм 2

с ^ - Г , ^ ,

где с й

£ Z и

£>г 6 Г,

и пусть.

и =

Г^осГц =

U Г? ,аг

разделенное).

Можно

отпестп

(объединение

объединению и некоторое Z-линейное

отображение

из М^

М\

(которое также будет

обозначаться через

и), рассматривая

действие

U*S

chVn^>k =

2 cftI\oCi£ft.

Легко

видеть,

что

это

определение

не

г, ft

зависит от выбора

{ а г

} и

ПО линейности

мы получаем

отобра

жение из ДХ ц в

Hora(71f

Мх),

являющееся инъективным.

Действи

тельно,

если

2 с а - ( Г ? а Г й ) - Г ц ^

0 — нетривиально

сокращаемое

равенство, то

Г^а^ =

Г>а2 |

для

некоторых а 4 п

а 2 .

Но

это озна

чает, что Г^сцГц =

1\а2 Гц, а потому такое сокращзпие

невозможно.

Итак,

ипъективность.доказана.

Рассмотрим

теперь

разложения

на

непересекающиеся

смежные

классы

Г „ а Г ц

U 1 > г ,

T^TV

1\&ГУ

U I \ g f t

Для

§ 3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЬЦА ГЕККЕ

каждого

с : Гх аГ^рГу . Тогда

г. 5

= У, т ( Г , а Г , - Г ^ Г „ ; Г,НГУ) Г , Ь =

I . h

={ ( Г ^ а Г ^ Ч Г ц Р Г , ) } . ^ .

Этим показано, что (y-z)-a

y-(z-a)

для г/ £ ^х,ц> 2 6 Ry.v и a £ JW V .

Далее,

если

£ Д И ) > ,

то

((а; -у) -z) -а =

(х-у) -(z-a) =

а:-(у

-(z-а)) =

х-((у

-z) -а)

(х(у

-z)) -а.

В силу доказанной выше ииъективности

мы

получаем (x-y)-z

— x-(y-z),

что

и требовалось.

ЛЕММА 3.5. Пусть

а £ Г. Предположим,

что число смежных

клас

сов вида TJX в Г^аГц равно

числу смежных

классов вида т)Гц. в 1\аГц.

Тогда

существует такое

общее множество

представителей

{CCJ},

что

1\аГц, =

U Г,.аг

а Д ^ .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

1 \ | с

Г^аГ^

г)Гг с

Г^аГц.

Тогда

| 6 1\осГр. =

Гхт]Гр.;

следовательно,

£ =

бле

при

б 6 1\

е 6 Г й . Положим

£ =

б " 1 ! .

Тогда 1 \ | =

1]Г^ = £Г^,

т. е.

£ — общий представитель

для

и г|Гй. Отсюда уже легко вывести

наше

утверждение.

Покажем теперь, что такое явление имеет место, когда Г — дискретная подгруппа в SL 2 (R), для которой (.ь(Г\<§) < оо 1 >. В качестве группы G возьмем

GLJ(R)

{a € GL2 (R) | det(a) >

0} .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3.6. Пусть

1\ и

— группы,

соизмеримые

Гт

пусть a £ Г.

Если

ц.(ГД<д) =

ц(Гц,\§),

то

число

смежных

классов

вида

1\£

в Г^аГц равно

числу

смежных

классов

вида

цТ^

Г^аГц.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

d =

[Гц. :

|~| а - 1 Г х а ] ,

И \ :

1\ П аГц.а- 1 ].

Тогда

[ а _ 1 Г х а

: а_ 1 Г^а |~| Г р.];

следова

тельно,

d-n(r^\Jg) =

u.(l"Y

a - 4 \ a \ $ )

e - ! . i ( a - 1 r x a \ £ )

= e•н-(ГДф). Поэтому

d = e,

и наше

утверждение доказано,

если

принять во внимание предложение 3.1.

Возвращаясь к общему случаю, получаем

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3.7. Пусть

6 Г,

(3 £ Г.

Тогда

(1) Г? .а6Г„ =

( Г х а Г О Ч Г ь Р Г Д

если

1\а =

a l \ ;

(2)

Г.арТр

(Г,аГ( 1 ) . ( Г ^ Г р ) ,

веди

Г Й Р

= р Г ц .

Это следует немедленно из определения закона умножения.

х ) Другими словами, Г — фуксова группа первого рода (си. стр. 68).—

Прим. ред.

Смотрите также файлы

Аэропорт Урай.docx

Государственная система контроля качества, эффективности и безопасности лс.doc

Информация о мероприятиях, проведенных в 20212022 учебном году, по ранней профессионализации школьников с целью получения высшего образования в рамках предметного профиля Русский язык и литература.docx

Циклограмма на неделю(1115 апреля 2022 года).docx

Мбоу пильнинская сш 2 им. А. С. Пушкина учитель начальных классов.doc

Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно