Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 137
Скачиваний: 0
80 |
|
ГЛ. |
3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ I I ДЗЕТА-ФУНКЦИИ |
|
|
||||||
Зафиксируем |
теперь |
произвольную полугруппу Д, |
для которой |
||||||||
Г с |
Д с |
Г. Пусть R(T, |
Д) |
обозначает Z-модуль всех формальных |
|||||||
конечных |
сумм |
У] ck-TakT, |
где ck |
£ Z и |
ah |
6 Д. Относительно |
вве- |
||||
|
|
|
к |
|
|
|
Д) |
становится |
ассоциатив |
||
денного выше закона умножения R(T, |
|||||||||||
ным |
кольцом. Которое |
мы |
называем кольцом |
Гекке |
относительно |
||||||
группы Т.и полугруппы Д. Очевидно, Г = |
Г>1 -Г является единичным |
||||||||||
элементом |
этого |
кольца. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.8. Если |
группа |
G обладает |
антиавтоморфизмом |
||||||||
<х |
а*, |
при котором Г* = |
Г и (ГаГ)* |
= |
ГаГ |
для каждого а 6 А, |
|||||
то кольцо |
R(T, |
А) коммутативно. |
(Под |
антиавтоморфизмом |
здесь |
||||||
подразумевается взаимно однозначное отображение группы G на |
|||||||||||
себя, |
при |
котором (аВ)* = |
р*а*.) |
|
|
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Применяя * к ГаГ, мы обнаруживаем, что число правых смежных классов в ГаГ равно числу левых смеж ных классов. Поэтому, согласно лемме 3.5, можно считать, что ГаГ = U Га, = Ц «|Г и ГВГ = у Гр, = у рД1 (все объединения
г |
i |
3 |
3 |
разделенные) для любых а, Р 6 А. Тогда ГаГ = Га*Г = у Га? и ГрГ = ГР*Г = у Гр*. Если ГаГрГ = у ГЕГ, то ГрГаГ =
=Гр*Га*Г = (ГаГрГ)* = U Г£Г. Следовательно,
(ГаГ)-(ГрГ) = S с6 (Г£Г),
(ГрГ) - (ГаГ) = У] сЦТЩ s
при одних н тех же компонентах Г|Г. В силу предложения 3.2
сгйеВ(ПТ) |
= |
# |
{(», /) |
| Га«р; Г |
= |
ГЩ |
= |
|
= |
# |
{ ( i , j) |
| Гр|а?Г |
= |
ГЕГ} |
(после применения *) = |
= фс1е8 (Г£Г),
так что eg — с*. Предложение доказано.
До сих пор мы не давали мотивировок. Начнем их с рассмотрения простейшего случая. Пусть 77 — поле алгебраических чисел конечной степени, / — кольцо целых чисел в F и Е = J* (см. 0.2). Для про стоты предположим, что число классов поля 77 равно единице. Тогда
с каждым идеалом А = |
a J |
в 77 |
можно |
сопоставить смежный |
класс |
||||
аЕ |
= |
ЕаЕ. |
Таким образом, |
в данном |
случае мы |
полагаем Е |
= Г |
||
и |
А = |
/ — |
{0} (или |
А = |
77 — |
{0}). |
Введенное |
нами умножение |
|
является здесь умножением идеалов. Если число классов поля боль ше единицы, то аналогичные рассмотрения можно провести с помо щью иделей.
Возьмем теперь какую-либо (скажем, простую) некоммутативную алгебру X над некоторым полем алгебраических чисел. Пусть S —
§ 3.2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ ДИРИХЛЕ С ЭЙЛЕРОВЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ 81
какой-нибудь порядок в X, т. е. конечно порожденный Z-подмодуль |
||
в X |
максимального ранга, являющийся кольцом с единицей. Если |
|
Г = |
S*, |
то каждый левый главный идеал Sa определяется смежным |
классом |
Га. Поскольку в данном случае нет коммутативности умно |
|
жения, перемножение идеалов не проходит так гладко. Поэтому
вместо Га |
мы можем взять двойной смежный класс |
ГаГ, который |
|
доставляет |
меньше затруднений. |
Эта точка зрения |
стаиет яснее |
в последующих параграфах, где в |
качестве X мы возьмем матричную |
||
алгебру M „ ( Q ) , и в частности M 2 ( Q ) . В § 7.1 мы выявим связь между классами ГаГ и алгебраическими соответствиями на алгебраических кривых.
§ 3.2. Формальные ряды Дирихле с эйлеровым произведением
Остановимся |
теперь |
на конкретном |
|
случае |
G = |
GL„(Q) |
и |
Г |
= |
||||||||||||
= SL„(Z). Для |
произвольного |
целого |
|
числа |
N ф 0 |
положим |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Г л- = |
(V 6 Г |
17 = |
1,! mod(A)} . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ЛЕММА |
3.9. |
Пусть |
р £ M n |
( Z ) , |
|
clet(P) = b ф |
0. |
Тогда |
Г' N b |
с : |
|||||||||||
с= р - ^ р n p r w p ^ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Положим |
Р' = |
b p - 1 . |
Так |
как |
Р' £ |
|||||||||||||||
б M n ( Z ) , |
то из 7 = |
1„ mod(Nb) |
следует |
р'-уР = |
р'р |
= |
ЬЛп |
|
mod(Nb); |
||||||||||||
поэтому |
Р_ 1 7Р |
= |
l , i mod(iV). |
В |
частности, |
это |
означает, |
что |
|||||||||||||
Р Л Р ё M„(Z). Еслн 7 6 |
I \ v b l |
|
то |
det(p-^yP) = 1, так |
что |
р - ^р 6 |
Г,у ; |
||||||||||||||
следовательно, |
7 £ РГ.^Р"1 - |
Аналогично |
7 £ Р- 1 Гд'Р. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ЛЕММА 3.10. |
Г = |
G L n ( Q ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если |
а б GL„(Q), то |
а |
= |
ср при неко |
||||||||||||||||
торых с б Q и р 6 M„(Z). Имеем а Г а - 1 |
= |
р г р - 1 |
. Согласно лемме |
3.9, |
|||||||||||||||||
пересечение |
Г П РГР- 1 |
содержит |
|
Th |
|
при |
b = |
det(P). |
Так |
как |
|||||||||||
[Г : Г ь ] < |
оо, |
то число |
[Г : Г |~| |
а Г а - 1 |
] |
конечно. Осуществляя |
внут |
||||||||||||||
ренний автоморфизм % |
а _ 1 | а |
и подставляя |
затем |
а - |
1 |
вместо |
а, |
||||||||||||||
получаем |
[ а Г а - 1 : а Г а - 1 (~| |
Г] < ; |
0 0 , |
|
откуда |
а |
6 Г. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Положим |
А = |
{а 6 Mf l (Z) |
| det(a) > 0} . |
Очевидно, |
|
А — |
полу |
||||||||||||||
группа и |
Г с |
|
Д с |
Г. Выясним |
структуру кольца |
R(T, |
А). Для |
п |
|||||||||||||
произвольных целых чисел аи |
. |
. ., |
ап |
обозначим через |
diagtai, . . . |
||||||||||||||||
. . ., я„] |
диагональную |
матрицу |
с |
элементами |
ах, |
. . ., а„ |
на диаго |
||||||||||||||
нали. Из теории элементарных делителей (см. лемму 3.11 ниже)
известно, что |
представители фактора Г\А/Г |
задаются |
матрицей |
||
diag[al t |
. . ., ап] |
с такими положительными целыми числами а4 , . . . |
|||
. . ., ап, |
что at |
делит a i + l . |
Далее, преобразование | |
является |
|
антиавтоморфизмом группы G и '(ГаГ) = ГаГ для каждого двой |
|||||
ного смежного класса ГаГ при а £ G, так как матрица а может счи |
|||||
таться диагональной. В силу предложения 3.8 |
это доказывает ком |
||||
мутативность кольца R(T, |
А). |
|
|
||
6 - 01118
82 |
ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ I I ДЗЕТА-ФУНКЦИИ |
Наша ближайшая цель — полулить нечто вроде таблицы умно жения для Л(Г, А). Основная идея состоит в том, чтобы сопоста вить с каждым смежным классом Га некоторую решетку и подсчи тывать число решеток вместо числа смежных классов. Для этого положим
|
|
|
|
|
|
Г векторное |
пространство всех |
71-мерных ] |
|
|
||||||||||||
|
|
|
^ |
Q |
|
{ |
вектор-строк с координатами из |
Q |
j ' |
|
|
|||||||||||
и |
пусть |
группа |
G = |
GL„(Q) действует на V справа. |
Подмодуль |
L |
||||||||||||||||
пространства |
V |
будем |
называть |
решеткой |
|
(точнее, |
[Z-решеткой) |
|||||||||||||||
в V, еслп L конечно порожден над Z, а V порождается L над Q. |
||||||||||||||||||||||
Легко видеть, что L будет решеткой в V тогда и только тогда, |
когда |
|||||||||||||||||||||
L |
— свободный Z-модуль ранга 7г. Еслп а £ G и L — решетка в V, то |
|||||||||||||||||||||
и La |
— решетка в V. Заметим также, что если ТУ — |
подпространство |
||||||||||||||||||||
в |
V и L — решетка в |
V, |
то |
L (] |
W — решетка |
в |
W. |
Далее, |
если |
|||||||||||||
L |
и М — решетки в |
V, |
то |
(i) |
L + |
М |
и L f| М — решетки |
в |
V; |
|||||||||||||
(И) существует |
такое |
положительное |
целое |
|
число |
с, |
что |
cL а |
М. |
|||||||||||||
|
ЛЕММА 3.11. Пусть |
L |
и М |
— решетки |
в |
V. |
Тогда |
существуют |
||||||||||||||
такие |
п элементов ил, |
|
. . ., ип |
пространства |
V |
и такие |
п положи- |
|||||||||||||||
тельных |
рациональных |
|
чисел |
|
by, |
. . ., |
bn, |
что |
L |
|
п |
|
М |
= |
||||||||
|
|
— 2 J Zut, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = l |
|
|
|
= |
2 |
ZbjU; |
и |
b i |
+ i g biZ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это есть не что иное, как основная теорема об элементарных дели телях (вернее, переформулировка). Очевидно, М cz L тогда и только тогда, когда Ь; £ Z для всех £ = 1 , . . ., 7г. Множество {byZ, . . .
. . ., bnZ} мы будем называть множеством элементарных делителей решетки М относительно решетки L и будем писать
|
|
|
{L:M}= |
{h, |
. |
. ., |
bn}= |
{b.Z, |
. . ., bnZ). |
|||
Если M |
cz |
L , |
то |
[ L : M] |
= |
bt . . . |
bn. |
В |
частности, если a = |
|||
= |
d i a g [ b b |
. . ., |
bn], |
то { L : La} |
= |
{bu |
. . ., |
bn}. |
||||
|
В дальнейшем мы будем обозначать через L стандартную решет |
|||||||||||
ку |
Z". |
При |
этом |
соглашении |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Г |
= |
SL„(Z) = |
{а |
€ G \ La = |
L , det(a) > 0} . |
||||
Для а и р из А равенство Га = Гр выполняется тогда п только тогда, когда La = L p .
ЛЕММА |
3.12. Пусть М и |
N — решетки |
в V. |
Тогда { L : М) = |
= { L : N} |
в том и только в том случае, |
когда |
существует такой |
|
элемент- а |
группы Г, что Ма |
= N. |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточность очевидиа. Для доказа тельства необходимости положим { L : М} = { L : N} = {аи . . .
. . ., ап). Тогда существуют 2тг элементов ut и vt пространства V,
§ 3.2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ ДИРИХЛЕ С ЭЙЛЕРОВЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ 83
для |
которых |
|
L = |
2 |
Ziij |
= |
^Zvh |
М |
|
= |
2 |
Za(ub |
|
N = |
2 |
Za;y;. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
г |
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
г |
1 , . . . |
||
Определим элемент а группы G равенствами uta |
= |
vt |
для i = |
||||||||||||||||||||||||
. . ., |
п. Тогда La = |
L , Afa = |
N |
и det(a) = |
± 1 . Если det(a) = — 1 , |
||||||||||||||||||||||
надо взять —Vi вместо |
vt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Пусть |
а ь |
. . ., |
ап — такие |
|
положительные |
целые |
числа, |
что |
||||||||||||||||||
Ui+i делится иа at. |
Определим следующим образом элемент Т(аи . . . |
||||||||||||||||||||||||||
. . ., |
ап) |
кольца |
R{T, |
А): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Т(аи |
. . ., |
ап) |
= |
ГаГ, |
|
|
а = |
|
d i a g [ a b |
. . ., |
ап]. |
|
|
|
|
||||||||
Как отмечалось выше, кольцо R{T, |
А) |
порождается |
над Z |
элемен |
|||||||||||||||||||||||
тами |
T(at, |
. . ., |
ап). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ЛЕММА |
3 . 1 3 . Пусть |
ГаГ |
= |
Т{аи |
. . ., |
ап). |
Тогда |
отображение |
||||||||||||||||||
Г£ к-»- L \ задает взаимно однозначное |
соответствие между |
смежными |
|||||||||||||||||||||||||
классами Т\ в ГаГ и решетками |
М, для которых |
{ L : М} |
= |
{аи . . . |
|||||||||||||||||||||||
• • |
•. |
ап}- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Можно |
считать, |
что |
а |
= |
d i a g [ a b . . . |
|||||||||||||||||||
. . ., |
ап]. |
|
Если |
Г£ = Габ |
при |
|
б 6 Г, |
то |
{ L : Щ |
= |
{ L |
: Lad} |
= |
||||||||||||||
= |
{ L |
: La} |
= |
{а4 , |
. . ., |
ап). |
Обратно, |
|
если |
|
{ L |
: М} |
= |
{а{, . . . |
|||||||||||||
. . |
., |
ап}, |
то, согласно лемме 3 . 1 2 , существует |
такой элемент у |
из |
Г, |
|||||||||||||||||||||
что М |
|
= |
Lay. |
Очевидно, Taycz |
ГаГ. Соответствие Г£ |
|_*. L \ взаимно |
|||||||||||||||||||||
однозначно, так |
как |
Г£ = Гт| тогда |
и только тогда, когда |
L \ = |
L I T . |
||||||||||||||||||||||
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
3 . 1 4 . Степень |
|
элемента |
Т(аи |
. . ., |
ап) |
совпадает |
|||||||||||||||||||
с числом |
таких |
решеток М, |
что { L : М} |
= |
{аъ |
. . ., |
ап}. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Это немедленно |
следует |
из леммы 3 . 1 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
3 . 1 5 . Если |
(ГаГ)-(ГрТ) = 2 |
с | "Г^Г, |
где |
|
сг£Ъ, |
||||||||||||||||||||
то |
Cg |
равно |
числу |
таких |
решеток |
М, |
|
для |
которых |
{ L : М\ |
= |
||||||||||||||||
= |
[ L : L B } и |
{М |
: L\) |
= |
{ L : |
|
La}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Пусть |
ГаГ |
= |
U Гаг |
и |
ГрТ = |
U Гр7- |
||||||||||||||||||
(объединения |
разделенные). |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
с6 |
= |
й |
{(», j) |
I Г а , р , |
= |
Щ |
= |
# |
{(i, |
j) |
I La$} |
= |
L I } . |
|
|
|||||||||
Заметим, что число i однозначно определяется элементом | и числом / .
Предположим, что La$j |
= L | , и пусть М = |
L$j. Тогда { L : М} |
— |
|||||||||||||
= { L : L B } |
и |
{М |
: L\} |
= |
{L$j |
: La$j} |
= |
{ L : Lat |
|
\ = |
{ L : |
La}. |
||||
Обратно, |
пусть |
M |
— такая |
решетка, |
что |
[ L : М} |
= |
{ L : L$} |
и |
|||||||
[М : L I ) = |
{ L : La}. |
Согласно лемме 3 . 1 3 , М = L$j |
для |
одного |
||||||||||||
и |
только |
одного |
|
Но |
тогда |
{ L : 1/ЦЗ,т1 } = |
{ L B ; : L\} |
= |
{ L |
: |
La}. |
|||||
Согласно |
лемме |
3 . 1 3 , L^fi]1 |
= |
Lat |
при |
некотором i, |
так |
что |
L \ = |
|||||||
= |
Laftj. |
Таким |
образом, |
каждая |
решетка М |
определяет |
пару (г, ;') |
|||||||||
и |
обратно. Утверждение |
доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6*
