Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл (14,38Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 134

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ГЛ.

ОПЕРАТОРЫ

ГЕККЕ

ДЗЕТА-ФУНКЩ'Ш

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3 . 1 6 . Пусть

а и

В — такие

элементы

из

А,

что

числа det(a) и det(P) взаимно просты.

Тогда

(ГаГ) -(ГВГ) =

ГарТ.

Другими

словами,

если

(ап,

bn)

1 ,

то

Г(а„

. . ., an)-T(bu

. . .,

bn)

Tfaby,

. . .,

anbn).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

E. 6 ГаГВГ.

Пусть

М'

таковы,

что

{ L : М)

{ L : М'}

{ L : L B }

{М

: Щ

= {М'

: Щ

{ L : La}.

Имеем

[М

М'

: М]

= Ш'

: М

М'\.

Левая часть этого равенства делит

[ L : М] =

det(B),

а правая

часть

делит [ L : L a ] =

det(a),

так

как

М'

LE cz М

М'.

Так

как числа

det(a)

det(B)

взаимно

просты,

то

М + М'

и М'

М П М',

так что М

М'.

В силу предложения

3 . 1 5 отсюда

следует, что кратность класса ГЕГ в (ГаГ) -(ГВГ) равна единице. Далее, если Е 6 ГаГВГ, то можно найти по крайней мере одну решет ку М с названными выше свойствами. Тогда LE. а М с L и фактор

L l L \	пзоморфеп модулю		ЫМ ф	MlL\,	а следовательно,	н	модулю
L I L a	©	L / L B , поскольку	числа	det(a)	и det(B) взаимно		просты.
Поэтому		элементарные делители		решетки L \ относительно		L	полио

стью определяются элементами а и В. Из сказанного следует, что ГаГВГ состоит ровно пз одного двойного смежного класса, которым, очевидно, является ГаВГ. Предложение доказано.

Из этого		предложения вытекает,		что	каждый	элемент Т(аи . . .
. . ., ап)	можно		представить как	произведение			элементов	вида
Г(р'1, .	. .,	рс"),	где р — простое число		и 0 ^ ех	^	е2 =Sj . . . ^	еп;

такое представление единственно (если брать пе более одного сомно жителя для каждого простого числа). Для каждого простого числа р

обозначим через R'™ подкольцо в R(T,

А), порожденное

элементами

впда

T(pei, . . . .

реп).

Тогда

обсуждаемый вопрос

сводится к

изу

чению

структуры

кольца

R'p'.

Но

сначала отметим

простой факт.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3 . 1 7 . Имеет

место

равенство

Т(с,

. . .,

с)Т{Ьи . .

., Ь„) =

Т{сЬу,

. . .,

сЪп).

Это

следует

непосредственно

из

определения

закона

умножения

в кольце R(T,

А). В частности, мы видим, что

Т(с,

. . .,

с) не являет

ся

делителем нуля

R{T,

А). (Позднее мы

покажем,

что R(T,

А)

действительности

является

областью

целостности.)

Зафиксируем теперь простое число р и изучим структуру кольца Rpn>. Рассмотрим фактор (Z/pZ)n = L I p L как векторное простран ство размерности п над простым полем Z/pZ.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ	3 . 1 8 . Пусть с™' — число k-мерных				подпространств
в (Z/pZ)n. Тогда
c («) =	c(n2 =	(РП-1)(РП-Р)	• •• (Р"-Р1 '"1 )		_
"	п _ *	(pfc_i)(pk_p)...(pfe_p fc-i)
	=	deg (Т	,	р^^р))•

n-h ft

§ 3.2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ ДИРИХЛЕ С ЭЙЛЕРОВЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ 85


Д о к а з а т е л ь с т в о .				Равенство		с}"' =		cln-h 1 1 представле
ние	числа <4П) как		рациональной функции от				р хорошо известны.
Чтобы связать это с deg(T),				воспользуемся				предложением 3.14.
Пусть М		— такая	решетка в	V,	что [ L : М)		=	{ 1 , . . ., 1, р, . . .
. . .,	р},	где на первых п — к местах стоит 1 и па остальных							/сиестах
стоит	р.	Тогда pL cz М cz L , и			MlpL	есть (п — /с)-мерное			подпро
странство		в L/pL.	Обратно,	для	каждого (п — /с)-мерного				подпро

странства К в L/pL можно найти единственным образом такую решет

ку М,	что MlpL	= К.	Вместе с предложением 3.14 этот факт дока
зывает	требуемое	равенство.
Определим Z-линейное отображение тр: Лр1 + 1 > ->• R'™ равенствами
	яр(Г(1,	,	. . .,	=	T(p*i ,		. . .,	р«»),
	\\){Т(ра°, ра^,		. . .,	ра «)) =	0,	если	а0 >	0.
ЛЕММА 3.19. Отображение				т\|э является сюръективным гомоморфиз
мом и	его ядро Кег(яр) совпадает с Т(р,					. . .,	p)-Rlp+1\

Д о к а з а т е л ь с т в о . Сюръективность очевидна. Утвержде ние о ядре Кег(тр) следует из предложения 3.17 и определения яр. Поэтому для завершения доказательства достаточно проверить мультнпликативиость для элементов Г(1, ра *, . . ., р а «) . Положим для простоты

е'

{ 1 ,

р а 1, . .

р«"},

{pai,

р п * } ,

{ 1 ,

pbi, . .

pbn),

{pbi,

рЪп},

{ 1 , р^,

- .

., рс"},

= { p c i ,

рсп},

рЙ.

т(Це')-Т(П;

T(g%

u.g

m(T(e).T(f);

T(g)).

Мы собираемся

показать,

что

\хе — и.д<. Пусть

L ' = Z™*1

2 Z U J ,

S Zuh

N'> = Z u 0

ЛГ =

2 Z p c ^ £

. Тогда

{L:N}=

i=i

i=l

-i=l

{ L ' : N'}

g', и в силу предложения

3.15

ц в

{ М

| {Z, : i ¥ } =

{М

: Ж }

«},

ця .

{ М '

| { L ' : Ж ' }

/ ' , {М' :N'}

е').

Предположим, что

: М'}

/',

{М'

: N'}

е'.

Тогда

и0

£ N'

М'.

Пусть

= М'

(] L . Тогда

Ж ' =

Zu0

и,

очевидно,

{ L

: 7¥} =

{ М

: iV} =

е.

Обратно, если

— решетка

в Q n

—

Qu i>

Д л я

которой

{ L : М)

{Л/ : iV} =

е,

то

положим

М'

ZM.0

+ М.

Легко

проверить, что

i l f = М'

П £> { L '

: М'}

/ ' ,

{ М '

: iV'} =

е'. Это

показывает,

что

\xg

иг<.

Далее,

T(e)-T(f)

Li g r(g),

2, (p.

• . . .

W - r ( / ' )

86 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

при некотором X

из Rpn+1\

Так

как ty(T(p, .

. .,

р))

= О, то \\> пере

водит T(e')-T(f)

в T(e)-T(f).

Доказательство

закопчено.

ТЕОРЕМА

3.20.

Кольцо

R™

является

полиномиальным

кольцом

над Z от п

переменных

Т(1,

. .

., 1, р),

Т(1,

. . .,

р,

р),

. . .,

Т(р,

. . .,

р),

которые алгебраически независимы. В частности,

кольцо

Rpn) не

имеет делителей

нуля

(отличных

от

0).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Проведем индукцию по п. Для п = 1

утверждение

очевидно,

так как

Т(ра)

Т(р)а

силу предложе

ния 3.17. Предположим, что п^> 1 пчто утверждение верно для п — 1.

Для

каждого двойного смежного класса ГаГ при clet(a) = pv

поло

жим

г^(ГаГ) =

определим

для

У, ck-ТакТ

£ Rpn)

число

w(X)

как наибольшее среди чисел г^(Га,,Г) при ненулевых

ск. Назо

вем

элемент X

однородным, если

числа w(VakT)

равны

для

всех

ch Ф

0. В частности, элемент T ( p a

i ,

. . .,

рап)

однороден и w(T(pni, . ..

. . .,

рап))

= at +

. . . -+- ап.

Произведение

двух

однородных

эле

ментов,

очевидно,

однородно. Положим Ткю

Г(1, . . .,

1, р, . . .

. . .,

р),

где на первых п — к местах стопт 1 и па остальных к местах

стоит

р. Мы собираемся доказать, применяя индукцию

по w, ITO

каждый

элемент

кольца 2?рп> является многочленом от

Т\ю, . . .

. . .,

Т™. Достаточно

рассмотреть

элементы

вида

T(p°i, . . .

. . .,

рап). Если

at >

то,

согласио

лемме

3.16,

Т(р^, . .

р"п) =

Т(р,

. . .,

p)T(p^-i,

. . .,

p«n-i),

так что в этом случае вопрос сводится к элементу с минимальным w.

(Заметим, что w(X) =				0 тогда и только тогда, когда X — константа,
т. е. элемент из Z.) Поэтому предположим, что									ах = 0. Рассмотрим
гомоморфизм			г\|э: Rpm-»-	R'p~v,	полученный			в лемме 3.19. По		пред
положению		индукции
			лр (X) =	т ( Р « « , . . . , рап)		=	y j U	h . Mk	(ТГ'),
							h
где	u f c 6 Z	и	Mh(T^-v>)	— одночлены			от Т\п~.		. ., Г™.	Заме
тим,	что каждый одночлен Мь(Т\п~и)					является			однородным элемеп-
том.	Поэтому		можно	предположить,		что 1и(Мк(Т\п~™)) = w(X)				для

всех к, так как никакого сокращения между однородными элемен

тами с различными

w произойти

не может. Подставляя

Т1-"'

вместо

Д п _ 1 ) , положим

%иъ'Мк{Т™,

. . .,

та.

Легко видеть, что ю(Мк(Т^))

w(X).

Так

как

\\>(Х — Y) =

0, то

существует

такой элемент

Rpn), что

— Y

Т(р,

. . .,

p)-Z.

Очевидно,

что w(Z) <

w(X).

По

предположению

индукции элемент

Z является многочленом

от

Г'"';

следовательно,

X 6 Z [ r j n >

, . . .

. . .,

l n j .

§ 3.2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ ДИРИХЛЕ С ЭЙЛЕРОВЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ 87

Для

доказательства

алгебраической

независимости

элемеитов

Т\п)

предположим, что существует такой многочлен Р,

что Р(Т\п\ . . .

. . ., Т'™) =

0 и

Р ф

Многочлен

можно

представить в

виде

P ^ f ,

. . . , 2 t > ) =

(T™)ipt(T<?\

. . . , 2 ^ 0 ,

i=k

где 0 ^

к ^

I и Рк Ф

Так

как

не является

делителем

нуля

(см. предложение

3.17), то 0 = 2

{T^)iJhPt{T^\

. . .,

T^li).

При-

меняя

\\>, получаем

P ^ T Y 1 - 1 1 ,

. . .,

Г ^ 1 ' ) =

по

индукции

Рк

= 0.

Мы

пришли

противоречию.

Доказательство

закончено.

Из теоремы 3.20 следует, что R(T, А) — полиномиальное кольцо над Z от бесконечного множества переменных вида Г(1, . . ., 1, р, . . ., р), где /л — простое число. В частности, R(T, Д) — область целостности.

Для произвольного положительного целого числа m обозначим через Т(т) сумму всех ГаГ при а 6 Д и det(a) = т. Мы рассмотрим теперь формальный ряд Дирихле (с коэффициентами из R(T, А))

оо	2 (Г«Г) • de t (a) ~s ,
D («) = 2 Т И m~s =	2 (Г«Г) • de t (a) ~s ,
m = l	Г\Д/Г

где последняя сумма берется по всем различным двойным смежным классам ГаГ, а 6 Д. Из предложения 3.16 легко вывести, что

(3.2.1)	T(mm')	= T{m)T(m'),	если (то,	то') =	1.
Поэтому D(s)	можно	(формально)	выразить	в виде	бесконечного
произведения		со
		со

0(8)=П.[У>Т(рЬ)р-ь°],

р к=0

где р пробегает множество всех простых чисел. По определению Т(т)

со	т (р« ..., Реп) г1 + -+ в »
2 т о*) х к = 2

при произвольной переменной X. Докажем теперь, что этот формаль ный степенной ряд является в действительности рациональным выражением от X.

ТЕОРЕМА		3.21. Пусть	Т\м	=	Т(1, . . ., 1,	р, . . ., р),	где	на
первых	п—	i местах стоит 1		и	на остальных	i местах	стоит	р,
и пусть	X	— переменная.	Тогда
		2 T(Ph)xh=[	2	(-lVpw-wj'0 **]"1

h=0

i=0

88 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

и,

следовательно,

со

Т (m) m- = \\ \ У, ( - 1)*

p W - D / a i f V l - 1 .

m = l

р i=0

где

произведение распространяется

на

все

простые

числа р.

Докажем сначала

две

леммы.

ЛЕММА 3 . 2 2 . Пусть

целые числа с^ те же, что в предложении 3 . 1 8 .

Тогда

СО

т\п)х*- (23

T(pm)xm)

7)1 =

S ciA ) -{

т ( 1 , . . . ,

1 , р*,..., / Л )

z d l - - + d M

ft=0

l $ d j $ . . . ^ d f t

(подразумевается,

что

С{Й > = 0, если i >

к и с{00> = 1).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Зафиксируем

множество

показателей

{di,

. . ., dh}

и обозначим

через

\i(d)

коэффициент

прп Т(\, . . .

оо

. . .,

1 ,

. . ., pdh)Xdi+--+dh

в Т^Х1

T(pm)Xm).

Заметим,

что

это выражение появляется в

. 7П=0

только тогда,

Т{™Х1

T(pm)Xm

когда i + m = dj + . . . -f- dh. Фиксируем

такую решетку N, что

{ L

: N} = { 1 , . . ., 1 , pdi, . . ., / А } . В силу предложеппя 3 . 1 5

V-

№ = 2

| { L : М)

= { 1 , . . ., 1, р,

. .., р), {М

: N} = { L : La}},

где сумма распространяется на все классы ГаГ, для которых clet(a) = = pm и а 6 А- (Здесь п далее число вхождений р в { 1 , . . ., 1 , р, . . .

. . ., р) равно i.) Если				{ L : М} = ( 1 , . . ., 1 , _р, . . ., р} ж N cz М,
то можно	найти	такой		элемент а из		Д, что {М : iV} =		{ L : L a } ,
н очевидно, что det(a) = pm. Поэтому						\x(d) равно числу таких реше
ток М, что
(*)	NczM,			{ L :М) = ( 1 , . . ., 1 , р, . . ., р}.
						п
Возьмем	базис {и,}		так, чтобы L = 2				Z u v И
					h	v = i
				n - ft	h
		N= 2 ZuV -T- 2 z/vU n _,i + v .
				v = l	v = l
		7 1 - / J		' i
Тогда pL	-\- N —	2	Z u v + 2		ZpUn-k+v',		следовательно,	фактормо-
		v = l		v = l

дуль L/(pL + iV) изоморфен (Z/pZ)f t . Если Af обладает свойством

Смотрите также файлы

Аэропорт Урай.docx

Государственная система контроля качества, эффективности и безопасности лс.doc

Информация о мероприятиях, проведенных в 20212022 учебном году, по ранней профессионализации школьников с целью получения высшего образования в рамках предметного профиля Русский язык и литература.docx

Циклограмма на неделю(1115 апреля 2022 года).docx

Мбоу пильнинская сш 2 им. А. С. Пушкина учитель начальных классов.doc

Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно