Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

§ 3.2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ ДИРИХЛЕ С ЭЙЛЕРОВЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ

89

(*),

то pL + N cz М и

модуль

L I M изоморфен

(Z/pZ)1.

Поэтому

\i(d)

ф

0 только тогда,

когда i ^

к. Итак, для i ^

к фактормодуль

M/(pL

+ N) является (к — ^-мерным подпространством

в L/(pL +

+

N).

Обратно, каждое (к — £)-мерное подпространство

в Ll(pL

+

+

N) можно представить в виде M/(pL + N), где М — некоторая

образом, p,(d) =

cf-\ и лемма

доказана.

k

ЛЕММА 3 . 2 3 .

Если fc>0,

то 2 ( — l ) V ( i - 1

) / 2 c ( i h ) =

0 .

i = 0

й - 1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим / (X) =

Тогда

[}

(Х — р1).

/

1

i

= °

i = S

fW/if'Wix-p*)],

нимающий значение 1 в к точках

р°, р1,

. . ., рк~1.

Подставим рк

вместо X.

Тогда

й - 1

й

1 =

2 c f ) ( _ l ) f e - i - l p № - i ) ( f t - i - l ) / 2 =

V

c W ( _ l ) J - l p i O - l ) / 2 f

г=0

i = l

что и требовалось

доказать.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

3 . 2 1 . Рассмотрим произ­

ведение

[ S

( - 1 ) * Р^-»/2ТРхЧ

[ §

Т (рт) Х"1) .

В силу леммы

3 . 2 2 оно равно

2 ( - i ) i p w - * ) / 2 2 с?Ч2г(1.

•••

г=0

й=0

Согласно

лемме

3 . 2 3 , здесь

не обращается в

нуль

лишь член при

к = 0, который

равен 1 . Теорема

доказана.

2

Т(т)т-^Ц[1-Т{р)р-Г1\

7Л=1

Р

если п = 2, то

со

( 3 . 2 . 2 )

2 Т(т)т-=Ц

р)р- + Т(р, р)

Р^Г1.

m = l

Р

(Заметим, что Г ( 1 , р) =

Г(р).)

90

ГЛ. 3.

ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

Теорема

3.21 в

случае п =

2 принадлежит Гекке [4], хотя ои

и не рассматривал

абстрактное

кольцо R(Y, Д); его представления

R(T,

Д) было

введено

в работе

автора

[3]. Результат

теоремы 3.21

при

произвольном

п был получен

Тамагавой

(см. его работу [1]).

ТЕОРЕМА

3.24. Пусть

п =

2 и р — простое число.

Тогда

выпол­

няются следующие

соотношения:

(1)

Т{т)=

2

T(a,d);

ad=i>i, a\d

(2)

Т{1,рЬ)=Т(р>)-Т(р,р)Т

к >

2;

(3)

Т (т) Т (п) =

2

d-T(d,d)T

(mn/d2);

d|(m, 71)

(4)

Т (f)

Т (ps) =

2

PlT (p\ Pl) T ( p r

+ s - 2

( ) ,

r < s ;

(=0

в частности,

T(p)T(ph)

=

Т(рш)

+

pT(p,

pjTip'1-1),

к > 0;

f

(P +

i)T(p,

p), k =

i;

(6)

d e g ( r ( l , p f e

) ) = d e g ( r ( ^ ,

p<+*)) =

p*-* ( p + 1),

fc>0;

(7)

deg(r(?7i)) равно сумме всех положительных

делителей

числа т.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Первые

два соотношения очевидны.

Так

как Rp'

— полиномиальное

кольцо

Z[T(p),

Т(р, р)],

можно

погрузить Rp1 в полиномиальное

кольцо

QL4, В] с

двумя пере­

менными А и В так, чтобы

Тогда

1

-

Т(р)Х

+ РТ(р,

р)Х2

=

(1 -

АХ)(1

-

ВХ).

со

2

Г (Pm) Xm+1

= [(1 -

АХ)-1

-

(1 -

5 Z ) " 1 ] /

(-4 -

В) =

=

2

(Ат-Вт)Хт1(А-В),

так что

т = 0

m

Поэтому

Т (рп) = ( 4 M + 1 - £ M + 1 ) / ( Л — 5 ) = S 4 Т - ' Я ' •

(pr) -

(/>')]/

( Л -

Л )

=

J

(рт) Т (ps) = [AS+1T

= ( Л 5 + 1

2 Л Г - £ Б ' - Б 8 + 1

2 4 ' . 0 / ( 4 - 5 ) =

= 2

(=0

t =0

—B)

=

^ ' 5 * (Ar+S~zi+1

— Br+s~2Ul)/(А

t = o

= 2

Р 1 Т ( Р \

Р 1 ) Т ( Р ^ - 2 1 ) ,

Т(р)Т(1,

ph)

=

Tip**1)

+

T{pt

p)[PT(ph^)

- T(p)T(ph-*)]

=

=

Til,

p h + 1 )

+

Tip, p)[ip

+

l J Z V - 1

) -

T(p)Tip*-z)].

Последний

член

Tip)T(pk~2)

задается

с

помощью

равенства (3),

и

мы имеем (5).

Согласно

предложению

3.18,

deg(7, (p))

=

с\2' =

=

р +

1 и

deg( r (p, р)) = 1. Применяя предложение

3.3

к

соотно­

шению

(4),

получаем

ip + l ) - d e g ( T V O ) = d e g № " + 4 ) + p . d e g ( r ( p f t - i ) ) .

Индукцией по к легко проверить, что

<*)

deg(2'tP »))

= 1 + р

+

. . . +

рК

2 deg(71 (7?i))m.-s =[{[

2 ( - 1)*

pW-Wclpp-b]-*.

7?]= 1

Р 1 = 0