Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл (14,38Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 139

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 3.3. КОЛЬЦО ГЕККЕ ДЛЯ КОЫГРУЭНЦ-ПОДГРУППЫ

степени числа		р, положим			Ф(ГаГ)		= 2 ЦЬсс;)		и продолжим		по
							г
Z-лниейностн отображение				Ф до		отображения		из	Др7" в Z[XU . . .
. . ., Хп].	Докажите,		что	Ф — сюръективный				изоморфизм		колец.
УПРАЖНЕНИЕ		3 . 2 7 .	Пусть / — положительное целое число и % —
некоторый	характер		группы		(Z//Z)". Найдите			выражение		для
			оо
			2		X(m).deg(T(m))m-s
			m = i
в терминах L-функций с характером							%. (Положите %(т) =			0 ,	если
т не взаимно просто с /.)
УПРАЖНЕНИЕ		3 . 2 7 ' . Докажите, что					при п =	2
		2	' I т \		I	m
т(Р)т=		2

(m\

где I I = m\lr\(m — г)!

§ 3.3. Кольцо Гекке для конгруэнц-подгруппы

Пусть Г, А и Y N те же, что в § 3 . 2 . Займемся теперь кольцом 7?(Г', А'), где Г' — подгруппа в Г, содержащая Г^- при некотором N , и А' — некоторое подмножество в А. Начнем с простой леммы.

ЛЕММА

3 . 2 8 . Пусть

а и

Ь — положительные

целые числа

и с —

их

наибольший

общий

делитель.

Тогда

Гс =

Г а - Г ь .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

£ Гс ,

то

существует

такой

элемент

В из M n ( Z ) , что

В =

1 rnod(a) и В == a mod(tj) в

соответствии

китайской

теоремой

об

остатках.

Тогда

det(B) =

1 mod(atVc).

силу леммы 1 . 3 8 (или ее доказательства) существует такой элемент

группы

Г,

что у == В mod(abfc).

Поэтому у

£ Г а , у~ха

6 Г 6

и а =

а-у1-а,

так что Гс

с ТаТь.

Поскольку обратное включение оче

видно, требуемое равенство

получено.

Зафиксируем

целое положительное число N и положим

AJV

6 M n (Z)

I det(a) >

(det(a),

N ) =

1 } ,

так что

A =

A j . Обозначим

через

естественное

отображение

из M n (Z) в M„(Z/./VZ). Зафиксируем

подгруппу Г'

в Г,

содержащую

Т N

, И ПОЛОЖИМ

Ф = (а 6 А * 1 М Г ' а ) = М « Г ' ) } .

Очевидно,

Ф =

AN,

если Г' =

Т N .

94 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

ЛЕММА 3.29. Пусть в прежних обозначениях а, Р £ Ajy-. Тогдасправедливы следующие утверждения:

(1) Г'аГ' = {I 6 ГаГ | %N(Q £ lN(T'a)}

если а € Ф;

(2) Г^аГ 1 У = Г^рГ^- тогда и только тогда, когда ГаГ = ГрГ

иа = р mod(iV);

(3)ГаГ = ГаГ' = Г'аГ;

(4)

Г'аГ'

= T'aTN

VNaT',

если а 6 Ф;

(5)

если

£ Ф

Г'аГ'

(J Г'а г

— разделенное

объединение,

та

ГаГ

[J Г а ;

— разделенное

объединение.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

доказательства

(3) положим

а =

det(a).

силу

лемм

3.28

и 3.9 имеем Г =

Г а Г ^ с : а - 1 ГаГдг г

так

что а _ 1 Г а Г с

а ^ Г а Г ^ .

Следовательно, ГаГ

с : Г а Г ^ сг

ГаГ' .

Так как обратное включение очевидно, то (3) доказано. Чтобы убе

диться

справедливости

( 1 ) , возьмем

£ 6 ГаГ

и XN(Q

6 ^лг(Г'а).

Тогда

g =

уа mod(iV) при у 6 Г'. В силу (3) имеем \ £ ГаГ^;

поэто

му

I =

бае при б ^ Г и е ^ Г ^ .

Тогда у =

б mod(iV). Так

как

Г^

сг

с=

Г',

то

е Г',

и потому

| е

T'aTN

Г'аГ'.

Обратно,

если

£ 6

6 Г'аГ', то

очевидно, что

§ £ ГаГ, и по определению множества Ф-

получаем

XN(h)

£ XN(T'a).

Утверждение

(1) доказано. Попутно

мы

доказали, что Г'аГ' cz Г'аГ^. Так как обратное включение очевидно, то доказано (4). Утверждение (2) является частным случаем утвер

ждения

( 1 ) . Наконец,

пусть

a 6 Ф

Г'аГ' =

U Г ' а ;

(разделенное-

объединение). Тогда ГаГ =

ГаГ'

U Г а ; . Предположим, что Г а ;

Га7-. Тогда а г

yaj

при у

£ Г. В силу ( 1 ) имеем а ;

ба7 - mod(./V)

при

б 6 Г'.

Но

тогда -у =

6 mod(/Y). Так

как

а Г',

то

у £

Г' г

так что Г'а^

= Г'а7 -, и (5) доказано.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.30. Сохраним

прежние обозначения. Соответствие-

Г'аГ' и-*- ГаГ

при

£ Ф

определяет

некоторый

гомоморфизм

из:

Д ( Г ,

Ф)

R(Y,

А).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Р £ Ф

Г'аГ'

U Г ' а ; г

Г'рГ'

у Г ' Р ; — разделенные

объединения. В силу (5) (лемма 3.29)

ГаГ

= (J Га £

ГрГ

Гр^ —

разделенные

объединения.

Поло

жим

( Г ' а Г )

( Г ' р Г )

= S e t . ( Г ' ^ Г ) ,

Г де

с\ (Е Z.

Тогда

ГаГрГ

= ГаГрГ' =

ГаГ'рГ'

= *у

Г £ Г

при

тех

же самых \. Кроме того,

так

как

Р 6 Ф,

то

XN(f'Q

ХЛ г(Г'аР)

для каждого

£ б Г ' а Г ' р Т \

так

что,

согласно утверждению ( 1 ) леммы 3.29,

Г'ЕГ

{с

е TIT

I M £ ) е м г ' а р ) } .

§ 3.3. КОЛЬЦО ГЕККВ ДЛЯ КОНГРУЭНЦ-ПОДГРУППЫ

Следовательно, отображение Г'£Г' i—»• Г|Г взаимно однозначно. По

этому,

положив (ГаГ) (ГВГ) =

У, С 1, (Г£Г)

при

с5

£ Z,

получим

се

# {(*,

| Га,р,

У)

Щ,

tf{(i,

|Г'а; Р;

Г'5}.

Таким образом, достаточно показать, что Г'а^Р;

Г'| тогда и только

тогда,

когда

Гаг р; - =

Г£. Пусть

Гаг р7 - =

Г|.

Тогда

£ =

7агр_,- при

V е Г. Так как Xw (£)

6 M r ' a ^ ) , то Е =

6а; р; - mod(A)

при 66 Г'.

Но

тогда S =

у mod(TV); следовательно,

£ Г',

так что Г'аг р^ =

Г'£.

Поскольку

обратное

очевидно,

доказательство

закончено.

В дальнейшем

мы

будем

рассматривать лишь случай п = 2.

Пусть t — положительный делитель числа N и

I) — некоторая под

группа

в (ZA/VZ)X . Мы

будем

часто обозначать

той

же

буквой £)

множество всех целых чисел, классы вычетов которых по mod(A) принадлежат I). Определим полугруппы А%, А^ и группу Г' сле дующим образом:

(3.3.1)

(3.3.1')

	\| о б А \| Х д а ( о ) = 0 х			при * 6 ( Z / / V Z ) x j ,
iV	и	V	£A\|ii£f),	y = 0 m o d ( i ) , w = 0 m o d ( A ) ,
	W	Z

( 2 , iV) = l } »

(3.3.2; Г' = { 6 S L 2 (Z) I a e t), b = 0mod(i5),c = 0 m o d ( A ) J .

Такой вид имеют, например, группы Г 0 (А) и Г^. (Однако существуют некоторые группы, заключенные между Г и TN, которые нельзя преобразовать к группам такого типа никаким сопряжением внутри

Г.)

Легко видеть, что A'N =

А%Т'

Т'А%

Е А » с

Ф.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.31. В

прежних

обозначениях

соответствие

Г'аГ' t—»• ГаГ при

£ А^

определяет

некоторый

изоморфизм

из-

R(T',

A'N)

на R{T,

AN).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В силу

предложения

3.30

достаточно-

доказать инъективность и сюръективность рассматриваемого

отобра

жения. Пусть г) 6 &N и

b =

det(r]). Возьмем

такое

целое

число

с,

Г1

Тогда

det(r)9) ==

что

be =

1 mod(A),

положим

ср

= _0

1 mod(A). В силу леммы

1.38

существует

такой

элемент

у из

Г1

I T

Г,

что

у =

т)ф mod(A).

Тогда

mod (Аг );

следовательно,.

y~h\ =

ГЛ.	3.	ОПЕРАТОРЫ	ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
у h] £ Д]у и Ту гцТ		- FnT. Этим доказана		сюръективность.	Для
доказательства	пнъективности		рассмотрим а,	р £ А^ и а ==	1 О'
					О с

"1 О'

Р ^ О d mod(iV). Если ГаГ = ГрГ, то с = det(o) = det(P) =

=d mod(iV); следовательно, a == p mod(iY). Поэтому в силу (1)

{лемма	3.29) Г'аГ'	= Г'рГ'.	Этим доказана ииъективность, так как
R ( T ' , A ' N ) (соответственно			R ( T ,	A N ) ) является свободным		Z-моду-
лем, порожденным		классами Г'аГ'		(соответственно ГаГ) при а		Е к%.
Рассмотрим теперь множество
(3.3.3)	(Га	Ь~\				]
	Д' = \|	6 A \| a 6 t ) ,		b = 0 mod (0, с = 0 mod (YV) \| .
Это полугруппа, содержащая Г' и A ' N . Выясним структуру коль
ца Д ( Г , А').
Для	каждого простого числа			р положим	Ер = G L 2 ( Z P ) .	Тогда
для каждого элемента a £ А двойной смежный класс ЕраЕр						полно
стью определяется		р-частыо	элементарных		делителей матрицы a

и обратно. Далее, для целого положительного числа m будем писать тп | №°, если все простые делители числа m делят N. В таком случае каждое положительное целое число единственным образом записы

вается	в виде mq, где m \| JV00			и (q,	N) = 1.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.32. Пусть а				6 A ' , det(a) =		mq, т \ №°, (q,		N)	=
= 1.	Тогда	справедливы	следующие		утверждения:
(1)	Г'аГ'	= {р 6 А'	\| det(P)	= mq, ЕР$ЕР		= ЕраЕр	для всех	про
стых делителей р числа q}\
(2)	существует такой элемент £ из А', что det(£) =						q, и ЕР\ЕР		=

=ЕраЕр для всех простых делителей р числа q;

(3)	если 5 — элемент из (2) и и =		Г1	01
(3)	если 5 — элемент из (2) и и =		Q Т	> Т О
	Г ' а Г = (Г'ЕГ')-(Г'лГ')		= ( Г н Г ) - ( Г 1 Г ) ;
(4)	элемент с из (2) можно	выбрать из
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Пусть	Х(а)	— множество,	определен
ное в правой части равенства (1). Очевидно, Г'аГ' сг Х(а).					Для дока-
					а	*
зательства обратного включения рассмотрим матрицу р					=	*
					*	*

6 А'(а). Так как числа а и mN взаимно просты,						то ае == 1 mo&(mN)
при некотором е 6 Z. В силу леммы 1.38 существует такой элемент у
из SL2	(Z), что у		е	01
' 1	tb		0	а	mo&~(mN). Так как р £ А', то у 6 Г' и у$ =
		mod	(mN)	при некоторых целых b и		/. Положим б
JN	*

§ 3.3. КОЛЬЦО ГБККЕ ДЛЯ КОНГРУЭНЦ-ПОДГРУППЫ

О'

Тогда б € Г' и SyB!

to"

mod (niN) при

некотором

-fN

l j

g 6 Z. Вычисляя определитель, получаем mq =

g mod(mA/),

так что

6 7 Р==

1 tb .

" 1

to"

I =

LO /ngj mod(miV). Положим

и =

e = .0

6 7 P s _ 1 ri _ 1 .

Тогда det(|) =

g и

£ =

0 mod(Ar ), так

что

| £

AjvДалее,

P 6 Г'|т|Г'. По

Ep<xEp

для

всех

построению

E V % E V

делящих g. Это доказывает (2) и (4).

Элемент I может зависеть от р. Покажем, что класс Г'^нГ" опре

деляется только элементом а н не зависит от выбора элемента р. Для этого выберем такой элемент ^ из А%, что det(^± ) = q и Ер^Ер =

=ЕраЕр для всех р, делящих д. В этой ситуации элементы | и £t

имеют одни и те же элементарные делители и, следовательно, Г£Г

Г^Г.

Так

как

\ =

£t

О gj mod(iV),

то

Г ^ 1 \

= Г Л - £ Д \ -

это

следует

из

утверждения

(2)

леммы

3.29; таким образом, ^

ф^1р при

некоторых

ср и

ар из Г^.

Согласно

китайской

теореме

об остатках, можно найти такой элемент 9 в группе М2 (й), что

0 = 1

inod(mJV)i

0 =

Tj-4p_ : L n

mod g - M 2 (Z p )

для

всех

делящих

Но

тогда

det(G) =

1 mod(m.giV). В

силу леммы 1.38 можно счи

тать,

что

0 Е SL2 (Z).

Тогда

0 €

Положим

со = £грт]9(£т|)_1.

Тогда

det(co)

со =

1 mod iV'M2 (Zp)

для

всех

р,

делящих

со == mod M 2 ( Z P )

для

всех

р,

делящих

д.

Поэтому

со 6 M2 (Zp) для

всех

р,

так

что

со 6 M 2 ( Z ) ;

следовательно,

со 6 I V

Так

как

Ъ\Щ =

coin©"1 ,

то

Г ' ^ Г '

= Г ' ^ л Г '

= Г'|г|Г'.

Это говорит о том, что класс Г'^пГ' определяется только элементом а. Кроме того, мы уже видели, что Г'аГ' cz Х(а) cz Г'|т)Г'. Тогда очевидно, что все три указанных множества должны совпадать, а это дает утверждение (1).

Из определения множества Х(а) следует, что для произвольного элемента |, упомянутого в (2), множества Г'^Г'ттГ' и Г'т)Г'|Г' содер жатся в Х{а). Поэтому

Г'аГ' = Г'|Г'т)Г' = Г'г|Г'£Г\

Чтобы доказать, что кратность класса Г'аГ' в (Г'£Г') -(Г'^Г') равна 1,