Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 143

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

98

ГЛ.

3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ

И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

Действительно,

положим

a t = Ya 2

при

у

£ Г

и

 

 

 

at

ibf

 

 

 

 

"и к?

Тогда

 

К (ад

= 0

ail_ .

V

(у) =

V

X

 

 

 

~uaz

uifr2

-|-

wa„1

 

 

 

 

 

 

 

 

.0

* .

_щ2

 

*

 

 

 

 

так что

у = 0,

u =

aiffij1

6 £) и

£ | ш;

следовательно, Y € Г'. Этим

доказано

утверждение

(*).

Пусть

теперь

Г'£Г' = U Г'£ г , Г'т)Г' =

= (J T'r\j — разделенные объединения. Согласно утверждению (*), i

классы Г|; различны и классы Гл. j тоже различны. Кроме того, в силу предложения 3.16

(Г£Г) -(ГиГ) = Г|Л Г = ГаГ.

Поэтому число таких пар (i, / ) , для которых Г£;Г|;- = Га, не боль­ ше 1. (Заметим, что класс РпГ может содержать смежные классы, отличные от Гп;-.) Следовательно, число таких пар (£, ;'), для которых

Г'ё;Г|^ =

Г'а, не

превосходит 1, так что кратность класса

Г'аГ'

в ( Г £ Г )

-(Г'^Г') равна 1. Произведение (Г'т|Г') -(Г'БГ) можно

иссле­

довать с помощью

тех же рассуждений.

 

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.33. Пусть а £ A ' , det(a) = т, где т \ №°. Тогда

m - l

."1

tr

r ' a r ' = { P 6 A ' | d e t ( p ) = m} == U Г'

0

т

7=0

 

 

(объединение разделенное).

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Утверждение о

совпадении первых

двух множеств есть частный случай утверждения предложения 3.32. Что же касается последнего множества, то оно, очевидно, содержится

во втором множестве. Пусть (3 £ A ' , det(P)

= т. Рассмотрим частный

случай

q =

1

в

доказательстве

предложения

3.32.

Очевидно,

что

5Y 6

=

"1

# Г

при

некотором

§ из Г N ,

некотором

целом числе h

0

т

 

 

 

 

 

 

б из Г'. Если

 

 

г и 0 ^

г <

 

и некоторых

элементах

у,

Ъ = mh +

т,

" 1

Щ

Г1

Щ Г1 t4l

Поэтому

р содержится

в

последнем

T ° 0 m

=

0 1

 

От'

 

множестве.

Для

доказательства

разделенности

предположим,

что

0 < r < s

<

m

—

1

 

"1

tr'

"1

ts~

 

 

a tb~

 

и

О-. т =

Y _0 т_ при у —

с

d е

г .

Тогда

 

 

 

 

" 1

tr

'а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_0

т

— с ctsJj-dm_

 

 

 

 

 

 

так что у должно быть равным 1. Доказательство закончено.

§ 3.3. КОЛЬЦО ГЕККЕ ДЛЯ КОНГРУЭНЦ-ПОДГРУППЫ

99

Для произвольного целого положительного числа п обозначим

через Т'(п)

сумму всех классов Г'аГ', в которых а 6 А' и det(a) = п.

Согласно предложению

3.33,

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.3.4)

 

deg(7"(m))

- m,

если

m

| N<*>.

 

 

Далее, для

двух

положительных

целых

чисел

and,

для

которых

(3.3.5)

 

 

а

| d,

(d, N)

=

1,

 

 

 

 

обозначим

через

Т'(а,

d)

элемент

кольца

R{T',

A'N),

переходящий

 

'а

0]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в Т{а, d) =

Г

Г

при изоморфизме R(V,

Д^) иа R(T,

Д),упо-

минавшемся в предложении 3.31. В этих обозначениях докажем

следующую теорему.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТЕОРЕМА 3.34.

(1) Кольцо

R(V,

А') является

полиномиальным

над

Z с

образующими

вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т'(р)

для

всех простых

р,

делящих

 

N,

 

 

 

 

 

 

 

Т'(1, р), Т'(р, р) для

всех

простых

 

р,

не делящих

 

N.

 

Эти

элементы

алгебраически

независимы.

 

 

 

 

 

 

 

(2)

Каждый

элемент

Г'аГ'

при

а 6 Д'

единственным

образом

представляется

в

виде

произведения

Т'(т)Т'(а,

d) =

Т'(а,

d)T'(m)

при

m

| №°,

а \ d,

(d,

N)

=

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

T'(m)T'(n)

 

=

T'(mN),

 

если

 

m \ №°,

n \ Nn.

 

 

 

 

(4)

Т\щп2)

 

=

Т'{щ)Т'(п2),

 

если (щ, п2) = 1.

 

 

 

 

(5)

Кольцо

 

R{V,

A')

® z Q

порождается

элементами

Т'(п),

где

п пробегает

поле

Q.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Утверждеипе

(2) следует

из

предложе­

ния

3.32.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

т | №°

и

п \ №°,

то

в

силу

предложения

3.33

имеем

Т'(т)Т'(п)

=

сТ'(тп)

при некотором положительном целом числе с.

В силу (3.3.4) и предложения 3.3 с должно быть равно 1; этим дока­ зано (3).

В силу предложения 3.31 кольцо R(V, А') порождается элемен­ тами, перечисленными в (1). Доказательство алгебраической неза­ висимости этих элементов проводится непосредственно и предостав­ ляется читателю.

Наконец,

если п =

mq при

т \ №°

и (q, N) = 1,

то

Т'(п) =

=

T'(m)T'(q)

= T'(q)T'(m)

в силу (2). Поэтому, согласно

предложе­

ниям 3.16 и 3.31, а также утверждению

(3), выполняется

(4).

 

В силу утверждений (1) и (5) теоремы 3.24 и в силу предложе­

ния 3.31

РТ'(р,

р)

=

T'{pf

-

Г(р«)

 

 

 

 

 

 

для

каждого

простого

р,

не

делящего

N;

вместе с (1) это

доказы­

вает (5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7*

100 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

Итак, умножение элементов Т'(п) можно свести к умножению элементов T'(ph) при простых р. Если р делит N, то Т'(рк) = T'(p)h. При (р, N) = 1 элементы Т'{р'') удовлетворяют тем же соотноше­ ниям, что и в теореме 3.24, если принять во внимание предложе­ ние 3.31. Все эти факты суммируем в виде следующей теоремы.

ТЕОРЕМА

3.35. Кольцо

R(V, А') является

гомоморфным

образом

кольца R(T,

А)

относительно

отображения

 

 

 

 

 

Т(п)

 

Т'(п)

для

всех

положительных

целых

п,

 

Т(р,

р)

|—*"

Т'(р, р)

для

всех

простых

р,

не

делящих

N,

Т{р,

р)

1—*• 0

для

всех

простых

р,

делящих

N.

 

По этой причине из утверждения (3) теоремы 3.24 получаем

(3.3.6) Г (т) Т' (я) = 2 d• Г' (d, d) Г (mn/d2)

d

(суммирование ведется по всем положительным делителям d числа

(т,

п), взаимно простым с N).

Далее, если определить формальный

ряд

Дирихле

D'(s)

равенством

со

 

 

 

 

 

 

 

(3.3.7)

D'(s)=

2

( Г а Г ) - d e l (a)"s = 2

T'(n)n-S,

 

 

 

Г' \Д'/Т"

 

п=1

 

то из предыдущих рассмотрений можно вывести, что

(3.3.8)

D'

 

 

(s)=U[l-T'(p)p-riX

 

По определению

(3.3.9) Т'(р) = Г

 

 

P\N

 

X

П

 

Ц-Т'(р)р-Ч-Т'(р,р)р^]-К

1

0"

Г' для

каждого простого числа р.

о Р.

Рассмотрим элементы T'(q, q) при положительных целых q, взаимно простых с N. В силу леммы 1.39 существует такой элемент оq группы SL,(Z), что

(3.3.10)

 

 

 

"

- 1

0"

 

 

 

 

 

 

 

4S

 

 

 

 

1

0 " и

 

 

 

 

Тогда

lN{q-aq)

Гд - а д Г

=

T(q, q).

Поэтому

(3.3.11)

 

О

q\

 

 

 

 

 

 

 

T'(q,

q) =

 

T'q-aqY'.

 

 

Класс Г'ссГ' обладает одним простым свойством, которое можно

описать

с помощью

«главной

инволюции» матричной алгебры. Для

а Ь~\

 

 

 

 

 

 

 

,a = |

d, I 6М 2 (С)

положим

 

 

0

Г

 

 

d —Ъ

е • f а е _

 

е =

 

 

•с

a j

 

- 1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 3.3. КОЛЬЦО ГЕККЕ ДЛЯ КОНГРУЭНЦ-ПОДГРУППЫ

101

Легко проверить

что,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с,

 

 

( а

+

р)1

=

а 1

+

Р1 ,

 

( а Р ) 1

= р 1 а \

(са)

1 =

с а \

с е

 

 

 

 

 

а

+ а 1 =

tr(a) - 1 2 ,

 

а а 1

=

det(a)

- 1

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отображение

i называется

главной

инволюцией

алгебры М2 (С). Оче­

видно, алгебры M 2 (Q) и M 2 (R) сохраняются

при

i .

 

 

 

Пусть

а £ Aft

и

det(a) = q.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

XN

(a) =

1

О"

 

 

( a l )

=

q

0'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.0

q.

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

так

что

 

a == aqal

 

=

alon

 

mod(Ar ).

Поэтому,

если

учесть,

что

a

и a l

имеют одни и те же элементарные делители, из утверждения

(2)

леммы 3.29 получаем, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.3.12)

 

Г а Г '

=

Г'стд аТ' =

Г'а 1 а д Г',

если а 6 Aft, det(a) = q.

Кроме

того,

легко

проверить,

что

T'aq

=

одТ';

 

следовательно,

в силу предложения

3.7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.3.13)

 

Г'оГ'

=

( Г с т д Г ) - (Г'аТ')

=

( Г ' а Т ' )

-(Т'о^').

 

 

Отсюда

вытекает,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.3.14)

 

 

Г'аГ'

коммутирует

с Г ' а Т ' ,

если

а £ Aft.

 

 

 

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.36. Для каждого положительного целого числа а, взаимно простого с N, зафиксируем элемент оа группы S L 2 ( Z ) так, как это делалось в (3.3.10). Тогда для любого положительного целого числа п

{ a 6 A ' | d e t ( a ) = n } = U U Гаа

о Ь=0

где a > 0 , ad = п, (a, N) = 1 и объединение

'а Ы'

0 d разделенное.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Очевидно, правая

часть

содержится

в левой. Для доказательства

разделенности объединения

в правой

части предположим,

что

"уст0 •

а

ЪГ

 

'и

vt'

при у

 

 

0

d

 

0

w

 

 

ЖИМ

ОиУОа

 

 

 

Тогда

 

 

а

Ы'

и vt'

 

так

что

 

 

h

 

/г

0

d

0

w

 

g = 0.

Так

 

 

 

g

1;

следова­

как ISdet(au1 vo"a ) =

1 и

 

аи > 0 ,

то

е =

h =

тельно,

а =

и,

d =

w и

vt =

bt +

fd.

Так как у

£ Г',

то / =

ft

при некотором / '

£ Z. Но тогда v =

 

b +

fd,

так что v =

b. Это дока­

зывает

разделениость.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть теперь ?г = mq при т | №° и (g, iV) = 1. Тогда deg(T'(;z)) =

=7?г-deg^'^)). В силу утверждения (7) теоремы 3.24 и утверждения

(5) леммы 3.29 имеем deg(2"(g)) =

deg(T(ff)) =

2

с-

Поэтому

 

 

с 1 q, с>0

 

легко видеть, что deg(!T'(/z)) совпадает с числом

смежных

классов

нашего разделенного объединения.

Доказательство

закончено.

Смотрите также файлы