Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл (14,38Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 145

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

102 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

§ 3.4. Действие двойных смежных классов на автоморфпые формы

До сих пор наши рассуждения о двойных смежных классах были исключительно алгебраическими или арифметическими. Теперь мы обратимся к ситуации гл. 2 и рассмотрим представление двойных смежных классов на пространстве автоморфных форм, как это и было намечено в § 3.2. Напомним сначала обозначения:

	/(a,	z)	= cz + d		(z 6	а	=	а Ъ'
	/(a,	z)	= cz + d		(z 6	а	=	с d 6 GL 2 (R)),
	/ \| W f c		= det(a)f t / 2 ./(a(z))7(a, z)~h
для произвольной функции / на полуплоскости ,<§.
Пусть	Г4	и	Г 2	— соизмеримые		фуксовы			группы	первого	рода,
группа Г — соизмеритель					групп 1\ п		Г 2	в	GL*(R)	в смысле	§ 3.1
и а 6 Г.	Для		fdAk{Ti)		положим
(3.4.1)			/ \| [ r 1 a r 2		] f t = d e t ( a ) f e		/ 2 - 1 .		2
где							v = l
где				d
				d
		Г1 аГ2 =		U	(объединение			разделенное).

v = l

Очевидно, что функция / | [Г^аГ^ь не зависит от выбора предста

вителей	a v .
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.37. Оператор [Г^аГ^ь переводит									A^Ti),	Gh(Ti),
Sh(Yi) в Ah(T2),		Gh(T2),		Sh(T2)	соответственно.
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Пусть	б £ Г2 .		Тогда	совокупность
{ r i a v 6 } v	как целое совпадает с { r \ a v					} v . Поэтому если g — f				\|[Г1 аГ2 ]11 ,
		g\|[6]k	=	det (a)h'2-i-yif\		V	[av6]h	=
						V
			=	det (a)f t / 2 _ 1 -2/\|[av]) t				= g.
						V
С другой	стороны, в		силу предложения				2.4	/\| [ a v l ) t	£	А^а^Т^).
Положим
			Г3	=	П G C v ^ i C X v П		Г2 .
					v

Тогда Г3 — подгруппа конечного индекса в Г 2 и g 6 ^/i(r3 ). В силу предложения 2.6 g£Ak(T2). Те же рассуждения применимы к G;t (I\)

иSk(Tt).

Рассмотрим модуль	R i	2 ,	порожденный классами 1\аГ2 при а £ Г
(см. § 3.1). Для каждого X =			2 са -Г^аГг 6 i ? i 2	П Р И са 6 Z определим
/ I lX]h =	2	оJ	\| [ГчаГЛ, /	6	Ak(Tt).

	§ 3.4. ДЕЙСТВИЕ ДВОЙНЫХ СМЕЖНЫХ КЛАССОВ								103
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.38. [XY]h			= [X]hlY]k		для каждого			X £ R\z и каж
дого Y 6 -^23-
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Достаточно показать,					что
(/	I [Г 1 а Г 2 ],0	\| [ Г 2 р Г 3 ] л =		/	\| К^аГаМГаРГз)]*.
Пусть ( Г 1 а Г 2 ) - ( Г 2 р Г 3 )		= S	с^Г^Га)		при	с6 6 Z	и
Г 1 а Г 2	= U r i a f l	Г 2 рГ 3 =		U Г2 р^,		Г^Гз	=	U	Tilh
	г			i				h

— разделенные объединения. В соответствии с нашим определением умножения имеем

Поэтому
</1 [Г^ГаЬ) \| [Га рГа и	=
= det (ар)' 1 7 2 " 1	S / 1 [аРЖ = det ( а Р ) ' 2	" 1	JJ cvf\ Ыи =
	i, i

= /|[(Г1аГ2 ).(Г2 рГ3 )]й , что и требовалось доказать.

Вчастности, зафиксируем фуксову группу Г первого рода.

Тогда действие кольца R(T, Г) на пространстве Ak(T)						(Gk[T),	Sh(T))
определяет некоторое представление кольца R(Y, Г).
Сосредоточим			теперь внимание		на пространстве	Sk(T) и введем
в нем скалярное произведение. Для двух элементов / и g из							Sk(T)
положим
(3.4.2)	</,	g)=	\	f(Z)TU.yh-4xdy	{z = x +	iye®.
Заметим,	что	f(z)g(z)yh		и y~2dxdy	инвариантны относительно		дей

ствия Г в силу предложения 2.18 и соотношения (1.2.3). Поэтому указанный интеграл определен, если он сходится. Для доказатель ства сходимости достаточно показать, что f{z)g(z)yh как функция на факторпространстве Г\§* непрерывна в точках, соответствую


щих	параболическим			точкам.		Пусть		s — произвольная		параболи
ческая		точка	группы	Г,	а р — такой			элемент группы		SL 2 (R), что
p(s)	=	оо, и	пусть Г5	=	{7 6 Г		\| y(s)	— s).	Тогда
			р Г . р - 1 . { ± 1 > =			f	П	^ Т "	1
			р Г . р - 1 . { ± 1 > =			[±[0		4J	mezj

при некотором положительном вещественном числе h. В этой ситуа ции существуют голоморфные при q = 0 функции Ф(а) и ¥(#), для которых

/ 1 [Р- 1 Ь = Ф (eKi2/h),

g I [р-1 ]/, = T (в**/*).

104 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

Ио тогда

/ И Т Й I m (шк) =	/ (р-1 (z)) g~W4m I m (р-1	(z))h	=
=	ф (ея,-2/Л) ЦТ (еяи/Л) I m (z )"	( w =	р-1 ( Z ) ) .

Так как Ф(0) = ^(0) = 0, то рассматриваемая функция непрерывна вблизи точки на Г\<§*, соответствующей точке s, что и требовалось доказать.

Скалярное

произведение

(/,

является,

конечно, эрмитовым

и положительно

определенным;

оно

называется

скалярным

произве

дением Летерсона

(или метрикой

Петерсона)

в пространстве

5ь(Г).

Найдем теперь оператор, сопряженный к [Г^аГг^ относительно

этого

скалярного

произведения.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.39. Пусть

Г\ и Г 2

— соизмеримые

фуксовы

группы

первого

рода,

пусть

а £ Г4 .

Если

det(a) =

то

I t r i a r j f c , g)t

(/,

\ [Тз/х-ЧАь

для всех

6 ^ ( Г } )

и g £ ^ ( Г г ) ,

где

(

) г — скалярное

произведение

Петерсона

в 5 л (Г г ) для

£ =

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим

сначала,

что

для

любого

a g SL2 (R) и любого измеримого множества А на полуплоскости ig

(3.4.3)	J f.^-yh-4xdy^	j ( / I [a]f c )-(g\| [ a ] h ) . y h - 2 d x d y .
a	(.А)	A

Пусть P — фундаментальная область пространства Г2\<д. (Напри мер, можно взять в качестве Р многоугольник П на рассмотренный в доказательстве теоремы 2.20.) Пусть

Г 2 = U ( Г а П а - В Д е , ,

			V
— разделенное объединение. Тогда и З^аГг = U Глаег — разделен-
ное	объединение.	Согласно (3.4.3),		V
ное	объединение.	Согласно (3.4.3),
\	(fli^aT^^.y^dxdy^
р
	=	2	j (/\|[ae v ] f t ) - g - » f t - 2 <te^	=
		V	Р
	=	2	j {f\Mk)-l-yh-2dxdy	=

	= j ( / l № - F - i / f t - 2 &	dy = j	f-isW^hd-y^dxdy,
	Q	a(Q)
где	= U ev (P). Легко видеть, что	(2 — фундаментальная область
	V

для группы Г 2 П ос - 1 ! 1 !»; следовательно, a(Q) — фундаментальная

§ 3.4. ДЕЙСТВИЕ ДВОЙНЫХ СМЕШНЫХ КЛАССОВ

105

область

для а Г 2 а - 1

П I V

Обозначая

через

( ,

) ' (соответственно

( , )")

скалярное

произведение

Петерсоиа

Sk(Tz

П с б _ 1 Г 1 а )

(соот

ветственно

в 5 , , 1 ( а Г 2 а _ 1

П Ti)))

получаем

I t r j a r j f t , g)2

I [ a ] f c

g ) '

</, g

I t a - l ] f c > " .

Поменяем местами / и g

и возьмем

a _ 1

вместо

a; тогда

(/,

I [Г 2 а - 1 Г 1 ]„> 1

(/, g

I [ a - 4 f t > " ,

доказательство

закончено.

силу

определения

функции

j(a,

оператора [o]h

имеем

] Гс]л

для каждого

£ R x ,

так

что

(3.4.4)

| [ Г 1 С Г , ] к =

с"-2 /,

с 6

По этой причине предложение 3.39 можно модифицировать, вводя скалярный множитель в случае, когда det(a) Ф 1. Однако если воспользоваться главной инволюцией i матричной алгебры M 2 (R) (см. § 3.3), то для произвольного элемента a £ Г ; (не обязательно такого, что det(a) = 1) получим

(3.4.5)

(/iUVxIVlb,

g)2

{/,

gllT^TJkh.

Это легко проверить, так как если a =

ср при с

6 R* и Р 6

S L 2 ( R ) ,

то

сс1 = с р - 1 .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.40.

Пусть

Г 0

— нормальный

делитель

конеч

ного индекса

некоторой фуксовой

группе Г

первого

рода.

Тогда

линейное

преобразование

[ r 0 o T 0 ] f t

на

векторном

пространстве

iSft(r0 ) при произвольном

а £ Г

унитарно

относительно

скалярного

произведения

Петерсона

на

Sh(T0).

Это непосредственное следствие предложений 3.7 и 3.39.

Линейное

преобразование на

S ^ I V

типа

[ Г ^ а Г ^ называется

оператором

Гекке

(в обобщенном

смысле). В следзаощем

парагра

фе мы детально

обсудим операторы Гекке в том виде, в каком

они

были определены самим

Гекке.

Упомянем

вкратце, что двойной смежный класс Г^Гг допу

скает интерпретацию

«алгебраического

соответствия»—

подробно

об

этом

будет

сказано

в гл. 7. Пусть Г' = Г2Па~1Г1СХ> и пусть

Фь

Фг и

ф'

обозначают

проектирования

из

на

ГД^д*, Г 2 \ § *

и Г'\<§*

соответственно.

Зададим

два

голоморфных

отображения

Л :

Г'\&* - > ГД<е*,

Р2:

Г'\£*

Г 2 \ £ *

равенствами

Pi о ф'

ф 4 о а , Р 2

о ф '

= ф2 . Заметим, что Р2

— есте

ственное проектирование, а Pt — композиция естественного

проек

тирования из

Г'\ф*

иа ( a - 1 r j a ) \ i Q *

изоморфизмом

из

( а ~ 1 Г 1 а ) \ ^ *

в Г Д § * ,

определенным

соответствием z ь-*- a ( z ) .

Пусть Г 2

U Г'е г

— разложение

на непересекающиеся

смежные

г=1

106	ГЛ.	3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ I I ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
классы.	Тогда	d			(объединение			разделенное; см.
классы.	Тогда	Г^аГг = U Г^ае^			(объединение			разделенное; см.
		i = i
доказательство		предложения		3.1).	Поэтому		если cp2 (z) — точка
на Г 2 \ £ *	при	z 6 £ * , то
		^(Ф2(2))	-	{Ф'(в,(2))\| i		=	1,	. . .,	е},
		PilP-АчШ	=	Ыа*Ш		i =	1,	. . .,	е} .

Так как cpt (P(z)) зависит только от Г4 р, то мы доказали следующее утверждение:

если 1\аГ2 = [) Г^а*, то при отображении Pt о Р'1 точка

Ф2 (з) соответствует точкам cp^a^z)) для i = 1, . . ., е.

Это наиболее примитивная форма того, что мы называем алгеб раическим соответствием и, в частности, модулярным соответст вием, когда группы Г являются конгруэнц-подгруппами в SL 2 (Z) . По поводу исторической стороны этого вопроса мы отсылаем чита теля к Гурвицу [2].

§ 3.5. Операторы Гекке и пх связь с коэффициентами Фурье

Рассмотрим теперь группу Г = SL2 (Z) и ее конгруэнц-под- группы. Пусть N — фиксированное положительное целое число, а A*N, Г' и Д' те же, что в (3.3.1) — (3.3.3). Из (3.3.14) и (3.4.5) следует

ТЕОРЕМА 3.41.		Линейные преобразования [ Г " а Г ] ; ,			на простран
стве Sh(T')	при а	6	А% попарно коммутируют	и нормальны отно
сительно	скалярного		произведения Петерсона	на	Sh(V).

Мы называем линейное преобразование нормальным, если оно коммутирует со своим сопряженным относительно введенного ска лярного произведения. Если N = 1, то ГаГ = Га1 Г для каждого а 6 А, так как a n a 1 имеют один и те же элементарные делители. Таким образом, из (3.4.5) вытекает

ТЕОРЕМА 3.42. Линейные		преобразования	[ Г а Г ] Л	на пространстве
Sh(T)	при а 6 А попарно	коммутируют и самосопряжены относи
тельно	скалярного произведения Петерсона		на	Sh(Y).

Хорошо известно, что попарно коммутирующие нормальные линейные преобразования одновременно приводятся к диагональ ному виду, т. е. существует базис рассматриваемого векторного пространства, элементы которого являются собственными векто рами всех этих преобразований. Поэтому можно найти общие соб

ственные	функции операторов		[ Г ' а Г ] ^ для всех	а £ Aft , которые
образуют	базис в Sk(V).	В частности, если N =		1, то собственные
значения	вещественны,	так как	операторы [ Г а Г ] Л	самосопряжены.

Смотрите также файлы

Аэропорт Урай.docx

Государственная система контроля качества, эффективности и безопасности лс.doc

Информация о мероприятиях, проведенных в 20212022 учебном году, по ранней профессионализации школьников с целью получения высшего образования в рамках предметного профиля Русский язык и литература.docx

Циклограмма на неделю(1115 апреля 2022 года).docx

Мбоу пильнинская сш 2 им. А. С. Пушкина учитель начальных классов.doc

Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно