Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 149

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

 

 

§

3.5.

ОПЕРАТОРЫ

ГЕККЕ

 

 

107

 

Пусть

N =

1.

Так

как / | Т(р,

p)k

=

р й ~ 2 / , то

элемент из

Sh(T)

является

общей

собственной

функцией

для [ГаГ]^ при всех

а £ Д тогда и только тогда, когда

он является

общей

собственной

функцией для

Т(р)

при всех простых р. Пусть /

— такая собствен­

ная

функция

и

/

| Т(п)к

— и п /, где

| i n

6 R

Для каждого положи­

тельного

целого

числа. Согласно (3.2.2), имеем

(формально)

 

 

 

 

5 Ц П П - ^ П И - И Р Г ' + Р * - 1 - 2 * ] - 1 .

 

 

 

 

 

71=1

 

V

 

 

 

 

 

 

В следующем параграфе мы покажем, что этот ряд Дирихле схо­ дится в некоторой полуплоскости и может быть голоморфно про­ должен на всю комплексную i-плоскость; далее будет показано, что он удовлетворяет некоторому функциональному уравнению, аналогичному тому, которому удовлетворяет дзета-функция Римана. Мы докажем подобные результаты и о конгруэнц-подгруппах группы Г.

Ограничимся теперь пространством б'^Г') . На самом деле можно рассматривать ряды Дирихле, ассоциированные с элемен­ тами пространства Gh(T'). Известно, что пространство Gh(V) порож­ дается пространством Sh(T') и «рядами Эйзенштейна», принадлежа­

щими Г',— это было показано

в

§ 2.2

в

частном случае N = 1.

Можно

показать также,

что

ряды

Дирихле, ассоциированные

с рядами Эйзенштейна уровня

N,

имеют

вир

 

Цз,

Xi)L(s

— к

+

1,

%г),

где L(s,

х) — некоторая

L-функция,

определенная равенством

 

 

 

оо]

 

 

 

 

 

L (s, х) =

S

X Н

™-'

 

 

 

771=1

 

 

 

при некотором характере % группы (Z/NZ)*. Детали см. Гекке [2], [4]. Поэтому природа коэффициентов таких рядов Дирихле довольно проста. В этой связи следует сказать, что арифметический смысл рядов Дирихле, ассоциированных с параболическими фор­ мами, по-прежнему остается таинственным1 ).

Рассмотрим теперь Г' и Д' в несколько специальном случае. Зафиксируем положительный делитель t числа N и рассмотрим

два экстремальных случая:

I) =

(Z/NZ)*

и I) = {1}

в обозначе­

ниях (3.3.2), (3.3.3). Именно,

положим

 

 

 

 

Г

 

 

Га

 

tb~\

 

1

(3.5.1)

г; =

| Y 6 S L 2 ( Z ) | V ( 7 ) =

q

а_г

,

aeimzy,

b e z / i v z j ,

(3.5.1')

Г" =

{ y£T'\\N(y)

=

J

*ь

,

b e z / w z } ,

 

х ) См. по этому поводу статью 10. И. Манпна [ 2 * * ] . — Прим. ред.

108 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

 

 

 

 

 

'a tb

6 (Z/NZ)

 

 

 

 

d б Z/NZ } ,

(3.5.1")

Д; =

{ а б Д | М а )

=

0 d

, а

\be

Z/NZ,

 

 

 

 

"1

lb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д' =

{ а е Д | М а )

=

be Z/NZ,

d£Z/NZ^

,

 

 

0

d

 

где K

N — естественное отображение

из

M 2 (Z)

в

M 2 (Z/iVZ)

Оче-

видно,

Г" — нормальный

делитель

в

Т'0

н

факторгруппа

 

изоморфна

(Z/NZ)X.

Пусть

а|?

характер

группы

(Z/JVZ)

т. е.

некоторый гомоморфизм из

(Z/NZ)"

в {z 6 C||z

I =

1}. Дляудоб -

ства положим при а £ Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

Г 0,

 

 

 

если

(а, N) Ф 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

(а, vV) =

1.

 

 

'а Ь~

Далее, если \ = |^ £ Д, положим а(£) = а$ = а. Обозначил!

через

Sh(T'0,

г|э) множество

всех элементов /

из

Sh(T"),

 

для

которых

(3.5.2)

 

 

/

\[y]k

=

^(av) - 1 /

Зля всея

у

£

Г;.

 

 

 

 

 

Если a g — такой же элемент из SL 2 (Z), как в (3.3.10),

то

условие

(3.5.2)

эквивалентно

 

условию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.5.3)

/|[o-g]f t = ty(q)f для каждого q, взаимно

простого

с

N.

 

Поскольку

 

пространство

 

Sk(T")

 

 

можно

 

рассматривать

как

(Гд/Г")-модуль, то его можно представить в

виде прямой

суммы

пространств

Sh(Y'0,

я|э) для

всех характеров

\р группы

(Z/iVZ)*. Мы

видим

также, что

Sh(T'0,

г|?) =

{0},

если

только

ие

выполнено

равенство \\>(—1) = (—1)''. Из предложения

 

3.40

мы

немедленно

получаем,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.5.4)

подпространства Sk{T'0,

г|:)

пространства

Sh(T")

взаимно

 

ортогональны

относительно

скалярного

 

произведения

Петер-

 

сона.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

Г',

Ъ) и

Д'

те

же,

что

в

(3.3.2)

и

(3.3.3).

 

Заметим, что

Г"с= Г" cz

Г'

Д" с

Д'

с А ;

и пространство

 

Sk(V)

 

есть

прямая

сумма

пространств Sk(T'Q,

 

\р) для

всех таких

г|з, что \\>(Ц)

=

1.

Для каждого a f AJ можно следующим

образом

определить

линейное преобразование [Г„аГ^Й 1 ( 1 , на Sh(T'Q,

 

г|з). Возьмем разде­

ленное

объединение

Г„аГо

=

U

 

 

и для /

 

£ Sh(T'0,

 

\р) положим

(3.5.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/1 [ГоаГок ф

--= det (af2'1

 

2

<ф (a (ov )) •/ | [ a v

] k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

Легко видеть, что правая часть этого равенства не зависит от вы­ бора представителей { a v } n удовлетворяет условию (3.5.2). Далее,

(3.5.6) оператор

[T$T'0]h,y

является ограничением

преобразования

[Г'РГ"]^

на

пространство Sh(T'Q, -ф) для

каждого Р £ Д'»

если a|)(fy)

=

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 3.5. ОПЕРАТОРЫ

ГЕККЕ

 

 

 

109

Действительно, в силу предложения 3.36 можно найти

разделен­

ное

 

разложение Г'ВГ' =

U Г'р\, где

элементы

8V

имеют

вид

 

 

a

ib

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

d j . Но тогда в силу того же предложения мы получаем раз­

деленное

разложение

Г0 ВГ0 =

(J

r 0 B v .

Так как тр(а (Р))

= 1 для

В 6 А'» если лр(Ц) =

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

1, то (3.5.6) доказано.

 

 

 

 

 

 

Заметим, что для любого а 6 До существует

такой

элемент В

из

Д", что Т'0аТ'0 =

Г0 ВГ„. Поэтому (3.5.6)

означает, что функция

/ | [Г„аЦ],,, ,| принадлежит пространству

Sk(T'0, \р).

 

 

 

 

Мы видим теперь, что

отображение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г>г0 ^

[г;аг;];ьМ,

 

 

 

 

 

определяет

представление

кольца R(T'0, Д„) на Sh(V0,

лр). Обозна­

чим

через

Т'(а, d)f

t i l j, и Т'(п)к,

^

результат действия

операторов

Т(а,

d) и Т'(п) на 5,г (Г„,г()),

определенного в (3.5.5). Согласно

пред­

ложению 3.36,

 

 

 

d-i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.5.7)

 

 

/ | Г (га)*. „, =

2

2

W

/ № + Щ/d) d~h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а Ь=0

 

 

 

 

 

 

(В

силу

соглашения

 

( а > 0 ,

ad = n).

 

 

 

исключить

«чр(а-) = 0 для (а, iV) ф 1» можно

условие

(а, N = 1).)

Согласно

(3.3.11) и (3.4.4),

 

 

 

(3.5.8)

/ 1 2" (g, g)f t .ф

=

 

(g)./ для f£Sh(T'0>

г|>)

и (q,N)

= l.

 

Поэтому

из (3.3.8)

и

(3.3.6) формально

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.5.9)

 

 

2 T'(m)hi^m-S

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

711=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= П а - г ( Р К Ф Р - Г 1 - П [ 1 - г " ( р ) * . * р - , + ч > ( р ) Р ^ - 2 Т \

(3.5.10)

 

Т' (m)h,A,T'

 

(/г)й ,ф=

2

d f e "\p(d)r (™z/d2 )f t . „ .

 

 

d|(m, п)

В последней формуле d пробегает множество всех положительных делителей числа (?тг, /г), так как \p(d) = 0, если (d, N) Ф 1. Сходи­ мость суммы (3.5.9) будет доказана в следующем параграфе (лем­ ма 3.62; см. также замечание 3.46).

Заметим, что параболическая точка оо группы Г" регулярна

и стабильная

подгруппа точки

оо порождается элементом1

^

Пусть« / £ Sh(T'B,

\р) и g — f I T'(m)h, $ при некотором фиксирован­*"

ном положительном целом числе т. Рассмотрим разложение

Фурье

для / и g в о о :

 

 

 

 

ОО

ОО

 

/ (z) = 2 с (л) e2 l t i *z /',

g(z)= 2 С (/г) e2 l t i n 2 /'.

 

Л=1

71=1

110 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

В силу (3.5.7)

ооd - 1

(3.5.11)

g(z)=

2

2

S

(ad)'1-1 <Г\|>

(а) с (?г) e ^ ^ + ' W / d ^

( a d = m ) .

 

 

d - i

 

n = i

a

b = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так

как

2 e 2 j t i n b / d

равно

d

или

0

в зависимости от того, делит

d

число п или нет, то, сравнивая коэффициенты

при einilzll

в

обеих

частях равенства (3.5.11), получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.5.12)

 

 

 

С (1)=

2

 

 

У(а)ак-1с(1т/а*).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а\(1, т)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТЕОРЕМА 3.43. Пусть

f(z)

=

2

с

(п)

е1пШ11

 

 

— ненулевой

элемент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пространства Sk(T'0,

 

ap). Предгюложим,

 

что f — общая собственная

функция

операторов

T'(n)h,^,

 

для

всех

п,

 

т. е. f \T'(n)h,^

 

—

hnf

при

Хп £ С. Тогда

с(1)

Ф

0,

с(п)

— Хпс(1)

и

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.5.13)

2

Knn-s

=

l][l

— kpp-s

+

^(p)ph-[~2s]-1

 

 

 

(формально).

 

Обратно,

71=1

 

 

 

Р

место

формальное

 

равенство

 

 

 

 

если

имеет

 

 

 

 

 

(3.5.14)

2

c(n)n-l

 

=

 

 

 

 

 

 

UH-c(p)p-'-i-^(p)pk-l-2r1,

 

 

 

 

 

 

71=1

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то f

| T'(n)hi

^

=

c(?z)/ для

всех

п.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Если

/

|

T'(m)h,

ф

= k„j,

то,

 

пола­

гая в (3.5.12)

1 = 1,

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.5.15)

 

 

 

 

 

 

1тс(1) = с(т).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому

с(1) Ф 0,

так как / Ф 0 и (3.5.13) следует из (3.5.9).

Обратно,

если

имеет

место

(3.5.14),

то

те

же

рассуждения,

что

и при доказательстве теоремы 3.24, приводят к тому, что

 

 

 

 

 

 

 

с(1)с

(т) =

2 ah-ly(a)c

 

 

(lm/а2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о|(1, т)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

в

силу

(3.5.12)

 

имеем с'(1)

=

с(1)с(т),

так

что

/ I T'(m)kl*

=

g

=

c(m)f.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Непосредственно

отсюда

вытекает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СЛЕДСТВИЕ

3.44.

 

Если

две

функции

пространства

Sh(T'0, \\>)

являются

общими

собственными

функциями

операторов

T'(n)hi

^

для всех п и принадлежат

одному

и тому

же собственному

значе­

нию,

то

они

отличаются

только

на постоянный

множитель.

 

Смотрите также файлы