Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

§ 3.5.

ОПЕРАТОРЫ

ГЕККЕ

111

Зафиксируем

некоторый базис

{Д,

. . ., / х }

пространства

^л(Г„, я|э) над

полем

С,

где

и

=

d i m (Sh(T'a,

\\>)).

Положим

Г/i

(*)]

оо

/ ( z ) =

:

= 2

с

(га) е 2 л '" г /',

L/x

(z) J

я=1

где

с(га) — комплексные

вектор-столбцы.

Векторы

с(га)

для га =

=

1,2, . . . порождают

пространство

О

всех и-мерных

комплекс­

существовало

бы

такое

ненулевое

С-лииейное

отображение

|

из

С* в

С, что

£(с(7г)) =

0

для

всех

га. Но

это

означало бы,

что

£(/")

— 0;

последнее

противоречит тому,

что fu

. .

.,

fK

линейно

независимы над

С.

Для

каждого

положительного

целого

числа гаг определим

эле­

мент Л(гта) группы М Х (С)

равенством

/ | T V ) h i M )

=

A(m)f.

Тогда

с

помощью

таких

же

вычислений, как в

(3.5.11), (3.5.12)

и (3.5.15),

находим

(3.5.16)

Л(гаг)с(1)

= с (гаг).

ТЕОРЕМА 3.45. Если v. =

dim(iS/j(ro , ip)), то линейные

преобразо­

вания

T'(n)ls,

^ для

всех

положительных

целых п

порождают

ком­

мутативную

алгебру

над

полем

С ранга

х. Кроме

того,

тождест­

венное

отображение

этой алгебры

(гаг. е.

отображение

Т'

(n)Jlt

^ь-»•

I—»• Л(га))

эквивалентно

ее

регулярному

представлению.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

А — подалгебра

в

М Х ( С ) ,

порожденная

преобразованиями

Л(гаг) для

всех

гаг.

Рассмотрим

С-лииейное отображение

L

из

А

в

С*,

определенное

равенством

L(X)

=Хс{1),

где

X

£ А.

В силу (3.5.16) отображение L сюръек-

тивно.

Если

ЦХ)

=

0,

то

Хс(п)

=

ХЛ(га)с(1) = А(п)Хс

(1)

=

О

для

каждого га, так

что

X — О,

потому

что векторы с(7г) порож­

дают

С .

Следовательно,

отображение

L

ииъективно

и задает

^4-линейный

изоморфизм

из

А

на С*. Доказательство

закончено.

ЗАМЕЧАНИЕ 3.46.

Положим

Л(га)

= (л.г;(га)), где

л-;;(га) £ С,

и

00

§ii(z)

=

2

Я,г ; -(га)е2 я "1 2 /'

(пока

формально).

Согласно

доказанной

п = 1

порождают над

С векторное

про­

только что теореме, элементы gtj

странство размерностих. Из (3.5.16) следует, что (gu(z))c(l)

=

f\z).

Так как компоненты элемента /

порождают пространство Sh(T'0,

ip),

то функции gij, действительно,

голоморфны и порождают £ Ь ( Г 0 , яр).

По этой

причине для

доказательства сходимости

выражений

в (3.5.9)

(или сходимости

ряда

00

установить

2 A(n)ra- S ) достаточно

сходимость

ряда

СО

со

£ Sk(T'a, яр).

У,

ann~s для каждого У] ane2ninz^

Это будет

71=1

71=1

сделано

в

лемме 3.62.

реме

Веддербёрна, существует

такая

полупростая подалгебра В

в А,

что А = В ©

R. Заметим, что подалгебра

В имеет ту же

самую единицу, что и А. (Это верно даже тогда, когда А

некомму­

тативна. Действительно, если 1 = Ъ +

?' при Ъ 6 В и

г £ R, то

Ъ =

Ъ2 +

Ъг, так что Ъг =

0. Поэтому

г =

Ъг +

г2 =

г2 . Так как

элемент

г нильпотентен, то г =

0, что и

требовалось доказать.)

Пусть Bi,

. . ., В$

— простые компоненты

алгебры В

и et — еди­

ница в Bt.

Положим Pt =

etP.

Тогда

Р =

Pi ®

. . . ф Р,. Так

как кольцо А коммутативно, то компонента Pt

является ^-под­

модулем в Р. Так как идеал R нильпотентен, мы получаем конеч­

ную

убывающую

последовательность

.А-подмодулей:

Pi

=> RPi ZD R2Pt

=>...=>

R^-^i

I D RmiPt

= {0} (m, > 0).

Ясно, что R° = А;

кроме

того,

m-L =

0, если Pt = {0}.

Пусть

теперь

А

будет

алгеброй,

порожденной

операторами

?"('г)ь.ч>

Д л я всех

п над полем

С, и пусть

Р = Sh(T'a,

яр). В

этом

случае

каждая

компонента Bt изоморфна полю

С. Возьмем

базис

{fii

• • •> fv.) и Р

=

Sh(T'g,

гр) с таким

расчетом,

чтобы

он содер­

жал некоторый базис пространства RllPi

при всех i и h, и опреде­

лим

матрицу

А(п)

указанным

выше

способом, по для базиса

{/i>

• • - 1 /••.}•

Тогда

очевидно,

что Л(7г) — треугольная

матрица

для каждого п. Пусть Xi(n),

. . ., л^гг) — диагональные

элементы

матрицы А(п).

Тогда для каждого v отображение

(3.5.17)

t - > Xv(n)

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.47. В прежних

обозначениях

для каждого

v

существует такой

ненулевой

элемент gv

пространства

^(Г^, яр),

ч/по gv | T'(n)ki

ф =

Кч(п) gv

для всех

п;

другими

словами, сущест­

вует такой

элемент hv пространства

S h(T'0, яр), что

hv(z)

=

§ 3.5. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ

113

S

2

едт-^н*

at

(а} £ С, г

£R).

s

Так как ( T j

4'") gv =

digv, то

элемент

g v обладает нужным

свойством. 3=1

Рассмотрим

теперь операторы

[ Г ' а Г ' ] й при какой-нибудь груп­

пе Г' типа (3.3.2) и при произвольно фиксированных N,

t, I). Пусть

Г —Ю"

Очевидно, что

А имеет тот же смысл, что и в (3.3.3), и е =

0 1

еГ'

=

Г'е.

Для каждого

X = 2

cv - Г ' а Д " •£ R(T',

A) cg)Z С при cv

£

С поло­

жим Xe =

'%cv-T'eavE-1T'

и

S3 =

{ Z

6 Д ( Г ,

А)| X е

=

X } .

Очевидно,

отображение

X ь-• X е

является

автоморфизмом

кольца

Л(Г',

А), и, следовательно,

33 — подкольцо

в R(V,

А). Докажем

теперь

включение

(3.5.19)

Д(Г,

Д')с=

23.

Если

а 6 Afy,

то

Г е а е _ 1 Г

=

ГаГ

и е а е - 1

=

а шоа(/У),

так

что

Г ' е а е -

1 Г '

= Г'аГ'

в силу

утверждения

(2) леммы

3.29. Если

ма­

трица

а диагональна, то

очевидно,

что

Г ' е а е ^ Г ' =

Г'аГ'.

В

силу

предложения 3.32

отсюда

следует

(3.5.19).

В дальнейшем мы будем обозначать через

E n d ( 7 ,

К)

кольцо

Л-линейных эндоморфизмов векторного

пространства

V

над

полем

К.

Для

каждого X 6 -Й(Г",

A) ® z

С обозначим

через

[X]k

элемент кольца

End(5f t (r'),

С), соответствующий

элементу

X.

ТЕОРЕМА 3.48. В добавление

к

прежним

обозначениям

пусть

В

(соответственно

В0) обозначает алгебру,

порожденную

элементами

[X]h

для

всех Z £ Ш над

полем

С (соответственно

над

полем

Q).

Предположим,

что

к ^

2.

Тогда

справедливы

следующие

утверж­

дения:

(1)

В0

— полупростая

алгебра

конечного

ранга;

(2)

В

= У30

® Q

С;

§

3.5.

ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ

115

Ограничим р и pi на

В0-

Согласно следующей

ниже лемме 3 . 4 9 ,

делим р 0 относительно

базиса модуля L над Z. Если | =

[X]h

при

X 6 SS, то | переводит

решетку L в себя, так что ро(Е)

6 M 2

r ( Z ) .

В приведенном доказательстве мы использовали

следующую

элементарную

лемму.

ЛЕММА

3 . 4 9 . Пусть

С

— векторное

пространство r-мерных

ком­

плексных

вектор-столбцов

и

{х{,

. . .,

ж 2 г }

— некоторый

базис

пространства

С

над

полем

R. Для

каждой

матрицы

U £ МГ (С)

определим

элемент

=

(л.£;-(с7))

алгебры

M 2 r ( R )

равенством

Uxj

2г

kij(U)xi.

Тогда

существует

такой

элемент

Y

группы

2

i = i

Ли

0 1

G L 2 r ( C ) ,

не зависящий

от U,

что

У -

Y

=

ЦЩ.

1

0

U

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть X — матрица

размера

г

X

2г,

у которой £-й столбец равен xt.

Положим Y

:х

Так

как UX

=

X

U

0"

=

ХЦЩ,

то

UX

= ХЦЩ,

так

что

Предпо-

0 U Y

YK(U)

комплексных

чисел

(a l 5

... ., а 2 г )

=^= ( 0 ,

. . .,

0 ) ,

что

2

aixi

—

_

2г

i

= 2 a i x

i ~

0-

Но

тогда

2 (с^г +

cat)Xi

= 0

для всех

с £ С. Так

i

i = l

как

. . .,

x2r}

—

базис пространства

Сг над R, то

о4

= . ....

. . . =

а 2 г

=

0; мы пришли к противоречию.

Итак, матрица

У

обратима, и утверждение

доказано.

ЗАМЕЧАНИЕ

3 . 5 0 . Если

взять кольцо-

R{T',

А )

вместо

55,

то

Например, возьмем Г(6) в качестве Г', и

пусть

к =

2. Тогда

про­

странство 52 (Г(6)) имеет размерность 1 над

С и порождается

эле-

ментом А 1/6 (см. упражнение 2.29). Пусть

а-

П

Г

. Легко видеть,

0

1