Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл (14,38Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 151

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

116	ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
ТЕОРЕМА 3.51. Пусть				Г' и А' те же, что в (3.3.2) и (3.3.3). Пусть
г — размерность			пространства		Sk(V)	над С, и пусть D (соответ
ственно D0)		— алгебра,		порожденная		операторами	[Г'аГ']^ для
всех а £ А' над С (соответственно над Q). Предположим,							что к ^ 2 .
Тогда	справедливы		следующие		утверждения:
(1)	[£>о : Q] = г;
(2)	D =D0	® Q	С;
(3)	тождественное вложение				алгебры	D0 в кольцо Encl(Sit (r"), С)

эквивалентно регулярному

представлению

алгебры Do над полем Q.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как R(T',

А') а 83, то утвержде

ние (2) следует из утверждения

(2) теоремы 3.48. Пусть

T'(n)h

—

сумма

элементов

[ Г ' а Г " ] Л

при а £ А'

det(a) =

п (ср. § 3.3).

Согласно утверждению

(5) теоремы 3.34, алгебра D0 порождается

над Q преобразованиями

T'(n)k

для всех п. Заметим, что

Sk(T')

есть прямая сумма пространств

£;ДГд, лр) для всех таких характе

ров

г|) группы (Z/NZ)",

что a|)(t)) = 1, где t] — подгруппа

в (Z/7VZ)*

из

определения

(3.3.2)

группы Г'. Пусть

. . ., г|)ц — все такие

характеры. Для к а ж д о г о ^

выберем базис {/,,

. . ., / х }

простран

ства £ь(Гд, i|)v) и положим

°о

/ ( v ) =

2 c

( v

)

(") e2 l t i "2 /',

v =

. . u

. ,

L U J

«=i

/ =

a (n)

e2*inz'1,

71=1

где

c<v> (n) £ Cx

a(n) 6 Сг .

Определим

элемент

ю(п)

группы

GL r (C)

равенством

T'(n)h

a(n)f.

Из

(3.5.16)

получаем, что

(й(п)а(1)

= а(п)

для

каждого

п. С помощью

рассуждений, похо

жих на те, что использовались

при доказательстве

теоремы 3.45,

можно показать, что отображение Т'(п)к					i — * - w(n)		эквивалентно
регулярному		представлению алгебры D над полем С, и, следова
тельно, [D : С] = г. Вместе с			(2) это доказывает (1) и (3).
ТЕОРЕМА 3.52. Если группа			Г' та же, что в (3.3.2), и k ^					2, то
пространство Sh(V) обладает			базисом	из	параболических			форм,
коэффициенты		Фурье которых	на оо являются			целыми	рациональ
ными	числами.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Положим	ш(?г) =		(apq(n))	и	fpq =
оо
= 2	co p g (n)e 2 l t i m / i . Так как		С-линейная		оболочка		множества
71=1

элементов со(тг) r-мерна,	то формы fpq	порождают некоторое век
торное пространство над С размерности,			не большей г. Однако
( / p g ) a ( l ) = / , так что fpg	порождают	Sk(V)	над С, поскольку ком-

3.5. ОПЕРАТОРЫ

ГЕККЕ

117

поненты

вектора

образуют

базис

Sh(T').

Пусть

L — модуль

из

(3.5.20)

€ Я 0

I 5Ь<= L } .

Тогда алгебра D0

порождается множеством Е над

Q, и Е есть сво

бодный Z-модуль ранга г. Определим регулярное представление Ф

алгебры

над

Q относительно

базиса

модуля Е над Z. Так

как

Е — подкольцо в В 0 ,

содержащее

элементы

[Г'аГ']^

для

всех

а 6 А', то Ф отображает

Т'(п)к

в M r ( Z ) . Положим Ф п

Ф(Т'(п)к).

Согласно утверждению (3) теоремы 3.51, существует такой

элемент

группы

GL r (C), что

Ua>(n)U~1

Ф п .

Положим

(gpq(z))

оо

Uifpq)!/-1

2 Ф п е 2 я ' п г /* .

Тогда

Sk(T')

порождается

Элемен

та

тами gpq

над С ж gpq

имеют

целые

коэффициенты Фурье.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3.53.

Если

— элемент

пространства

Sk(V),

являющийся

общей

собственной

функцией

операторов

T'(ri)k

для

всех п, то f принадлежит

пространству

Sk(T'B,

а|))

при

таком

един

ственным

образом

определяемом

характере

\р группы

(Z/NZ)",

что

М§)

— 1) и

является

общей

собственной

функцией

для

всех

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

утверждению

(5)

теоре

мы 3.34, элемент / является

собственной

функцией

операторов

T'(q,

q)k

для каждого

д,

взаимно

простого

с N,

так

что

силу

(3.3.11)

/ является собственной функцией операторов [eq]k.

Поэто

му

можно

определить

характер

\р группы

(Z/NZ)*

равенством

/ Itcglk = Mo)f-

Тогда

£ Sh(T'0,

\\>). Последнее

утверждение сле

дует из формулы (3.5.6), которая означает,

что T'(n)k,$

— огра

ничение

преобразования

Т'(п)к

на

пространство

Sk(Y'0,

г|з).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3.54.

Пусть

. 0

—t

Тогда

для

любого

а 6 Aft

( Г а Ч " )

(Г'тГ')

( Г Ч Г )

(Г'аГ') .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Заметим сначала, что

		a tb~		d	—tc/N'
		с	d _	.—УУЬ		а
и, следовательно, тГ'		=	Г'т. Для наперед заданного а						6 Aft поло-
						-q	tb~
жим q — det(a) и	В =	т а т - 1 . Тогда В			=	0 1		mod(iV)	при Ъ 6 Z.
Положим у-	-tb		Тогда	"уВ=н	q	0"	=	a 1 mo&{N).	Так как q
Положим у-	1		Тогда	"уВ=н	0	1	=	a 1 mo&{N).	Так как q

взаимно просто с N, то матрица р имеет те же элементарные дели тели, что и а. Поэтому в силу утверждения (2) леммы 3.29 Г'рГ' =

ГЛ.

ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ

И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

Г'л/ВГ"

Г'а1 Г'.

другой

стороны,

в силу

предложения

3.7

( Г р Т ' Х Г ' т Г ' ) =

Г'ВтГ'

Г'тоГ'

= ( Г Ч Г ' ) ( Г ' а Г ' ) ,

что и требовалось

доказать.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.55. Пусть

х =

Тогда

оператор

[%}h

( = (i7V) 1 - f t / 2

[Г"тГ"]ь )

отображает

пространство

Sk(T'g,

\\>) в Sh(T'B, \\>)

[т]| =

1. Кроме

того, для

каждого

п,

взаимно

простого

T'(n)k.

ф . [ т ] к

y(n)-fr]h-T'(n)k>

? .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

а £ Д^'и

det(a)

п.

силу

предложения 3.54 и равенств (3.3.13), если / 6 Sh(T'Q,

\р), то

(•)

/ |Ы j r - а П ь

= /

| [ r " a t r " ] F T [ T ] F E =

/ |[Г"о,-1 1 Г"]г ч [Г"аГ"]й [т]к =

^(/г) - 1 / Ц Г ' а Г ] к [ т ] к .

Возьмем

в качестве

а элемент

q-aq.

Тогда

/ |[тЫа,]к = МчУ^Ш

Iftlk =

№ ,

так ч т о /

|[т]ь £ i5h (r„, i|)). Из (*) и (3.5.6)

получаем требуемое. Соот

ношение

[т]| =

1 очевидно.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3.56. Если

X — собственное

значение

оператора

[T'0aT'0]ht

при

£ Д!г,

mo X =

(det (a))~Х.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

g =

det(a)

([ЦаГ^ь

ф =

X/, то,

согласно (3.3.13) и

(3.5.6),

= i|>(g)/

|[Г"сс1 Г"]к . Обозна

чая через

(

) скалярное произведение Петерсона на Sh(T"),

полу

чаем в силу

(3.4.5)

М / ,

/ )

</|[Г"аПк , />

(/, /

Ц Г а Т г )

^(q)X-(f,

/>,

и, следовательно, X = a|)(g)A-.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3.57.

Пусть

f £ 5к (Г;,

яр),

| 7"(п)к , ,р' = а„/

и/ш

некотором

положительном

целом

числе

п,

взаимно

простом

пусть

g = f Цт],,.. Тогда

\ T'(n)h^

=ang.

Это непосредственное следствие предложений 3.55 и

3.56.

. 1огда

а Ъ

г-1

а —

tc d_

"О

и,

частности,

—t

— 1"

а - 1

Поэтому

оТ„сг

— а

переводит

\р) в

Y0(tN),

отображение

f(z)

f(tz)

Sh(T'a,

Sk{T0(tN),

1(3).

Применяя

это отображение,

можно

свести

рас-

§ 3.5. ОПЕРАТОРЫ

ГЕККЕ

119

смотрение кольца

/?(Г',

А')

операторов

T'(n)h,

относительно

Гд к случаю

t =

1, заменив уровень N на tN. Заметим, что N и tN

имеют один и те же простые делители, так как t делит N.

Поэтому

мы могли бы, не очень теряя в общности, положить

t =

1 в нашем

определении

Г„ и

Д„. (Следует,

разумеется, отметить, что

(Z/tNZ)x

может

иметь

больше характеров, чем

(Z/NZ)".)

ЗАМЕЧАНИЕ 3.59. Пусть р — простое

число,

ие

делящее

и /

есть

собственная

функция

оператора

Т'(р)к,

пространстве

Sk(TQ(N),

яр);

пусть

также

| Т'{р)к,

ф = cpf.

Положим

/ m ( z )

f(pm

z) для

1 , 2 , . . .

обозначим

через

T"(p)h,

ф опе

ратор в пространстве

Sk(T0(pbN),

ср), где ср(а) =

яр(а) для (a, pN)

1. Тогда легко проверить

что

I Г{р)к,„

cpf

ph-hp(p)flt

fm I Н И М = / m - l , m = 1, 2, . . ., I.

Следовательно,

оператор

T"(p)h

не является полупростым,

если

Пусть

теперь

X и

ц — корни

квадратного

уравнения

хг — срх + i p ( p ) / - 1 = 0.

Тогда

— Xfi

будет

собственной

функцией

оператора

Т'\р)к,

ф,

(х — собственным

значением.

Положим

Если /

| [x]h

то

,/v

.РАГ

легко

проверить,

что

|[т']„

pWg(pz),

\W\h

p-Wg.

Предположим,

что яр — тривиальный

характер

и /

\lx]k

е/

при

е =

+ 1 . Тогда

(/ —

XfI)\[T,]H

не

является

собственной

функцией

оператора

T"(p)h,v,

если

не

выполнено

равенство

ср

phl2(i +

р~г),

которое

обычно

не

имеет

места. (По

крайней

мере

оно противоречит гипотезе Рамануджаиа; см. ниже.)

ЗАМЕЧАНИЕ 3.60. Пусть А (соответственно А^)

— кольцо,

порож

денное всеми

Т'(п)к

(соответственно

Т'(п)к:^)

над

полем

С,

(соответственно

Бф) — подалгебра

(соответственно

^4Ф ),

порожденная

операторами

Т'(п)к

(соответственно

Т'(п)к,^

для

всех п, взаимно простых с N. Тогда А (соответственно В) можно

отождествить

прямой

суммой

алгебр

Ах\,

(соответственно

В$)

по всем таким ар, что ip(t)) =

1. Что касается алгебры А,

то

это

следует немедленно

из теорем

3.45 и 3.51. Что же касается В,

то

рассмотрим

диагонализацию

операторов

Т'(п)к,

определим

гомоморфизм из В на С, относя какой-нибудь диагональный эле мент матрицы Г'(тг),Ь ф оператору Т'(п). В силу (3.5.8) нельзя получить один и тот же гомоморфизм из двух различных гр. Это

Смотрите также файлы

Аэропорт Урай.docx

Государственная система контроля качества, эффективности и безопасности лс.doc

Информация о мероприятиях, проведенных в 20212022 учебном году, по ранней профессионализации школьников с целью получения высшего образования в рамках предметного профиля Русский язык и литература.docx

Циклограмма на неделю(1115 апреля 2022 года).docx

Мбоу пильнинская сш 2 им. А. С. Пушкина учитель начальных классов.doc

Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно