Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

говорит о том, что [В

: С] =

У]

[В$

: С], и, следовательно, коль-

Ф(1))=1

алгебр

В^.

цо В должно быть прямой суммой

Из теоремы 3.41 и утверждения

(3.5.4) заключаем, что В и By —

коммутативные

полупростые

алгебры.

Кроме

того,

согласно

предложению

3.54,

Ый1Т'(п)к[х]к

= n2-kT'(n,

п)кТ'(п)к,

если

п взаимно просто с N. Поэтому

[т]^1

-В-[т.]к

= В,

и

анало­

гично [т]^1 -Бф .[т]ь =

Таким

образом, оператор

[ т ] ь

перево­

Предположим,

что

1 =

1, т.

е.

Т'0 = T0(N).

Тогда А$

=

В^

(по

крайней

мере)

в двух

случаях:

(I) 1);

=

1, N простое

и Sk(T(l))

=

0 (согласно

предложению

2.26,

последнее

условие

выполнено

тогда

и

только тогда, когда к <

12

или

к =

14);

( I I ) 1|з — примитивный

характер

по модулю

N.

По

поводу деталей см. Гекке [5, теоремы 22 и 24а].

(2п)~™А (z) =

q [j

(1 -

с?")2 4

=

S cnqn,

q =

e2 ™',

и высказал

71=

i

71=1

две гипотезы:

(X)

I '

w -

^

J K

i -

w

+ p v

- ' r

1 ;

71=1

p

(Y)

cn = 0(пи'2+е)

для

любого

e >

0.

Последняя

эквивалентна неравенству

(Z)

| с р

| ^

2pill2

для

всех

простых

р.

новыми результатами.

Идея диагонализации операторов Гекке

с помощью скалярного

произведения в пространстве параболиче-

§ 3.6.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

ДЗЕТА-ФУНКЦИЙ

121

ских

форм принадлежит

Петерсону

[ 1 ] . Он

же

обобщил

следую­

щим

образом

гипотезу

(Z):

(Z')

каждое

собственное

значение

Хр

оператора

T'(p)kt$

при

про­

извольном простом

р,

не

делящем

уровень

N,удовлетворяет

неравенству

| Хр

| ^

2p<-h~i^2

х ) .

В § 7.5 мы докажем,

что

при

к = 2

гипотеза (Z')

верна

для

почти всех р. В

общем

случае Ранкин

[ 1 ] показал,

что са

=

оэ

= О (тгЬ/2-1/5)

для каждого

элемента

Tj cne2*inz/N

6

Sh(T(N)).

n = l

ЛЕММА

3 . 6 1 . Если

f £Sh(T),

то

| f(x

+ iy) | ^

Му~к'2

при

неко­

торой константе М, не зависящей

от х.

Обратно,

если

какая-то

функция

f

из Ah(Y)

голоморфна

на

$Q и

\ f(x

+

iy

6

| ^

My~k/2

при

некоторой

константе

М,

не зависящей

от х,

то f

S^iY).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

произвольного

голоморфного

элемента

/

на Ап(Т)

определим

вещественнозначную

функцию

h

на полуплоскости § равенством h(z) = h(x +

iy) =

\f(z)\yhl2. Так

как Im(v(z)) = I m (z) | j(y,

z)\~2

для у £ S L 2 ( R ) ,

то функция h

Г-пнва-

риаитна. Если s — параболическая

точка для Г, выберем р п q

=

=

e2nizlh

(или

q =

enizlh),

как

это

делалось

на

стр.

49.

Тогда

/ |[p_ 1 ]ft =

Ф(?) при некоторой функции Ф, голоморфной в области

О <

I Ч I <

г> г Д е г — вещественное положительное число, и такой,

что

7i(p- 1 (z)) =

0(gr)lm(z)f t / 2 .

Заметим,

что

| q

] =

е-271""1

(или

| q

| = е _ л

^ л ) .

Предположим,

что

/ £ Sk(T).

Тогда

Ф(а) -»- 0 при

q-*-0. Поэтому

h(w)

0

при

i w - v s

(в

топологии

пространства

<§*). Таким образом,

h может

рассматриваться

как

непрерывная

функция h(z) должна быть ограничена. Обратно, если h(z)

ограни-

х ) Появился препринт П. Делиня, посвященный доказательству гипотезы

Римана — Вейля. Ранее Делинь показал, что к

ней сводится

гипотеза

Рама-

нуджана — Петерсона

(гипотеза

Z ' ) . Об

этой

редукции

можно

прочитать

в статье Делиня, помещенной в качестве

приложения

к р у с с к о м у

переводу

книги Серра «Абелевы

I-адические представления и

эллиптические

кривые»

(«Мир», М., 1973).

2) Оценка Гекке с = 0(пЬ/%)

получается совсем просто

(см. лемму

3.62).

Сельберг [2]

доказал

оценку сп

= 0(/г''/2-1/4+е) для

любого

е >

0;

оценка,

отвечающая

гипотезе

( Z ' ) , имеет

вид сп

= 0(гсЬ/2-1/2+в).—Прим.

ред.

чена, то Ф должна быть голоморфна при q =

0 и Ф ( 0 ) = 0. Лемма

доказана.

ЛЕММА

3.62.

Предположим,

что

оо — параболическая

точка

группы

Г , и

пусть

" 1

к т

{ у е Г . { ± 1 } | 7 ( с о )

=

оо} =

{ ± 1 } . {-0

1 .

mez\

при

некотором

вещественном

положительном

числе

h. Пусть

/ £

€ Sh(T)

и

{

оо

если

к нечетно

и точка

оо

нерегулярна,

2 cne2ninz/h

в остальных

случаях.

п=1

(См.

§ 2.1.)

Тогда

существует

такая

константа

В,

не

зависящая

от

п,

что

| сп

| <1 В -пи>2

для

всех

п.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

к

четно,

то

положим

q —

e2nUih

ж

F(q)=

2 спЧп-

Тогда

с„ =

( 2 ш ) - 1 \ F (q) q~n~l dq,

где

интеграл

7 l = i

J

берется

по

окружности

| q | =

г

в

положительном

направлении

при

достаточно

малом

г >

0.

Если

Im(z) =

у

=

h/2nn,

то

| e2mz/h

|=

g - i/n . Согласно лемме 3.61,

| F(q) | <

My~h'2

при

некоторой

константе

М.

Поэтому,

беря г равным

е -

1

/ " ,

получаем

1 сп

I ^

Me-(h/2nn)~h/2.

Случай

нечетного

к

можно

рассмотреть

аналогично.

Наша цель — доказать справедливость

функционального

урав-

оо

нения для

ряда

Дирихле

2

ann~s,

отнесенного

к

произвольной

оо

71=1

форме f(z)

=

2

апе271™21*

из Sh(T',

op). По

причинам,

указанным

п=1

в

замечании

3.58,

достаточно

рассмотреть

случай

t — 1,

т.

е.

Г'

=

r0 (i\0.

Наш

вопрос

мы

обобщим,

обратившись

к

ряду

00

2

Х^а^п^

при

произвольном

характере

% группы

( Z / r Z ) x ,

где

71=1

г — целое

положительное число, взаимно

простое

с

N. Поэтому

•суммах, ассоциированных с %.

Фиксируем

положительное целое число

г и характер

% группы

( Z / r Z ) x , т. е.

некоторый гомоморфизм

из

(Z/rZ)*

в С".

Предполо­

жим, что х — примитивный характер

по

модулю

г (под этим мы

группы (Z/sZ)*,

где

s—собственный

делитель 7-, удовлетворяю­

щего равенству

£(#)

= lix)

при (х,

г) = 1). В этих случаях для

§ 3.6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДЗЕТА-ФУНКЦИЙ

123

с

£ Z положим

J %(cmodrZ),

если

(с, г) = 1,

Х ^

= 1 0,

если (с,

и

определим гауссову сумму W (у) равенством

W ( x ) = 5 J x ( < 0 £ B ,

£ = < ^ i / r .

с = 0

ЛЕММА 3 . 63 . В

прежних обозначениях

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если (b, г) — 1, то, обозначая через

Ь - 1 элемент, обратный к Ъ по mod r Z , получаем

2 X » £ Ь с = 2 X (Ь"1а) £° = X (Ь-1 ) 2 X (а) ?а = X

W (х) •

с

а

а

Предположим,

что s = гУ(г,

& ) < ? " , и положим

Я = {а 6 (Z/rZ) x

| а = 1 mod sZ};

пусть (Z/VZ)X =

U /Ту — разложение на непересекающиеся клас-

сы. Так как bs= 0 mod(r),

то

== b mod(r) для х £ Н. Далее,

=

x(-i)W(x)=x(-i)W(x),

со

Г (s) =

j

e - V 1 dx,

seC .

о

Подставляя

ax

вместо

x,

получаем

со

(3.6.1)

artr(s)=^e-axxt-1dx,

s6C,

a£R,

a > 0 .

о

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3.64. Пусть

N

и г — положительные

целые

числа,

s — положительный

делитель

числа

N

и

М

— наименьшее

общее

кратное чисел N, г2

и rs. Пусть

% (соответственно ар) —

примитив­

ный

характер

группы

(Z/rZ)*

(соответственно

(Z/sZ)*).

Пусть

со

/(z) =

2

aneZltinz

—

произвольный

элемент

из

Sk(T0(N),

ар).

[Тогда

п=1

со

h(z) — 2

%{n)ane2ninz

принадлежит

пространству

Sh(TB(M),

арх2)-

п=1

Г1

и/г

для

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим ,£ = е 2 Л 1 / г

и

аи

=

^

^

u £ Z .

Тогда

/|[«u]fc=

S

а п е 2 я г п ( 2 + и / г ) =

2

?*апе™"*,

так что

в силу

71=1

(1)

71=1

утверждения

леммы 3.63

W(%)h(z)=

2 х(и) / | [ а « ] * .

u=l

Согласно

предложению

2.4

и

лемме

3.9,

k£Sk(T (r2N)). Поэтому

для доказательства

нашего утверждения достаточно проверить

пове-

дение функции h при действии элемента у

Г

а Ъ~

группы Г0

(M).

= . Мс d

Положим

а'

=

а +

сиМ/г,

V

=

Ь +

— ad)/r —

cd2u2Mir2,

d'

=

d —

cd2uMlr.

Тогда

a,

b,

c,

d — целые

числа,

d =

d'

mod(s)

и

" 1 i i / r "

a

b~

'

а'

Ъ'~

1

d2u/r~

.0

1 . _Мс d_

_Мс d'_ 0

1

1 )

Символ

Г встречается у

нас

в д в у х случаях:

когда речь идет о дискрет­

ной подгруппе

группы

S L 2 ( R )

и

когда

речь идет

о гамма-функции. Так как

различия видны из

контекста,

мы

употребляем одну и

ту

же

б у к в у

для

обоих

объектов.