Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 155
Скачиваний: 0
§ 3.6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЙ |
125 |
Поэтому, полагая v = d2u, получаем / |[au 7],t = яр(й)/ |[a„]h , так что
h | [у]к = W |
(X)"1 яр (d) х (d2) 2 X И /1 [a0]fc = |
Ф № Х (d2 ) A, |
|||||||
что и требовалось |
доказать. |
|
|
|
|
|
|
||
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.65. Сохраняя |
обозначения |
из |
предложения 3.64, |
||||||
предположим, |
что |
г |
взаимно |
просто |
с |
N, |
и |
положим |
|
" 0 |
— Г |
|
" |
0 |
- Г |
|
|
|
|
т = N |
0 |
|
r2N |
0 |
|
|
|
71=1 |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л | [T']f |
t = |
яр (г) х W |
|
W (х)2 |
г"1 |
2 |
X (») |
M 2 l t i " z . |
|
71=1
Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем пользоваться обозначениями предыдущего доказательства. Предположим, что (и, г) = 1. Тогда можно найти такие целые числа d и w, что dr — Nuw = 1. Следо-
г—и>~
вательно, аих |
гх |
•Nu |
d_ |
aw. |
Положим |
g = / \[x]h. Тогда |
|
|
|
|
|
||
W(x)h\ [x]h |
= 2 X (u) /1 |
[OuT']f t = |
2 X (») Ф (r) gI [ajfc = |
|||
|
|
u |
|
|
u |
|
|
= * ( r ) 2 x ( - ^ ) g | [ a U I ] k = |
|
||||
|
= 4> W X |
W (x) |
2 X H |
bne^nz, |
||
71=1
Вместе с утверждением (2) леммы 3.63 это доказывает требуемое.
ТЕОРЕМА 3.66. Пусть г — целое положительное число, взаимно простое с N, % — примитивный характер группы (Z/rZ)* и яр — произвольный характер группы (Z/NZ)*. Для каждой функции f(z) =
оо
= |
2 |
(ine2ninz |
|
из |
пространства |
Sk(T0(N), |
г|з) положим |
|
|
||||||
71=1 |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
(s, /, |
X) =•- |
2 X (п) |
ann~s, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
R |
(*, /, |
X) = |
71=1 |
|
(2n)-s Г (s) L (s, /, x)- |
|
|
|||
|
|
|
|
|
( r W ) s / 2 |
1 + |
|
||||||||
Тогда |
|
ряд |
L(s, |
f, |
%) абсолютно |
сходится |
при |
Re(s) > |
(к/2), |
||||||
и |
его |
можно |
голоморфно |
продолжить на |
всю |
s-плоскостъ. |
Кроме |
||||||||
того, |
этот |
ряд |
удовлетворяет |
функциональному |
уравнению |
|
|||||||||
|
|
|
R |
(s, f, |
х) = |
»Ч (Г) X (Ю |
W |
(%)2r-iR |
(k-s,f\ |
[x]h, |
х), |
|
|||
где |
х |
= |
'0 |
- |
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
126ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
До к а з а т е л ь с т в о . В силу предложений 3.64 и 3.65 достаточно рассмотреть случай г = 1 и % = 1. Абсолютная схо
димость |
ряда L(s, /, 1) для Re(s) > |
к/2 + |
1 следует из леммы 3.62, |
|||
В силу (3.6.1) мы формально |
получаем |
|
||||
|
|
со |
со |
|
|
|
(*) |
j |
/ № У*'1 dy=YJan<^ |
|
е - 2 я »V |
1 dy = |
(2л)-* Г (s) L (s, /, 1). |
О71=1 О
Чтобы увидеть, что это формальное вычисление действительно возможно, заметим, что
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| j |
/ |
(iy) |
/ |
/ " |
I |
dy\<.A\ |
y-Wyk/2 |
dy^O, |
8 |
0, |
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
Re(s) > |
k/2 + |
1 |
(в |
силу |
леммы |
3.61), |
и |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ^f^y^dyl^B |
|
|
|
[ e-z*yynm-idy^0, |
|
|
|
Е-+00, |
|
|||||
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
произвольного |
s(5С |
(А |
и В — константы). Далее, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|
со |
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j / |
(iy) |
г/8"1 dy = |
2 |
ап ] |
e-^yys-i |
|
йу^ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
п = 1 |
е |
|
|
|
|
|
|
так |
как |
2 апе~2ппУ |
равномерно сходится для |
г/>е . Для |
произволь- |
|||||||||||||
ного |
|
как |
71 |
|
малого |
п ; > 0 |
можно |
выбрать |
настолько большое |
|||||||||
|
угодно |
|||||||||||||||||
число |
М, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
ап |
j |
е - 2 * * ! / , / - ! ^ 1 ^ ; |
2 |
K |
I } |
е-2™Уу°-Ыу |
|
= |
|
|
|
|||||
п>М |
|
е |
|
|
|
|
п>М |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Г(ст) (2я)-а |
2 К | и - ° < т 1 , |
Re(*) = |
ff. |
|||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
п>М |
|
|
|
|
|
|||||
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
со |
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| j / (iy) y-ldy- |
|
2 «n J e-**»V-i |
^ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n = l |
|
|
|
|
|
|
Л/ |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= |
l i m |
|
[ / (ip) j |
/ 5 " |
1 d y - |
2 |
e. [ |
e-**«vy-idy |
|
|||
|
|
|
|
|
|
e-»0.E-fco J |
|
|
n = l |
|
J |
|
|
|
||||
Этим |
доказана |
справедливость |
(*) |
для |
Re (s) > (/c/2) - j - 1 . |
По тем |
же |
|||||||||||
причинам, если |
g = |
/ | [ x ] f t , |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(**) |
|
|
|
|
|
J g(iy)ys-1dy |
= |
T(s)(2n)-sL(s, |
g, |
1). |
|
|
|
|||||
§ 3.6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЙ |
127 |
Положим A = N 1 |
/ 2 . Тогда |
|
|
00 |
А |
|
оо |
j / (iy) |
J / S _ 1 dy=\f |
(iy) г/8"1 |
dy+\f (iy) z/5-1 dy. |
Q |
U |
A |
. |
Как было показано выше, первое слагаемое |
сходится |
при Re (s) > |
|||||||||||||||
>/е/2-|-1, |
второе — при |
любом |
5. |
Заменяя |
у на l/Ny |
и |
учитывая |
||||||||||
равенство |
/ (i/Ny) |
— Nh/2 |
(iy)k |
g (iy), |
получаем |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
A |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j / |
m |
У8'1 |
dy=\f |
|
Wy) |
N-'y-*'1 |
dy |
= |
|
|
|
||||
|
|
О |
|
|
|
|
A |
|
CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
ihNh/2~s |
g(iy)yb-i-°dy. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
Последний |
интеграл |
сходится |
для |
всех |
s. |
Аналогично |
|
|
|
||||||||
оо |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j / (iy) г/-* dy = |
i " / V f t / 2 - s j |
g (iy) |
у*-1-« |
dy, |
Re (s) > ~ |
+ 1 . |
|
||||||||||
A |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому, |
если мы положим |
i?'(s, f) — T(s) |
(2n)~sL(s, |
f, |
1), то R' |
(s, f) |
|||||||||||
можно будет голоморфно продолжить на всю s-плоскость |
и |
|
|||||||||||||||
|
|
|
R' |
(s,f) = |
Wh/2-sR' |
|
|
|
(k-s,g). |
|
|
|
|
||||
Заметим, |
что Г (s)"1 — целая |
функция. Теорема |
доказана. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
В приведенном |
рассуждении ряд |
Дирихле |
L (s) = |
2 |
ann~s |
был |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
71=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получен из |
функции |
/ (z) = |
2 |
ane27linz |
посредством |
«обратного |
пре- |
||||||||||
образования |
Меллина» |
71=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
оо |
(ty) У5'1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j / |
dy = |
T (s) (2n)~s |
L(s) |
= |
R (s). |
|
|
|
|||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оказывается, / (z) можно получить из L (s) |
«прямым |
преобразованием |
|||||||||||||||
Меллина» |
|
|
/ (iy) = |
(2m) -1 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
R (s) x~s |
ds, |
|
|
|
|
|
||||||||
где интеграл берется по вертикальной прямой Re(s) = c при неко тором а > 0. Это соответствие между f(z) и L(s) было использовано Гекке для доказательства того, что R(s) удовлетворяет функцио нальному уравнению приведенного типа тогда и только тогда, когда f(z) — автоморфная форма относительно некоторой дискрет ной подгруппы Г группы S L 2 ( R ) . Такой результат не вполне удов-
128 ГЛ 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
летворителен, потому что факторпростраиство r\jg * при этом часто некомпактно -1 ). Более полный результат, недавно получен
ный А. Вейлем, состоит в следующем: если для достаточно |
многих |
||||
характеров |
% ряды |
со |
удовлетворяют |
функциональным |
|
У] %(n)anii~s |
|||||
уравнениям, |
то / |
п = 1 |
пространству |
|
яр) при |
принадлежит |
Sh(T0(N), |
||||
некоторых А и яр. По поводу деталей мы отсылаем читателя к Гекке [3], А. Вейлю [9], [12].
В нашем изложении автоморфная форма была определена как некоторая комплексная аналитическая функция. В плане обобще ния такого подхода Маасе рассмотрел вещественные аналитиче ские автоморфиые формы на полуплоскости <д, являющиеся соб ственными функциями некоторых инвариантных дифференциаль ных операторов. Для этих форм им была развита теория операто ров Гекке и получено обобщение приведенного выше соответствия между /(z) и R(s). Из многочисленных статей по этой теме мы огра ничимся здесь упоминанием лишь работ Маасса [1] — [3].
Существуют (по крайней мере) три важных раздела, которых в данной книге мы не касаемся 2 ) . Первый из них — связь между модулярными и квадратичными формами. Если Р(х) =
=2 Paxixi — положительно определенная квадратичная
форма с коэффициентами |
ptj из кольца Z, то |
ряд У] |
e2niPW2, |
называемый тэта-рядом, |
является модулярной |
.г-ez2'1 |
веса к |
формой |
относительно некоторой конгруэнц-подгруппы группы SL 2 (Z) . Существенную роль здесь играют ряды Эйзенштейна. По этому поводу читатель может обратиться к работам Гекке [1], [5] и Шеиеберга [1]. Следует также указать на многие работы Зигеля по ква дратичным формам и их обобщениям, которые можно найти в трех томах его собрания сочинений. Изложение этой темы на языке аделей было дано А. Вейлем [8]. В этой же связи см. Шалпка и Танака [1].
J ) Т о есть дискретная подгруппа Г, отвечающая по теореме Гекке ряду Дирихле с функциональным уравнением, не только не является, вообще гово ря, конгруэнц-подгруппой модулярной группы, но может не быть фуксовой группой первого рода (ее фундаментальная область может иметь бесконечную неевклидову площадь) . — Прим. ред.
2 ) В последнее время получен ряд интересных результатов, связанных
сприменениями теории модулярных функций. Применению модулярных форм
кисследованию значений дзета-функций полей алгебраических чисел в четных
отрицательных точках посвящен доклад Серра па |
семинаре |
Бурбаки |
(июнь |
|||||
1972 |
г.) |
[ 1 * * ] . Отметим результаты Ю. |
И. |
М а ю ш а [ 1 * ] , |
[1**] — [3**] по |
|||
модулярным кривым и рядам Гекке, в том |
числе |
р-адическим. Современное |
||||||
•состояние теории модулярных функций одного |
переменного |
должно |
быть |
|||||
подробно |
освещено в четырех выпусках ((Modular |
functions |
of |
one variables)), |
||||
из которых пока вышел первый: Lecture notes |
i n m a t h e m a t i c s , |
№ 320, |
1973.— |
|||||
Прим. |
ред. |
|
|
|
|
|
|
|
§ 3.6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЙ |
129 |
Второй раздел посвящен явному вычислению следа операторов Гекке, в связи с чем мы упомянем работы Сельберга [1], Эйхлера [3] — [6] и Шимидзу [1].
И, наконец, третий раздел, в котором теория представлений групп играет существенную роль. Об этом можно прочитать в не давней работе Жаке и Ленглендса [1], а также в более ранних работах, которые там цитируются х ) . Несмотря на то что эти три раздела упоминаются нами порознь, все они тесно связаны между собой и с тем, что рассматривается в данной книге.
Наше изложение было сосредоточено на |
случае конгруэнц-под- |
групп группы SL 2 (Z) . На самом деле можно |
строить дзета-функции |
из автоморфных форм относительно группы |
единиц простой алгеб |
ры над числовым полем. Они обладают эйлеровым произведением вида, указанного в теореме 3.21. Детали можно найти в работах Маасса [2], Годемана [1], Тамагавы [1], Шимидзу [1], А. Вейля [12], Жаке и Ленглендса [1]. Простые алгебры с делением изучают ся Годеманом [1] и Тамагавой [1], в то время как остальные статьи посвящены кватернионным алгебрам (в обобщенном смысле, вклю
чая |
матричные |
алгебры степени |
2). |
|
|
|
|
|
г |
) Изложение |
теории Жаке — Ленглендса имеется также |
в статье |
Годе |
||||
мана |
[ 1 * ] . |
|
|
|
|
|
|
|
О применениях теории представлений групп к |
теории автоморфных |
функ |
||||||
ций |
можно |
прочитать в книге Гельфанда, Граева |
и |
Пятецкого-Шаниро |
[ 1 * ] . |
|||
в сборнике |
«Арифметические группы |
и автоморфиые |
функции» |
(изд-во «Мир», |
||||
М., |
1969) и |
в книге Хариш-Чандры |
[ 1 * * ] . — Прим. |
|
ред. |
|
|
|
9-01118
