Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 157
Скачиваний: 0
Г Л А В А 4
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
§ 4.1. Эллиптические кривые над произвольным полем
В этом параграфе мы приводим краткий перечень некоторых элементарных фактов об эллиптических кривых (без детальных доказательств) Эллиптическая кривая — это одномерное абелево многообразие (т. е. проективное неособое многообразие со струк турой алгебраической группы, обязательно коммутативной), или — что в конечном итоге то же самое — проективная неособая кривая
рода один со специфической точкой, называемой |
начальной |
точ |
||||
кой или нейтральным элементом. |
Если кривая |
определена |
над |
|||
полем к и начальная точка рациональна над к, то групповой |
закон |
|||||
автоматически определен над к'. Поэтому, если мы говорим |
об |
эл |
||||
липтической |
кривой, определенной |
над полем к, |
то |
подразумеваем, |
||
что кривая |
и начальная точка рациональны |
над |
к. |
|
|
|
Пусть Е и Е' — эллиптические кривые, определенные над полем к. Под гомоморфизмом из Е в Е' (определенным над к) мы подра зумеваем произвольное рациональное отображение (определенное над к) из Е в Е', являющееся групповым гомоморфизмом. Модуль всех гомоморфизмов из Е в Е' обозначается через В.от{Е, Е'). Всякое рациональное отображение из Е в Е', переводящее началь ную точку кривой Е в начальную точку кривой Е', обязательно является гомоморфизмом. Элемент X из Нош(#, Е') называется изогенией, если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям: (i) X Ф 0; (ii) подгруппа Кег(А,) конечна; (ш) л-сюръек- тивен. (Отметим, что Е всегда отождествляется с множеством всех точек на кривой, рациональных над универсальной областью; см. дополнение.) Если существует какая-либо изогеиия из Е в Е', то существует и изогения из Е' в Е, и мы говорим, что кривые Е и Е' изогенны. Это отношение эквивалентности. Введем теперь сле-
*) По поводу алгебро-геометрической терминологии и обозначений см. дополнение. Несмотря на то что обсуждение в этой и последующих главах сосредоточено на эллиптических кривых, теория не может быть до конца поня той, если не рассматривать их как частный случай абелевых многообразий. По этой причине мы рекомендуем читателю (но не настаиваем иа этом) познако миться с определением и простейшими свойствами абелевых многообразий по книге А. Вейля [3] (ее более легкой части), по книге того же автора [6] и по книге Ленга [ 1 ] . См. также дополнение, пп. 10 — 13 . Мы, например, заимствуем конструкцию корней из единицы eN в § 4.3 из книги А. Вейля [3, стр . 1 5 0 — 1 5 3 ] . Детальное изложение теории абелевых многообразий с комплексным умноже нием см. Шимура и Танияма [1] .
§ 4.1. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ |
НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ |
ПОЛЕМ |
131 |
|||||||
дующие |
объекты: |
|
|
|
|
|
|
|||
тг |
1 / сп |
f кольцо всех эндоморфизмов кривой |
Ел |
|
|
|||||
апй(И) |
= |
| ( н а д |
универсальной областью) |
|
J |
~ |
|
|||
|
|
|
= |
Hom (Е, Е), |
|
|
|
|
|
|
E n d Q |
(£) = |
End (Е) |
cg)z Q- |
|
|
|
|
|
||
Для к = |
|
С |
будет показано, что |
End(2?) — свободный |
Z-модуль |
|||||
конечного |
ранга и Endq (Е) — кольцо с делением конечного |
ранга |
||||||||
над Q. Известно, что то же самое верно и при произвольном к. Все |
||||||||||
возможные типы колец |
E n d Q (Е) и даже колец |
End(Z?) были |
опре |
|||||||
делены Дойрингом в |
[1]: EndQ (Е) |
изоморфно |
либо |
Q, либо |
мни |
|||||
мому квадратичному расширению поля Q, либо кватернионной |
||||||||||
алгебре над |
Q, |
разветвленной в некотором простом числе р и точ |
||||||||
ке оо; последний случай может встретиться только тогда, когда характеристика универсальной области равна р. Однако этот
аспект |
во всей |
общности обсуждаться не будет: мы изучим лишь |
в § 4.4 |
случай |
характеристики 0. |
Начиная с этого места, мы будем предполагать, что характери стика отлична от 2 и от 3. Тогда произвольная эллиптическая кривая, определенная над к, всегда изоморфна над к проективной кривой
(4.1.1) |
Е: Y2Z |
= 4 Х 3 - |
g2XZ2 |
- |
g3Z3, |
где gt лежит в к и А = |
g\ — 27g\ Ф |
0. |
(Отличие от нуля элемента |
||
А эквивалентно отсутствию особых точек на кривой, определяе
мой этим уравнением.) Точку |
(X, |
Y, |
Z) |
= |
(0, 1, |
0) можно взять |
||
в качестве начальной. Обратно, каждая |
кривая |
такого |
вида при |
|||||
А Ф 0 является |
эллиптической. |
В |
дальнейшем |
ради |
удобства |
|||
мы будем записывать это уравнение |
в |
аффинной |
форме: |
|||||
(4.1.2) |
Е: у2 = |
кх3 - |
g2x - |
|
g3, |
|
|
|
но всегда будем иметь в виду полную кривую с присоединенной точкой (х, у) = (оо, оо), начальной для Е. В такой ситуации ото бражение (х, у) ь-> (х, —у) задает автоморфизм — 1 кривой Е.
Такая кривая характеризуется своим инвариантом
№= ы = g\lA
(или |
инвариантом |
J E = 2 6 3 3 / Е ) имеющим |
лучшие |
целочислен |
|||
ные |
свойства) в следующем смысле: две кривые Е и Е', |
определен |
|||||
ные |
соответственно |
уравнениями |
у2 = |
Ах3 — g2x |
— g3, |
у2 = |
|
= |
4х3 — g'2x — #з, изоморфны над |
универсальной областью |
тогда |
||||
и |
только тогда, когда |
|
|
|
|
||
JE = §Ж - 27g\) = g-3/(g? - 27g?) = j E -
Это утверждение можно сформулировать в более строгой форме:
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.1. Пусть |
кривые Е |
и Е' определены уравнения |
ми у2 = Ах3 - g2x — g3 и |
у2 = 4ж3 |
— g'2x — g'3 соответственно, |
9*
132 |
|
|
|
ГЛ. |
4. |
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ |
|
|
|
|
|
|||||||
и пусть А, — некоторый |
изоморфизм |
из Е |
на Е'. |
Тогда |
существует |
|||||||||||||
такой элемент |
ц., что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
g'2 |
= |
!-i4 #2, |
§з |
= |
V?8z, |
Цх, |
у) |
= |
(иЛг, и3 !/). |
|
|
|||||
|
Заметим, |
что |
} Е |
принадлежит |
всякому полю, над |
которым |
||||||||||||
определена |
кривая Е. |
|
Пусть к0 — простое |
поле. Тогда для |
каж |
|||||||||||||
дого j из универсальной |
|
области существует |
эллиптическая |
кривая |
||||||||||||||
Е, |
определенная |
над |
полем |
k0(j), |
с |
инвариантом, |
равным |
у. |
|
|||||||||
|
для У = |
0 положим g2 |
= |
0, g3 |
= |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
для 7 = |
1 положим g2 |
= 1, g3 = |
0; |
|
|
|
у |
и |
положим |
||||||||
|
для 7 Ф |
0, |
1 |
решим |
уравнение |
|
g/(g — 27) = |
|||||||||||
ёг |
= £з = £ [S = |
277/(7 — |
1) € &<>(/))• |
(Это |
|
один |
из |
многих |
воз |
|||||||||
можных выборов; его не следует рассматривать как стандартный.)
Для рассмотренной выше кривой Е и для произвольного |
авто |
|||||||
морфизма |
а |
универсальной |
области |
определим |
эллиптическую |
|||
кривую |
|
|
у2 = |
4х3 - glx - |
|
|
|
|
Очевидно, |
что |
Е°: |
gl. |
|
|
|||
j(EG) = |
]{Е)а. |
Поэтому |
кривая Е |
изоморфна |
кри |
|||
вой Еа тогда |
и только |
тогда, когда |
автоморфизм а тождествен |
|||||
на поле k0(jE). |
Поле k0(jE) |
определяется |
этим |
свойством, |
если |
|||
характеристика равна 0; |
в этом случае его называют полем модулей |
|||||||
кривой Е. Мы только что показали, что кривая Е имеет некоторую модель, определенную над ее полем модулей. Поле модулей можно определить для каждого «поляризованного» абелева мно гообразия; см. § 5.4. Однако непзвестпо, всякое ли поляризован ное абелево многообразие имеет модель, определенную над его полем модулей.
§ 4.2. Эллиптические кривые над полем С
Рассмотрим теперь случай, когда универсальная область является полем комплексных чисел С. Каждая эллиптическая кри вая, определенная над некоторым подполем поля С , как комплекс
ное аналитическое |
многообразие изоморфна одномерному ком |
|||||
плексному тору C/L, где L — некоторая решетка в |
С (под ней мы |
|||||
подразумеваем дискретный подмодуль в С ранга 2 над Z). Обратно, |
||||||
пусть L — произвольная решетка в С. Тогда каждая |
эллиптическая |
|||||
функция |
с периодами из L есть по определению мероморфная |
функ |
||||
ция на С, инвариантная относительно сдвигов на элементы |
из L ; |
|||||
такую функцию мы можем рассматривать на C/L, и обратно. |
||||||
Пусть |
FL — поле |
всех |
эллиптических функций |
с периодами |
||
нз L . Известно, что |
FL |
порождается функциями Вейерштрасса </р |
||||
л g>', определяемыми |
равенствами |
|
|
|||
<g(u)=f(u;L) |
= |
u-2+ |
2 [ ( u - с о ) " 2 - с о " 2 ] , |
|
|
|
|
|
|
|
to£L' |
|
|
( и ) = i f (") = - 2 и _ 3 - 2 2 (" - а )"3 |
{L'=L—(0}). |
|
|
§ 4.2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ НАД ПОЛЕМ С |
133 |
|
(Легко видеть, что <(? и <(?' содержатся в FL |
и имеют полюсы только |
|||
при |
и = |
0 (по модулю L) степеней 2 и 3 соответственно. |
Поэтому |
|
в |
силу |
утверждения (3) предложения |
2.11 [FL: |
C(f>)] = 2 |
и [FL: |
C(g>')] = |
3; |
следовательно, |
FL=C(<§>, |
§>'), что и |
требовалось |
||||
доказать.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложения |
Лорана для <(р и <§>' при |
и = 0 имеют |
вид |
|||||||
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
g> (и) = |
и"2 + |
2 |
( 2 л - 1 ) |
G 2 N (L) и2 ""2 , |
|
|||
|
|
|
|
|
л=2 |
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г ( и ) = - 2 и - 8 + 2 ( 2 n - l ) ( 2 / i - 2 ) G 2 n ( ^ ) u 2 " - 3 , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
п = 2 |
|
|
|
|
|
|
G a n ( L ) = |
2 |
со"2 ». |
|
|
|
|
||
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
||
(4.2.1) |
|
|
|
Г 2 |
= 4^3 - *2 (L)*p - |
|
* 3 W , |
|
||
где |
|
g2(L) |
= 60 - G 4 (L), |
g 3 (L) |
= |
140 -G6 (L). |
|
|||
|
|
|
||||||||
(Разность |
g»'2 — (4g>3 — g2.{L)<@ — |
g3(L)) |
|
голоморфна на C/L всю |
||||||
ду, кроме |
точки 0; но из |
приведенного |
выше разложения видно, |
|||||||
что она голоморфна и в 0, где обращается в нуль; следовательно, эта функция должна быть тождественным нулем.)
Так как FL |
= C(g>, <§>') |
— поле функций рода 1, то |
(4.2.2) |
g2(Lf |
_ 27g3(L)* Ф 0. |
Действительно, если бы левая часть в (4.2.2) была равна 0, то
уравнение |
(4.2.1) |
определяло |
бы кривую рода 0. |
|
||||
Для |
заданной |
решетки |
L |
зададим эллиптическую |
кривую |
|||
(4.2.3) |
|
|
Е: |
у2 = |
4z3 |
- g2(L)x - |
g3(L). |
|
Тогда |
отображение |
и н-*• ( f ( u ) , §>'(")) |
определяет |
изоморфизм |
||||
из C/L |
на |
Е. |
|
|
|
|
|
|
Пусть |
^ по-прежнему |
обозначает верхнюю комплексную полу |
||||||
плоскость. Для двух комплексных чисел со± и со2 , для которых
ft>i/co2 € @i |
мы |
имеем решетку |
|
L = |
Z M J + Zco2 . Обратно, каждую |
|||||||||||
решетку на С можно задать |
|
в таком |
виде. Будем |
использовать |
||||||||||||
следующие |
обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f{u; |
щ, |
со2) |
= f{u; |
L ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Д(й)1, |
<в2) |
= |
g2 (cui, |
со2 )3 — |
27g-3 (c0i, |
ш 2 ) 2 , |
|
|
|
|
|
|||||
gz(®u |
©z) |
= |
gz(L), |
|
g3(ou |
|
и 2 ) = |
g3(L) |
(L |
= |
Zcot + |
Zco2 ). |
||||
В § 2.2 |
мы |
определили |
модулярную |
форму |
Д(г) |
и |
модулярную |
|||||||||
функцию j(z) |
|
равенствами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Д(£) |
= |
Д(г, |
1) = g2(z, |
I ) 3 |
- |
27g3(z, |
1)\ |
|
|
|
|
|
||||
/00 |
= |
gz(a>u |
oj2 )3 /(g-3 (<»i, |
Щ)3 — |
27g3 (cu1 ) |
co2)a) |
(z |
= |
щ/а2) |
|||||||
