Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

134

ГЛ.

4.

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

КРИВЫЕ

(или же

J(z)

= 2°33 -/(z)) и установили ряд фундаментальных

свойств

этих

функций.

Отметим, что

j(z) — это

инвариант ] Е

эллиптической

кривой

(4.2.3), изоморфной

фактору

C/XZcui -\~ Za>2 ).

Покажем,

что для

всех г, s £ С, для которых г3 — 27s2

Ф О,

существует

решетка

L

в

С, удовлетворяющая условиям g 2 (L) =

г

и

g3(L)

=

s. Действительно,

рассмотрим эллиптическую

кривую

Е:

у2 =

4а;3 — rx — s. Эта кривая изоморфна тору C/L' при

неко­

торой

подходящей

решетке

L ' и, следовательно, кривой

у2

=

=

4х3 — g2(L')x

—

g3(L').

В

силу предложения 4.1 g2(L')

=

р,4г

ц

g3(L')

=

LI6 S при

некотором ц. 6 С. Но тогда решетка

L

=

lib'

обладает

нужным свойством.

В частности, отсюда следует,

что

функции

# 2 ( ^ 1 1 со2)

и g3 (cui,

со2) алгебраически независимы

над

С — это

требовалось

при доказательстве предложения 2.27.

&(N)

=

6(N, Е)

=

{t£E

\Nt =

0 } .

Можно

показать,

что

группа

(}(./V) изоморфна

подгруппе

группы

(ZfNZ)2,

равной

произведению

двух

экземпляров группы

Z/NZ.

В частности, если р не делит N,

то

g(iV) изоморфна

(Z/NZ)2.

(Это

очевидно, если универсальной

областью является

поле

С,

так

(4 3.1) если кривая Е определена

над

/с, то

координаты

каждой

точки конечного порядка

на Е

суть

алгебраические

над к

элементы.

Зафиксируем теперь простое

рациональное число I и положим

9<"=

со

6(П-

U

71=1

Если р не делит I, то можно показать, что

д< ( ) изоморфно

группе

(Qz/Zj)2 ,

где Qj — поле Z-адических

чисел

и

Z j — кольцо

целых

Z-адических чисел. Пусть а £ End(E).

Тогда

а

индуцирует

некото­

рый эндоморфизм

группы

з < г ' .

Так

как

каждый эндоморфизм

группы

(Q,/Zz)a

очевидным

образом

представляется^ некоторым

§ 4.3. ТОЧКИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА

135

элементом

алгебры

M 2 ( Z ; ) ,

мы получаем

инъективный

гомомор­

физм пз End(i?) в M 2

( Z ( ) ,

который можно продолжить до инъектив-

ного гомоморфизма

Rt

из

EndQ (Е)

в

M 2 ( Q i ) - Назовем

Rt

Z-адиче-

ским представлением кольца E n d Q (Е).

Можно показать, что харак­

теристический многочлен преобразования Ri(a)

при произвольном

а 6 End<j (Е)

имеет

рациональные

коэффициенты

(и

целые

коэф­

фициенты,

еслн

а

£

End(jE')) и не

зависит

от

I.

Мы свяжем сейчас с двумя произвольными элементами

s и

t

группы Q(N) некоторый корень iV-й степени из единицы,

обозна­

чаемый через eN(s,

t). Пусть D0

— модуль всех дивизоров степени О

на Е и DH

— подмодуль в D0,

состоящий из дивизоров всех

функ­

ций на Е,

т. е. DJDH

— модуль всех классов дивизоров

степени О

на кривой Е. Для каждой точки t £ Е пусть (it) обозначает

дивизор,

ассоциированный

с

точкой

t.

Хорошо известно, что

отображение

t н-> (г) — ( 0 ) £D0

задает

некоторый изоморфизм группы Е

на груп­

пу D0/DH.

(Действительно,

групповой закон

на

Е

определяется

с помощью

этого

взаимно

однозначного

соответствия

между

Е

и D0/DH.)

Следовательно,

т

т

( 4 . 3 . 2 )

если

tm£E,

си

cM €Z,jj YjCj=0

и

2 С ^ = °>

т

t=i

i=i

то

2 a

(tt) 6

DH.

Если

t

es(N),

то

N-({t)

— ( 0 ) ) 6 Д Н ; поэтому

N-{(t)

— ( 0 ) ) =

такую

точку t',

что

Nt' =

t. В

силу

( 4 . 3 . 2 ) на Е

существует

функ­

ция £,?для которой

d i v ( g ) =

2

(t' +

u)-

2

(и).

Легко

видеть,

что

функции

f(Nx)

и!

g(x)N

(х

6 Е) имеют

один

и тот же дивизор. Домножая / на подходящую

константу, мы

полу­

div(/) =

N-((t)

-

( 0 ) ) ,

g(xf

=

f(Nx),

x 6 E.

Если

s 6g(A0,

то

g(x

+

s)N

=

g(x)N

;

следовательно,

g(x

+

s)

=

eB{s,

t)g(x)

для некоторого корня N-ш степени

из

единицы

eN(s, t).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4 . 2 . Предположим,

что число N взаимно

просто

с характеристикой

универсальной

области.

Тогда

функция eN(s, t)

на прямом

произведении

Q(N) X Q(N)

обладает

следующими

свой­

ствами:

(1)

eN(si

+

sz,

t)

=

eN(si,

t)eN{sz,

t);

( 2 )

eN(s,

ti

+

tz)

=

eN(s,

ti)eN(s,

t2)-h

136

ГЛ.

4.

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

КРИВЫЕ

(3)

eN{t,

s)

=

eN(s,

г)""1;

i) = 1

(4) функция eN(s,

t)

невырожденна,

т.

е.

если

eN(s,

для

всех

s (i $(N),

то

t =

0;

(5)

если

t — точка

порядка

N,

то

eN(s,

t) —

первообразный

корень

N-й

степени

из единицы

при

некотором

s £ g(/V);

(6)

eN(s,

t)a

=

eN(sa,

ta)

для

каждого

автоморфизма

а

универ­

сальной

области

над

полем

определения

кривой

Е.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Первое

и

последнее

свойства

оче­

видны в силу самого определения.

Чтобы доказать (2), положим t3

=

tt

+ t2, и

пусть

ft

и gt

—

функции,

обладающие

указанными

выше

свойствами

для

точек

tt,

i

=

1,

2,

3. Так

как t±

+

t2 — t3 — 0 =

0

в

силу

(4.3.2),

то

существует

функция

h

на

Е,

для

которой

div(ft) =

(tj

+

(t2)

—

-

(*3)

-

(0).

Тогда

divifjj;1)

= d i v ( W ) ,

так

что

=

ch»

при

некоторой

константе

с.

Поэтому (gyg2g31)(x)

=

c'HNx)

при

некоторой константе с'; отсюда получаем (2).

Для доказательства (3) заметим, что

N-l

N-1

d i v ( П

f(x-it))=N-

S

({it+-t)-(it))=0;

i=0

i=0

следовательно,

N-i

f(x

— it) — константа.

Поэтому,

если

Nt'

= t,

[ J

i=0

то

и

произведение

Q

g(x — it')

должно

быть

константой. Подстав-

i=0

ляя

х — t'

вместо

х,

получаем

g(x)g(x

-t')

. . .

g(x

-

(N

_

l)t')

=

= g(x

-t')

. . .

g(x

~(N

-

l)t')g(x

-

t),

так

что

g(x) =

g(x

— t),

откуда

eN(t,

t)

=

1, и,

следовательно,

(3)

доказано.

Если eN(s,

t)

=

1 для всех s 6 зС^О, т

°

+

s )

=

i(x)

Д л

я в

с

е х

s 6 d(N).

Поэтому

g(x)

=

p(Nx)

для

некоторой

функции

р

на

Е.

Таким

образом,

f(x)

=

p(x)N

и

div(p) =

(t)

— (0),

а это

возможно

только

тогда,

когда

t =

0,

поскольку

Е

— кривая

рода

1.

Это

доказывает

(4).

Наконец, чтобы доказать (5), рассмотрим произвольную точку t

порядка TV, и пусть

ТN

— группа всех корней JV-й степени из еди­

ницы. Тогда s н-»- eN(t,

s)

— гомоморфизм

из

$(N)

в

ТN.

Если

он

числа N, что, будучи меньшим, чем N, он дает равенство

eN(s,

t)M

=

= 1 для

всех s £ Q ( N ) . В силу (4) отсюда

следует, что

Mt =

0;

мы

пришли

к противоречию. Доказательство

закончено.

§ 4.4. ИЗОГЕНИИ И ЭНДОМОРФИЗМЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ

137

§ 4.4. Изогении и эндоморфизмы

эллиптических

кривых над полем С

Пусть Е и Е' — эллиптические

кривые, изоморфные

C/L

и С/Z/ соответственно при некоторых

решетках L и L ' на С.

Тогда

ства C/L в пространство

С/Z/

и

обратно. Всякий

комплексный

аналитический гомоморфизм из C/L в С/Z/ задается некоторым

линейным отображением и н-*• \ш, где

р, — такое

комплексное чис­

ло,

что f i L c

L ' .

Поэтому

H o m ( £ ,

Е')

~ I i o m ( C / L ,

C/L')

=

{ц. £

С

| дХ cz V}.

В

частности,

End(£)

~

End(C/L) =

{ц. 6

С

| pLa

L ) ,

E n d Q (Я)

~

E n d Q

(C/L) =

(и. б

С

| j i - ( Q L ) с :

Q L } .

где

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

4.3.

Пусть

L =

Z®i

+

Zco2 u Z/ =

ZcOj + Zcoj,

z =

coj/coa £ j§

w z' =

(OJ/OJ^ 6 £>•

Гогда

кривые

C/L

и

С/Z/

изогенны

(соответственно

изоморфны)

в том и только в том

случае,

когда существует

такой

элемент а

группы

GL*(Q)

(соответственно

SL 2 (Z)),

что

а(г')

=

z,

где

GL+(Q)

=

{£ 6

G L 2 ( Q ) | det(g) >

0 } .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

число

0 Ф ц. £ С

таково,

что

Ц-Ь с : Ь

, то существует элемент а

=

с d

из

пересечения

M 2 (Z) П

П

G L 2 ( Q ) , для

которого

"«>Г

"а

b

со,

С 0 2

_

с

d

со,

следовательно,

d e t ( a ) > 0

и

z = a(z') . Обратно,

если a ( z ' ) = z

для

"а

Ь1

а =

с

d ^ M 2 ( Z ) n G L + ( Q ) ,

положим

A. =

c z ' - - d .

Тогда

ХфО

и

а Ъ~

V "

щ

со,

(4.4.1)

. 1 .

с

d_

1

,

ИЛИ

(XCU2/CU2)

_ С 0 2 _

с

d_

со.

следовательно,

иХ cr L '

при

и. =

A,coa/co2. В частности,

u.L =

Z/

тогда и только тогда, когда a

£ S L 2 ( Z ) .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

4.4.

Пусть

L =

ZcOi +

Zco2

при

% =

coj/сог 6

Кривая

CIL

обладает

комплексным

умножением

тогда

и

только

тогда,

когда

существует

такая нескалярная

матрица

а

в

группе

GL+(Q),

что a(z)

=

z.