Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

§ 4.4. ИЗОГЕНИИ И ЭНДОМОРФИЗМЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

КРИВЫХ 139

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть X £ К — Q и а =

q(X). Тогда

det(ct) =

NK/Q (X) =

XX > 0 и а имеет X и X в качестве характери­

стических

корней.

Поэтому а

как преобразование полуплоскости

точкой г в ^ . Если записать соотношение (4.4.2) для полученных

а

и

z,

то

окажется,

что

X =

р. или

X =

р. В

любом

случае

Q(z)

=

=

Q(X) = К.

Если

д'

обозначает

погружение поля

К

в

алгебру

M 2 ( Q ) ,

определенное

равенством

р, 1

то

q(X) = q'(X)

и

д(А,) =

д'(Х)

Так как i f

=

Q(A-), отсюда

следует, что

или д(р)

=

=

g'(p)

для всех

\л

£ К,

или g(p)

= д'(р)

для всех

р. 6 К.

Поэтому

наше утверждение

получается из

предложения

4.6.

Мы уже видели, что существует ровно два погружения поля К

в

алгебру M 2 ( Q ) ,

обладающих свойством

(4.4.4)

для фиксирован­

ной точки z. Погружение q назовем нормализованным,

если оно

определено равенством (4.4.5). Второе погружение

определяется

через (4.4.5)

после

замены

z на z.

Пусть q и q' — произвольные погружения одного и

того

же

поля К в алгебру

M 2 ( Q ) . Тогда существует

такой

элемент

В груп­

пы

G L 2 ( Q ) ,

что

g'(p)

=

Bg(p)B_ 1

для

всех

р, £ К.

(Это

хорошо

(соответственно q'),

рассмотрим

Q2 как одномерное векторное про­

странство V (соответственно V )

над полем К. Тогда V и

V

долж­

ны быть изоморфны над К; это

означает, что существует

Q-линей-

ный автоморфизм 6 пространства Q2 , для которого g'(p)B

=

Вд(р,).)

Пусть

z (соответственно z') — неподвижная

точка

группы q(K )

(соответственно q'(K*)) на ,<д. Тогда P(z) равна или

z', или

z', так

как z'

и

z' — единственные

неподвижные

точки

на

С

группы

q'(Kx).

Поэтому В

равно либо с

либо

при некотором

ненулевом комплексном числе с. Следовательно, если q и q'

норма­

лизованы,

то число

det (P) должно быть

положительным.

ностью до изоморфизма

таких эллиптических

кривых Е, что коль­

цо

EndQ(i?) изоморфно

К.

Заметим сначала,

что кольцо Еп&(Е)

является порядком в поле Endo^E1 ).

Вообще под порядком

в поле алгебраических чисел F конечной

степени мы подразумеваем подкольцо в F, содержащее Z и являю­

щееся Z-модулем ранга

[F:

Q]. Каждый порядок в F содержится

в кольце всех целых алгебраических чисел в F,

которое называет­

ся максимальным

порядком

в F. Под решеткой

(или Ъ-решеткой)

в F мы подразумеваем свободный Z-подмодуль в F ранга IF : Q].

Для

произвольной

Z-решетки а в F кольцо о = . {р. б F | р, а с= а}

140

ГЛ.

4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

КРИВЫЕ

является

порядком

в F. Мы

называем

о порядком решетки а, а

а — собственным о-идеалом.

Все собственные о-идеалы можно

лов

поля

F.

Возвращаясь к мнимому

квадратичному

полю К,

рассмотрим

произвольную Z-решетку а в

К. Если

рассматривать

а как

под­

модуль в С, то а — решетка

в

С, так что С/а

— комплексный тор.

Итак,

(4.4.6)

End(C/a)

= {ц £ С | iia cz

a} =

{ u

£ К

| и.о. cz a}.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.8. Пусть

E — эллиптическая

кривая,

определен­

ная

над

С,

для

которой

кольцо

Endq(£')

изоморфно

полю

К,

и о — порядок

в К,

соответствующий

кольцу

End(£'). Тогда кривая

Обратно,

для

каждого

собственного о-идеала а кольцо

End(C/a)

изоморфно

о. Кроме того, класс собственных

о-идеалов а

однозначно

определяется

классом

кривых, изоморфных

кривой С/а.

Другими

словами, кривая С/а изоморфна кривой

С/6 тогда и только

тогда,

когда

ц.а = Ь

для

некоторого и- £

К".

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как существует два изоморфизма

поля

К на кольцо

EndQ(i?),

то кольцо о может априори зависеть

от

выбора изоморфизма. Однако

если

а 6 о, то а + а £ Z cz о, так

что

a g o .

Это говорит о том, что

о

=

о; следовательно, о не зави­

сит

от выбора

изоморфизма

поля

К

в кольцо

End<j (Е).

Кривая Е

изоморфна

некоторому тору

вида

C/(Zz + Z) при z £ К.

Положим

о =

Zz +

Z.

Тогда

модуль

а должен

быть

собственным

о-идеа­

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

4.9.

Пусть

Е

и Е'

— эллиптические

кривые,

определенные над полем

С. Предположим,

что Е обладает комплекс­

ным умножением.

Тогда

Е'

изогенна Е

в том

и только

в том

слу­

чае, когда

кольцо

EndQ (Е')

изоморфно

кольцу

EndQ

(Е).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

4.10. Для

произвольного

порядка о поля К

число

классов собственных о-идеалов

равно

числу

классов

кривых,

изо­

морфных

таким

эллиптическим

кривым

Е,

что кольцо

End(£)

изоморфно

о. В

частности,

если

о — максимальный

порядок

в К,

то число,

упомянутое

выше,

есть

не что

иное,

как

число

классов

поля К.\

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

4.11. Пусть

ок

— максимальный

порядок

в поле

К и о — какой-нибудь

порядок

в этом

же поле.

Тогда

существует

ровно одно

положительное

целое число с, для которого

о = Z +

сок.

§ 4.4. ИЗОГЕНИИ

I I ЭНДОМОРФИЗМЫ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ

141

Далее,

для

каждого

собственного

о -идеала

а существует

такой

элемент

р

в К*,

что iia +

со =

о.

Кроме

того,

пусть

для

двух

собственных

о-идеалов а и

Ь

символ

аЪ обозначает

Ъ-модулъ,

порожденный

элементами

ху,

для

которых

х б а, у б Ь.

Тогда

все собственные

о-идеалы

образуют

группу

относительно

этого

закона

умножения

и о служит

в ней

единицей.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Хорошо

известно,

что

ок

=

Z +

при

некотором

положительном

целом

числе

с.

Тогда Z +

сок

=

=

Z +

Zck cz

о.

Если

г

- j -

sk

б о

при

г

и

s из

Z,

то sk б о, так

что

s

б cZ.

Поэтому

о =

Z

-г - с о я .

Единственность

числа

с

оче­

видна. Для

произвольной

Z-решетки

а

в

К

положим

а*

=

{ р

б К

|

T r x

/ Q

(pa)cz

Z } .

Тогда

легко

видеть,

что

а*

— некоторая Z-решетка

в К,

(а*)*

=

а

и

a* cz

о*,

если

Ь с

а.

Более

того,

если

оа cz

а,

то

оа* cz

а*.

Поэтому,

если

о

(соответственно

о') —

порядок

для

а

(соответственно

для

а*),

то

о с : о'

и

о' cz

о,

так

как

а** = а, в силу

чего

о = о'.

Непосредственно

проверяется,

что

о* = g'(cA.)- 1 o,

если

g(x)

=

О — приведенное

неприводимое

уравнение для ск над Q.

Пусть

a

—

собственный

о-пдеал.

Если

£ б (aa*)*,

то

Tr/c/Q (£aa*) cz

Z,

так

что

^а* с

а*,

откуда

£ б 0.

Поэтому

(aa*)* cz о

и

o*czaa*.

С другой

стороны, Tr(aa*o) =

Tr(aa*)cz Z;

следовательно,

aa* с : о*.

В

силу сказанного aa*

=

о*,

так

что

a-(g'(ck)a*)

=

о. Итак,

мы

установили

существование

обратно­

го

элемента

в

полугруппе

собственных

о-идеалов,

а тем

самым

и справедливость последнего утверждения

предложения.

Положим Ь =

g'(ck)a*.

Определим

Q-линейное

отображение

/

поля К в поле Q равенством /(г

+

sk)

= г для

г и s из

Q. Тогда

/(оа) = /(о) = Z. Поэтому для каждого простого

рационального

числа р существует такой элемент

р,р

в Ь, что число

/(р р а)

не со­

держится в идеале pZ.

Но тогда можно найти такой элемент р, в Ь,

что

р == р р

mod pb для всех простых

делителей р числа с. В этом

случае / (pa) не содержится в pZ для всех таких р.

Следовательно,

/(pa)

=

mZ

при

некотором положительном целом числе т, взаим­

но

простом

с

с.

Имеем

/

(pa

+

CQk) =

mZ +

cZ

=

Z. Если

а

б

б о, то

/(а)

=

/(В)

при

некотором

В б ра

+

с о я .

Тогда

a

—

В б

б Zck cz ct>K,

так

что

a

=

(a

—

В) +

8 б pa

+

сок.

Это

гово­

рит

о

том,

что

о =

о

pa +

сък.

Так

+

как

и

pa и сок — идеалы

порядка

о,

то

=

оо =

(pa

соя) (pa

- f

со.к)

cz pa

+

+

с20к

cz

pa +

со

и,

таким

образом,

о =

pa +

со.

Целое число с (или

идеал

соя)

называется кондуктором

поряд­

ка

о.

Легко

видеть,

что

сок

=

{а

б К

| ацк

cz

о} .

В

(5.4.2)

мы покажем, что

каждый

собственный

о-идеал является

«локаль­

но

главным».

142

ГЛ.

4.

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ

Как

показывают

наши

рассуждения,

равенство

аа*

= о *

выполняется для

каждого

собственного

о-идеала

о при произ­

вольном

порядке

о поля

К,

даже если

[К:

Q] >

2.

Если

о =

неприводимому

уравнению g(x)

— 0

над

Q, то о*

= £ ' ( л - 1 ) о,

так что каждый собственный о-идеал а обратим.

"УПРАЖНЕНИЕ

4.12. Докажите,

что

число

классов

собственных

о-идеалов равно

УПРАЖНЕНИЕ 4.13. Пусть F—поле

алгебраических

чисел

конечной степени,

К — квадратичное

расширение

поля F

и

$ р

(соответственно

ок) — максимальный

порядок в F

(соответствен­

но в К). Обобщите

предложение 4.11 на случай порядка в поле

К,

содержащего oF.

(Хотя это можно сделать и глобально,

но

для

квадратичное

поле, то

группа о х ,

как известно, не сводится к ± 1

лишь в следующих

случаях:

П(А)

К

= Q d / ^ l ) ,

6 = ЯУ=1Ц

о*

=

{ ± 1 ,

±У~П;

vj(B)

К

=

Q( £ ),

L =

е 2*»/з, 0 =

Z [ £ ] ,

ох

=

{ ± 1 , ± С ,

± ¥ } .

В обоих

случаях

о — максимальный

порядок поля К

и число

изоморфно

кольцу

о.

Пусть

кривая

Е определена

уравнением г/2

=

4ж3 — сгх — с 3

при с 2 и с 3

из С. Заметим, что

(4.5.1)

; Е =

1 <=> с3 = 0;

j E = 0 <=> с2

=

0.