Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

§ 4.6. СВОЙСТВА ЦЕЛОСТНОСТИ ИНВАРИАНТА J

143

Если теперь с3

=

0, то

группа

Aut(E)

содержит

по крайней

мере

4 элемента: (х,

y)t—+(x,

±z/), (х,

у) н-*• (—х, ±

]/ —1у); если с 2 =

0,

то группа A u t ( f i )

содержит

по крайней мере 6 элементов: (х,

у)

н-»

•—*• (Е?х, ±у),

v = 0,

1, 2, £ =

е 2 л ' / 3 .

Поэтому

из (4.5.1)

мы полу­

чаем, что

(4.5.2)

кривая

Е

относится

к случаю (А)

(соответственно

(Б))

тогда

>и только

тогда,

когда j Е

= 1

(соответственно j

E =

0).

Более того, мы видим, что группа Aut( £ ) состоит из названных

4

или

6

элементов.

В дальнейшем мы будем

обозначать

через

% множество

эллип­

тических кривых Е вида у2

= Ах3 — сгх

— с 3 , где с 2 и с 3

берутся

из

С.

Мы разбиваем

множество

%

на

три

класса

%t,

i

=

зом,

%г

и

%3

состоят

из

кривых типа

(А)

и (Б)

соответственно,

a Mi содержит

все остальные

кривые из %.

Для

каждой

эллиптической

кривой

Е:

у2

=

4ж3 — с2х

—

с3

определим

три функции

hE

на

Е равенствами

hE((x,

у))

=

(с2 с3 /Д •)•?,

У))

=

(cJ/Д)

А = cl

-

27с23,

ЬШ*.

2/))

=

(с3/А)

-х3.

Очевидно, они определены над полем

определения

кривой

Е.

Если

Е

6 §2>

то

/г-Ь =

й| =

0

и /г.|((:г,

г/))

=

с~гх2;

если

же £

6

£ ^ з ,

то

hE

=

/ i |

=

0

и

fe|((x,

г/))

= (—27с3 )_ 1 а:3 .

Используя

явную форму

элементов

группы

A u t ( S ) ,

указанную

выше,

легко

проверить,

что

(4.5.3.)

при Е 6 %i равенство

hE(t)

=

ZIB(£')

выполняется

тогда

и

только

тогда,

когда t

= at'

для некоторого

а 6

Aut(i?);

Действительно, если Е — указанная выше

кривая

и Е'

опре­

деляется равенством у2 = 4ж3

— с'2х — с'3,

то

в силу

предложе­

ния

4.1 г)((х, у)) = (uAc, иЛг),

= р,*с2, с3

=

р,6 с3 при некотором и.

из С. Таким образом, (4.5.4) получается из

определения

функ­

ций

hE.

J(z) =

123j(z)

=

123ф)/А(г)

имеет

разложение Фурье вида

(4.6.1)

J(z) = q-*{1+

2

c n g n ) ,

<z = e2 **

n = i

144

ГЛ. 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

КРИВЫЕ

ТЕОРЕМА 4.14. Если z принадлежит

мнимому

квадратичному

полю

и Im(z) > 0, то J(z) — целое

алгебраическое

число 1

) .

Здесь мы дадим аналитическое

доказательство

этого

утвержде­

ния, хотя более естественным было

бы алгебраическое доказатель­

ство,

которое теперь возможно благодаря минимальным

моделям

Нерона

[1]; см. Дойринг

[1], Серр

и Тейт [1].

Тот

факт, что J(z) — алгебраическое

число, легко

установить

так.

Пусть

А" = Q(z), L =

ZZ-\-ZKE

— эллиптическая

кривая,

изоморфная

C/L. Заметим, что для каждого а £ Aut(C)

кольцо

А .

Так как j

( E A ) = j ( E ) A , то множество {j(E)A

| о £ A u t ( C ) } счет­

но;

следовательно, чпсло j ( E ) должно быть алгебраическим.

Тот факт,

что J(z) — целое число, является

более глубоким

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

4.15. Предположим,

что

771

2 a h / ( z ) * =

2

К?,

q=e™*,

ft=0

n^Tio

для всех z £ <g и константы ah и Ъп лежат в С. Тогда

ah принадле­

жат

кольцу,

порожденному

над

Z

числами Ъп.

q-1 ( l - f 2c»?n)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Подставив выражение

оо

771

n = l

для /

(z) в сумму

2 a h J (z)f t ,

получим

ft=0

Ъ-т — am,

b i - m = ma-mPi - f a m - i i

+ am _2 ,

b2-m =(m

(m —1)/2)

• a,„c2 - f (m — 1) • am.tCi

Так

как c n

£ Z,

то утверждение

доказано

Будем называть элемент a

= ~a b

алгебры M 2 (Z)

примитивным,

если а, Ъ, с,

d не имеют общих делителей,

отличных от ± 1 . Если

det(a) = п >

0, то матрица

а

примитивна

тогда

и только тогда,

Гп

01

когда a £ Г •10

1

Г Д 6

^ ~ ^ ^ ( Z ) . Согласно предложению 3.36,

~п 0"

U Га,

п

л - Г =

К. Л. Зигсль

показал,

что если

z — алгебраическое число, 1 т г > 0

и г не принадлежит

мнимому

квадратичному полю, то J(z) — трансцендентное

число (Ann. of Math.

Studies,

16 (1949),

98.) — Прим. ред.

§ 4.6. СВОЙСТВА

ЦЕЛОСТНОСТИ

ИНВАРИАНТА

J

145

где А

— множество всех матриц

а

а Ъ'

подчиненных условиям

О d

d >

0, ad — п,

0 <

d и

(a, b,

1.

Ъ <

d)

=

Зафиксируем

теперь

произвольное

целое

число

п >

1 и рас­

смотрим многочлен

м

П

(X-Joa)=

2 s m X m

tx£A

m=0

от переменной X , где sm

— элементарные симметрические функции

от /

о а и, следовательно, голоморфные функции на ,<д, обладающие

разложением Фурье по степеням

д1 /7 1 . Для каждого у 6 Г справед­

ливо

равенство

U

Гау

==

U

Га,

так

что

а£А

а£А

{ / о а о у | а 6 .4 } = { / ° а | а 6 4 }.

Следовательно,

s m ° Y

=

sm

и s m — модулярная

функция

уровня 1.

Так как sm голоморфна

на SQ, ТО sm

— многочлен

от / ;

обозначим

Далее, g-разложение элемента

J o a для а =

.'а Ъ

6 А имеет вид

О d

(4.6.2)

/ (а (z)) =

[ 1 + 2

cmtF<Tald\

,

U =

eW*.

m = i

числами

поля

Q( £ n ) .

Пусть

а — такой автоморфизм

поля

Q(£„),

что

tg =

Q для некоторого

it, (t, п) = 1. Преобразуя

коэффициен­

та Ь'"

ел,

ты в

J°a

с помощью а, получаем элементы / ° 6 ,

где р = О

d

Ъ' =

btmo&(d).

Так

как а •—»• р дает перестановку множества

А,

можно заключить, что коэффициенты g-разложения

для sm

при­

надлежат

Z. Применяя предложение 4.15 к Sm(J),

мы видим,

что

/)=

аП£

м

(4.6.3)

Fn(X,

( Х - / о « ) =

2

Sm(J)Xm,

А

т = 0

принадлежащий кольцу Ъ[Х, /].

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.16. Для

каждого \ 6 G L 2 ( Q )

с det(|) > 0 эле-

мент

J o £ — целый над

Z [ J ] .

Цель этой главы — изучить

поведение эллиптической кривой

Е

с комплексным умножением

при действии группы

Ga\(Kab/K),

где К

— мнимое квадратичное поле, изоморфное кольцу

EndQ (Е),

и

Каь

— максимальное абелево

расширение поля К. От

читателя

главах. Пусть X — какой-нибудь алгебро-геометрический

объект,

определенный»над универсальной областью

С и такой, что

символ

Ха

определен] для любого автоморфизма о

поля С. Таким образом,

X

может быть многообразием, рациональным отображением или

пусть

к — произвольное

подполе

в С;

если

Х° = X

для

всех

а 6 Aut(C//i:), то X

— объект,

рациональный

над

к. Эквивалентная

формулировка: если

Ха

при

а £ Aut(C/A;)

зависит

только

от

огра­

ничения

автоморфизма

а

на

к, то

X

— объект,

рациональный

над к.

пусть к и к' — подполя

в С со счетным множеством

элементов;

если

к' инвариантно относительно группы Aut(C//c), то композит

kk'

является (конечным или

бесконечным) расширением

Галуа поля