Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 162

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

148 ГЛ. 5. АБЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ МНИМЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЕЙ

к. Кроме того, если каждый элемент группы Aut(C//«) индуцирует тождественное отображение на к', то к' cz к.

Рассмотрим теперь проективную пеособую кривую V, опреде­ ленную над полем к произвольной характеристики. Будем обозна­ чать через k(V) поле всех функций на V, рациональных над к (см. дополнение, п. 4). Пусть W — также проективная неособая кривая

и X — рациональное отображение

из V в

W, причем все это

опре­

делено над к. Тогда, как хорошо

известно, X есть морфизм, т. е.

всюду определенное на V отображение. Предположим, что отобра­

жение X не постоянно. Тогда

отображение /(—*•/° X определяет

некоторый изоморфизм поля k(W)

 

в k(V).

Обозначим через

k(W)°X

образ ноля k(W) при этом изоморфизме. Будем называть отобра­ жение X сепарабелъным, несепарабелъным нлн чисто несепарабелъным в зависимости от того, сепарабелыю, несепарабельио пли

чисто

несепарабельио

над

k(W)°X

 

поле

k(V).

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

deg(?i) =

[k(V)

:

k{W)°X]

 

 

 

 

 

и

назовем

это

число

степенью

морфизма

X; оно

не

зависит

от вы­

бора

к.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

D i f ( F ) — множество всех

дифференциальных форм на V

и

££(V) — множество

всех

голоморфных

элементов

из

D i i ( F ) ,

т. е.

всех

дифференциальных

 

форм

первого

рода

на

V.

Обозначим

через

3)(V;

к)

множество всех элементов из 3)(V),

рациональных

над к (см. дополнение 8.9). Если X и

W те же, что выше, то для

каждой формы со =

/ю df £ Dif(И^; к) при / и h из k(W)

можно

 

опре­

делить элемент

со о X из D i f ( F ;

к) равенством

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со о X

=

(hoX)

-d(f

о

X).

 

 

 

 

 

Если

со 6 3)(W),

то

со о л. £

3)(V).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.1. Пусть

V,

W,

к и X те же, что выше,

и 0 =/=

Ф

со 6 D i f ( H / ;

к).

Тогда

со °Х Ф

0

в том и только в том

случае,

когда

отображение

X

сепарабелыю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Дифференциальная

форма df

 

обла­

дает следующим свойством;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.1.0) df Ф

0

тогда

и только тогда,

Kozdd[k(W)

—

алгебраическое

 

 

сепарабелъное

расширение

поля

k(f).

 

 

 

 

 

(См. дополнение, пп. 8, 9.)

Положим со =

h - d f при некоторых

h и /

из k ( W ) . Так как

со Ф 0, то поле k(W)

сепарабельно

над k(f), так

что k(W)°X

 

сепарабельно

над k(foX).

Применяя (5.1.0) к d(foX),

мы

видим, что k(V)

сепарабельно над k(f°X)

тогда и только тогда,

когда

со о X Ф 0.

Предложение

доказано.

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.2. Пусть V, W, чисто несепарабелъно и q = deg(A-),

X и к те же, что выше. Если X то существует бирегулярный

 

 

 

 

§ 5.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ

РАССМОТРЕНИЯ

 

 

149

изоморфизм (.1 из W в Vq, рациональный

над к и такой,

что \.юХ —

морфизм

возведения

в

q-ю степень

из

V

в V9,

где

Vq

 

обозначает

многообразие

V,

преобразованное

автоморфизмом

 

возведения

в q-ю

степень

 

универсальной

области.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

v — общая

точка

 

многообра­

зия

V

над полем

к,

и пусть

w

= X(v),

К

=

k(v),

L

=

k(w).

Наше

утверждение

эквивалентно

равенству

L — к-К4,

 

 

где

К'1 =

=

{а9

\ а £ К)

(по крайней мере оно вытекает из этого

равенства).

Действительно,

если к-К9

=

L , то

k(vq)

=

k(w).

Так

как

vq —

общая

точка

Vя

над к,

можно

определить бирациональиое

отоб­

ражение

ii из

W

в

Vq

равенством u.(iw) =

vq.

Так

как

 

W и

V9 —

проективные иеособые многообразия, то отображение ц. бирегуляр-

ио. Но тогда

U.(A(L>)) = vq,

так

что \ь°Х — морфизм

возведения

в

q-ю степень из V в

V9.

 

 

 

 

 

 

Теперь

наш

вопрос

свелся

к

установлению равенства к-К4

=

=

L . По

предположению

поле

К чисто несепарабельно над

L

и [К : L] = q,

так

что

k-Kqcz

 

L . Поэтому достаточно

доказать,

что [К: к-К9]

= q.

Поскольку

К — регулярное расширение поля

к, существует такой элемент х из К, что К алгебраично и сепара-

бельно над к(х). Но тогда к-К4

сепарабельно над k(xq).

Далее, поле

К сепарабельно над к(х) и чисто несепарабельно

над

k-Kq,

так

что К является композитом к(х)

и к -К4.

Так как к(х)

чисто несепа­

рабельно

над

к(х9) и к-К9

 

сепарабельно над

к(х9),

то

 

 

 

 

 

 

 

[К

: к-Kq]

=

[к(х)

: k(xq)]

=

q,

 

 

 

 

 

 

и доказательство

закончено.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предложение

5.3.

Пусть

Е\ и Е2 — эллиптические

кривые,

определенные

над

некоторым

подполем к поля

С, и к —

алгебраиче­

ское замыкание

поля

к в С. Тогда каждый элемент

из Hom(£'i,

Е2)

определен

над к. Кроме

того,

если кольцо

End(£\) изоморфно

кольцу

Z и X £ Нош(£'1 ,

Е2),

то

№ =

±Х

для

каждого

автоморфизма о

поля к над

к.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

X £ Hom.(2?i,

Н2)

и

а — авто­

морфизм поля

С над

к, то

Ха £ Honi(£'i, Ег).

Так

как

множество

Нош(£'1 , Е2)

не более чем счетно, существует не более чем

счетное

множество таких элементов Ха,

что X определено над к. Если коль­

цо End(Z?,)

изоморфно

кольцу

Z и X Ф

0,

то

группа

Hom(£'i,

Е2)

изоморфна Z, и тХа = пХ при ненулевых

целых

числах

т и

п.

Но тогда m2-deg(X°)

=

deg(mXa)

=

deg(nX)

=

n2-deg(X).

Так

как

deg(Xa ) = deg(A,), то

m =

±n и, следовательно,

Xa

=

 

±X.

 

 

Рассмотрим

теперь

такую

эллиптическую кривую Е над С,

что кольцо

E n d Q

(Е)

изоморфно мнимому квадратичному полю

К.

Мы укажем

сейчас

способ

выбора

канонического

изоморфизма

из двух изоморфизмов поля К

и Endo. (Е).

Заметим

сначала,

что

векторное

пространство

3)(Е)

голоморфных

дифференциальных

15 ГЛ. 5. АБЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ МНИМЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЕЙ

форм иа Е

одномерно над С. Пусть

О Ф

со 6 3)(Е). Для

каждого

а 6 Encl(Z?)

справедливо включение

со°а

6 £Р(Е), так что

со о а =

=(.1аш для некоторого элемента и.а из С. Если кривая Е отожде­

ствлена с комплексным

тором C/L,

где L — некоторая

решетка

в С, и если и обозначает

переменную

на поле С, то со =

c-du при

некотором с £ С. Поэтому, если а соответствует линейному отоб­

ражению

и и-*- (.ш,

как

в

§

4.4,

то

cooa = c-d(\.m) =

c\x.-du =

=

u-co,

так

что

ц. = ц„. Таким образом, можно

выбрать

изомор­

физм 0 поля

К

из

EndQ (Е),

который

полностью

характеризуется

условием

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.1.1)

 

 

© о 6(H)

=

|i(o,

ц

6 Я , 8((i) 6

End( £ ) .

 

Заметим, что это условие не зависит

от выбора со. Назовем пару

(Е,

0) (или просто

изоморфизм 0)

нормализованной

(нормализован­

ным), если это условие выполняется. Если ( £ ", 0') — другая нор­

мализованная пара при том же поле

К,

то

каждая изогения X

кривой Е в кривую Е' удовлетворяет равенству

 

 

 

 

(5.1.2)

 

 

 

 

 

ь е ( ц ) =

Q'(\.i)°x,

 

 

u. е

к.

 

 

 

 

 

Действительно,

еслн

со

(соответственно

со') — дифференциальная

форма иа Е (соответственно на Е'),

такая же, как

рассматривалась

выше, то со' о X — Ь(£> прп некоторой константе Ь, так что

со' оХо 0(ц.) =

=

Ьц.со =

со' о 0'(|х) °Х, п, следовательно, справедливо (5.1.2). В

ка­

честве

другого

приложения

этой

идеи приведем

доказательство

следующего

утверждения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.1.3)

если

кривая

Е

определена

над полем

к,

то каждый

элемент

 

 

 

кольца

End(£')

рационален

над

кК.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы это показать, заметим, что

можно

выбрать

форму

со,

рациональную над к. Пусть a £ Aut(C/kK),

 

u. £ К,

Q(\i £

End(£').

Так

как

Е,

 

со

и

ц. инвариантны

относительно

а,

то

сйо0([д,)°

=

=

(соо0(ц.))°

 

=

(JXCO)0 =

(хсо == соо0(|д.)

(см.

дополнение,

п. 8),

так

что 0(j-i)CT

=

 

0(j.i).

Отсюда

следует, что

элемент

0(f.i)

рационален

над

кК.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

(Е,

0) и К

означают то же,

что выше, и пусть" кривая Е

теперь

определена

уравнением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г/2

• 4а;3 — с2х

—

с 3

 

 

 

 

 

 

при

с 2

и

с 3

 

из

поля

алгебраических

чисел

к конечной

степени,

содержащего

К.

(В силу

теоремы

4.14 в

заданном

классе

кривых

с точностью до изоморфизма такую модель Е всегда можно найти.)

Возьмем в к простой

идеал р, взаимно

простой с числами 2 и

3,

для которого кривая

Е имеет хорошую

редукцию по модулю р

х ) .

] ) Изложение общей теории редукции по модулю р алгебраических мно­ гообразий, и в частности абелевых многообразий, см. у Шнмуры [ 1 ] , Шимуры и Таниямы [ 1 , гл. I I I ] . Нерон [1] построил модель произвольного абелсва мно­ гообразия с наилучшим поведением при редукции по модулю р. По поводу дальнейшего изучения этой темы, особепно вопроса о критерии для хорошей редукции, см. Серр и Тейт [1] .

 

 

 

§

5.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ

РАССМОТРЕНИЯ

 

 

 

151

Под этим мы подразумеваем, что с 2 и с 3 являются

р-целыми

числа­

ми,

 

а с\ — 21с\ является р-адической

единицей.

По

определению

кривая

Е по модулю

р — это

эллиптическая

кривая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г/2 - Ах3

— сгх — с3 ,.

 

 

 

 

 

 

где знак ~ указывает переход к классам вычетов по

модулю

р.

Будем обозначать

эту кривую через р (Е) или

через Е,

если идеал

р

фиксирован.

Очевидно,

что j

(Е)

— класс

вычетов

числа /

(Е)

по модулю р. Для произвольной точки t кривой

Е,

рациональной

над

к,

можно

естественным

образом определить

точку

р (t) =

—

t

=

(t mod (p))

на

E.

Можно

показать, что

t *• р (t)

— гомо­

морфизм. Более

того,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.1.4)

если р (t)

=

0

и

Nt

=

0

при

некотором

целом

N,

взаимно

 

 

 

простом

с р, т о

£ =

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Элементарное

доказательство

приведено

в статье

Лготца

[1].

См. также Шимура и Танияма

[ 1 , § 11, предложение 13], где соот­

ветствующий факт доказывается для абелевых многообразий более высокой размерности.

Рассмотрим теперь другую эллиптическую кривую Е', опре­ деленную над к, которая также имеет хорошую редукцию по моду­

лю

р. Пусть X — произвольный

элемент

из

Hom(i?,

Е'), рацио­

нальный над к. Тогда можно естественным

образом определить X

=

=

${Х)

как элемент из H o m ( £ ' ,

Е).

Можно

показать,

что X н-*•

«—»• р (X)

задает

инъективный

гомоморфизм

из

Нош(2?',

Е)

в Н о т ( £ " , Ё) и

deg(l.) = deg(A,) (см.

Шимура и Танияма

[ 1 , § 11.1,

стр. 94, предложение 12]). В частности, если Е =

Е',

то

мы полу­

чаем инъективный гомоморфизм колец из End(£) в Епс1(£). Поэто­ му можно определить инъектпвное отображение

0: E n d Q (Ё)

равенством 6(ц.) = р(0(р.)) для] и. б К, 8(ц.) б End(£). Образ Q(K) не обязательно совпадает с EndQ(2?). Однако

(5.1.5) каждый элемент кольца EndQ (Е), коммутирующий со всеми элементами из В{К), принадлежит Q(K), т. е. коммутатор

кольца Q{K) в E n d Q (Е) равен

в(К).

Это непосредственно следует из того факта, что кольцо EndQ (£') является либо квадратичным полем, либо кватернионной алгеброй над Q. Другой J путь доказательства состоит в рассмотрении Z-адического представления кольца E n d Q (Е); этот метод применим и в многомерном случае (см. Шимура и Танияма [ 1 , § 5.1, пред­ ложение 1]).

Смотрите также файлы