Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Если

со =

dxly,

то можно естественным

образом

определить

р(со) =

со

как

дифференциальную

форму

на

Е,

отличную

от 0.

Если с

— некоторое

})-целое число, то

положим

р(ссо)

=

ссо.

Можно

проверить, что формула 'р(соо^) = соо^

верпа для

каж­

дого % £ Hom( £ ", Е),

рационального

над к.

(См. Шимура

и Тания-

ма [ 1 , §

10.4].)

§ 5.2. Теория полей классов на языке

аделей

Прежде

чем изучать дальнейшие свойства

объекта

(Е,

0),

ческих

чисел и некоторые

фундаментальные

положения

теории

полей классов *).

Для произвольного поля алгебраических чисел К обозначим

через

К л

группу

иделей

поля

К,

через

А£,

архимедову часть

группы КА

И через

A ' i - i - связную компоненту единичного

элемента

группы

А'£, . Далее,

обозначим

через

КАЬ

максимальное

абелево

(5.2.1)

1->- КЧС^-*

КА

G a l ( A a b / A ) - > 1,

где

K*KZo+

— замыкание

группы

К*К%а+ 2 ) .

Будем

обозначать

через [s, К] элемент группы

G a l ( A a b / A ) , соответствующий

элемен-

ту s группы

КА- Для

произвольного

элемента х группы К А И ДЛЯ

конечной

простой

точки

р

поля

А"

через

х^

будем

обозначать

р-компоыеиту элемента х. В этих обозначениях

можно

определить

дробный

идеал

il(x)

поля

К

равенством

il(a:)p = х^о^ для всех

р,

где

Ор — максимальное

компактное

подкольцо

пополнения

А р

поля К в точке р.

Положим

£/(1)

=

{а: 6 КЛ

| д:р

€ Ор

для

всех

простых

дивизоров

р поля

К}

и для каждого целого идеала с в А

W(c)

=

{х

£ КЛ

I #р — 1 6 С0р для всех

р,

делящих

с},

(7(c)

=

(7(1)

П

W (с).

Так

как

A* (7(c) — открытая

подгруппа в КЛ,

содержащая

К"А£,+,

то существует конечное абелево расширение Fc

поля К,

характе­

ризуемое

равенством

Fc

=

{а

£ КАЬ

| at*.

=

а

для

всех

s 6

U(c)}.

J )

В этой связп мы отсылаем

читателя

к

книгам

Касселса

и

Фрёлпха

[1}

и А .

Вепля [10] . В основном мы

используем

здесь обозначения

последней.

2 )

Легко проверить,

что

если

К — либо

Q,

либо

мппмое

квадратичное-

§ 5.2. ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ НА ЯЗЫКЕ АДЕЛЕЙ

153

совпадает

с

символом

Артииа

I FcIK

\

частности,

если

ы а

q — простой

идеал

в поле К,

взаимно простой с с, а и^ — простой

элемент

кольца Oq

и

up = 1

для

всех

р Ф

q,

то

элемент

[и, К]

индуцирует

элемент Фробениуса группы

G a l ( F c / A )

для q.

Пусть

а — произвольная

Z-решетка

в

К,

не обязательно

стого

числа р

положим

Кр

=

A

® Q Q p

И а р =

a (g)z

Z p . Тогда

ар

будет Zp-решеткой в Кр.

Для каждого х

£ КЛ

можно

говорить

о

/^-компоненте хр

пделя х,

принадлежащей

Кр , так как Кл

=

=

К

® Q Л 1 ) .

Заметим,

что

храр является

Zp-решеткой в

Кр.

Согласно хорошо известному принципу, существует такая Z-решет­

ка Ь в К, что bp =

храр

для всех р. Будем обозначать Ь просто

через

ха.

Другими

словами,

ха — это

единственная

Z-решетка

в

К,

характеризуемая

свойством

(хар)

= храр

для всех

р.

Можно

теперь

связать

с

х

некоторый

изоморфизм

из

К/ а

на К/ха. Для этого заметим

сначала, что группа К/а канониче­

ски изоморфна прямой сумме групп Кр/ар

по всем р.

(Действи­

тельно, Q/Z — прямая

сумма групп Qj,/Zp

по всем р,

а группа К/а

изоморфиа группе

QVZ2 .) Вместе с тем умножение на хр

определяет

некоторый

изоморфизм

группы

Кр/ар на

группу Kvlxvap.

Ком­

бинируя эти изоморфизмы друг с другом

по всем р, мы получаем

некоторый изоморфизм из К/а на

К/ха.

Будем обозначать

через

xw

образ

элемента w группы

К/а при этом изоморфизме. Описан­

,, 0 0N

Кр/аР — ^

Kp/Xjflp

К/а

> К/ха

где

вертикальные стрелки — канонические вложения.

Другими

словами, если и 6 К,

то

мы берем

такой элемент v из К,

что

v =

== хри mod храр

для

всех р,

и полагаем

х-(и

mod a) =

v mod ха

Этот

элемент мы

будем

также

обозначать через хи mod ха.

Хотя

оправдать,

потому что р-компонента элемента х°(и mod а) в груп­

пе Кр/храр

— это как

раз

хри mod храр.

Следует напомнить,

что

речь

идет

о локализации

относительно

простых рациональных

чи-

J )

Символ А обозначает кольцо аделей поля Q. Через К А обозначается коль ­

цо аделей поля К.— Прим.

перев.

сел.

Однако если

а — дробный идеал, то группа К/а канонически

изоморфна прямой

сумме модулей

К^/а? по всем простым

идеа­

лам

р в поле К.

Поэтому можно

определить указанный

выше

гомоморфизм

из К/а в К/ха с помощью коммутативной диаграммы,

аналогичной

(5.2.2), с простыми идеалами р вместо простых

чисел р.

ТЕОРЕМА 5 Л1).

Пусть

К, {Е, 0),

а и £ те же,

что выше.

Пусть

о" — автоморфизм

поля С над полем К и s — такой элемент

из Кл,

что

а — [s,

К] на КаЬ.

Тогда

существует

такой

изоморфизм

Еа,

что

t(u)° =

E'(s- 1 u) для

каждого и 6 К/а,

т. е.

диаграмма

К/а

Е

s " I

— ->

! 0

коммутативна.

K/s-Ч

Еа

Очевидно, |' определяется этим свойством однозначно, если

только фиксировано £.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В

приведенной формулировке не пред­

се изоморфизма эллиптических

кривых.

Сведем

доказательство

к случаю End(i?) =

9(о я ) при

макси­

мальном

порядке Ок поля

К.

Возьмем

произвольный

дробный

г ) Первоначально (на лекциях в Принстоиском университете) эта теорема

формулировалась в терминах конечного числа

точек на

Е, как

это

сделано

в работе автора [12, теорема 4 .3]. Данная формулировка для всех точек

кривой

Е предложена А . Робертом.

§

5.3. ОСНОВНАЯ

ТЕОРЕМА

155

идеал

Ь в

К, содержащийся

в

а,

и

пусть

Et — эллиптическая

кривая

с

некоторым изоморфизмом

^ : C/b-»-

E i . Пусть X: Еу->-

->- Е — изогеиия, для

которой

диаграмма

С

> С/о —

E i

К/Ъ

E i

K/s-Ч

—-^Е°

Далее,

Кег(Я)

= £,(а/Ь), так

что

Ker(a/»)

= Кег(л)а =

^(а/Ь)1 7 =

=

^'(s^a/s^b).

Поскольку

S _ 1 D с

s_ 1 a,

можно

найти

эллипти­

ческую кривую Е' и изогению X' кривой Е\ в кривую Е',

для кото­

рых диаграмма

С

> C/s~lb —

i

d

l

>

I

г,

J * '

С

С/в-Ч—^Е'

коммутативна.

Тогда

Кег(А/) =

^[(s^a/s'H)

=

Ker(A,°).

Поэтому

можно

найти

изоморфизм

е

кривой Е'

в

Еа,

удовлетворяющий

равенству гоХ' = Ха. Полагая \' =

Е°Т], МЫ получаем

коммута­

тивную

диаграмму

С

> С/в-Ч

— -

i

* E l

"

I

\

v

№

С

> C/s^a

— E

°

Наконец,

для

произвольного

и g К

имеем

l(u

mod a)CT =

№ {Ъ±(и mod bf)

=

=

ХсЦ'^и

mod s-Ч))

=

« mod a),

что

доказывает

наше

утверждение

для

Е.

Итак, можно считать,

что

a — дробный

идеал в i f

и 0(оя) =

=

End(E).

Кроме того,

как

было

замечено в начале

доказатель­

дого ji возьмем эллиптическую кривую

Et, для которой ](Е,) =

j t

и поле определения которой совпадает с

QC/г) (см. § 4.1). Положим

Е = E i и возьмем произвольное положительное целое число т >

2,

Определим

абелево

расширение

Fm

поля К,

как в § 5.2,

заме­

нив с

на

ток.

Можно

найти такое

конечное

расширение

Галуа

L поля

К,

что

Fm

a

L , j

u

. . .,

j h

£ L и каждая точка порядка

т

на Е рациональна над L . Далее,

для

данного

автоморфизма

а

поля С над К

возьмем такой простой идеал ь $ в L , чтобы выполня­

лись следующие

условия:

(i) ограничение

автоморфизма

а на L

является

элементом

Фро-

бениуса

группы

Gal(L/K)

относительно

(И)

если р

=

^

П К,

то норма

N (р)

является

простым

рацио­

нальным

числом

и

идеал

р

неразветвлен

в

поле L ;

( i i i )

идеал

5$

не делит

6 т ;

(iv)

кривые

Ei

имеют

хорошую

редукцию

по

модулю

5)5

для

каждого

т

£

Gal(L/K);

(v)

классы

вычетов

чисел y'j, .

. ., j h по модулю

5$ попарно

раз­

личны.

Существование такого идеала s $

гарантируется

теоремой

Чебо­

тарева о плотности. Заметим, что

условия

( i i i ) — (v)

исключают

лишь конечное число простых идеалов.

Положим

р =

iV(p) .

Фактор

С/р- 1 а

изоморфен

кривой

Et

морфизм

1] из

С/р- 1 а в

Ei

и

возьмем

целый

идеал

j

поля

К,

взаимно

простой

с р

и

такой,

что

£р

= аок

при

а

6 ол -.

Так

как а с : р - 1 а

и

a p _ 1

a c z a ,

мы

получаем

коммутативную

диа­

грамму

(*)

с

изогениями

X и ц.

Очевидно,

\i<> \ = 0(a). Согласно

предложе­

нию 5.3, изогении X и ц. определены

над

некоторым

конечным

алгебраическим расширением L ' поля L .

Возьмем какой-нибудь простой идеал q в L ' , на который делит­

ся 5$, и рассмотрим

редукцию

по модулю q. Будем отмечать

редуцированные

объекты

знаком

-

(см. § 5.1). Пусть

со — голо­

морфная дифференциальная форма на Е,

рациональная над L , для

которой

со Ф 0

(см.

§

5.1.).

Тогда

со о

^

1 =

q(co

о 0(a)) =

=

q(aco) = aco

=

0,

так

как

a

£ q.

Следовательно,

изогения

р, о X в соответствии с предложением

5.1

иесепарабельна. Диаграм­

ма

(*)

показывает, что

Ker (ц.) =

r)(a - 1 a/p _ 1 a )

= rj (£~1 p~1 a/p-1 a),

и

порядок этой

подгруппы

равен

/ V ( E ) . Так как идеал £ взаимно