Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

§ 5.3.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА

157

прост с

р,

это

означает,

что изогения \х сепарабельна;

следова­

тельно, изогения X должна быть несепарабельной.

Так

как

группа

Ker (X) = £ ( р_ 1 а/а) имеет

порядок N (р) = р,

то

deg(/V) =

— &eg(X)

=

р,

и изогения

X чисто

несепарабельиа.

Обозначим через ср автоморфизм возведения в р-ю

степень

уни­

ния

в р-ю

степень

кривой

Е в кривую # ф . Согласно предложе­

нию

5.2,

существует

такой изоморфизм е кривой Et в кривую Ev,

что

еоХ

=

я. В частности, Et

и Е^ имеют один и тот же инвариант.

Поэтому ii

=

j p

— 5$ (]'а)

в силу

условия

(i).

Таким

образом,

и

j

t ,

и

;'ст

принадлежат

множеству

{ / j , . . .

. . ., /д}. Согласно

(v), ji

=

j a ,

так

что

Et

и Еа изоморфны. Сле­

довательно, в диаграмме

(*)

можно

заменить Е, на Еа

и повто­

рить предыдущие

рассуждения

(возможно, заменяя L ' и q). Так

как $ ( £ а )

=

Е®,

то

отображения Я, и я являются изогениями кри­

вой Е

в кривую

Ev,

а потому

8 — автоморфизм кривой

Е®. Так

как

сг = i d на К,

то

для

каждого

а £ Оя справедливы равенства

CU°o

в (а)0

=

(со о

Q(a))a

=

(асо)с т

= асо0 , так что пара

(Я",

8а )

нормализована в смысле § 5.1.

Поэтому в силу (5.1.2) Х° 0(a)

=

=

0a (a) о X,

так

что X ° 0(a)

=

0(а)ф

° X для

всех a £

о к .

Итак, изогения я обладает тем же

свойством я о 0(a) =

0(а)ф о я

(см. дополнение,

(7.1)),

и,

следовательно,

е о 0(а)ф =

0(а)ф о е

для

всех

а £ Од-. Согласно

(5.1.5),

е =

0(7)ф

при

некотором

у из

Оя,

а

так

как

е — автоморфизм,

то

элемент

у

должен быть

обратим

в Ок.

Положим х =

0 (у)а

о X,

|*

=

0 (у)а

о г|. Тогда

и — некото­

рая

изогения

кривой

Е в Еа

и х

=

я. Заменяя теперь А,, т] на х,

Эта диаграмма

коммутативна.

Пусть

t — такой элемент группы точек кривой

Е, что mt — 0.

Тогда $Р (£a ) =

nt = (х). Так

как числа т и р

взаимно

просты,

то

ta

=

%t в силу

(5.1.4).

Для

и. £ m _ 1 a

положим

Ui =

u mod a

и

и 2

=

и mod

p _ 1 a .

Тогда

\ [щ)а

= х (E(uj))

=

Ъ*{иг). Пусть

с — такой элемент группы Кл,

что с р

— простой

элемент

в поле

К9

и c q

=

1 для

всех

q Ф р.

Тогда

ограничение

автоморфизма

а

на

Fm

равно

Is, К]

= [с, ./£],

так

что

с =

sde

при

некотором

d

£ К*

и

е £ U {ток),

где

(игоя)

имеет

тот

же смысл, что

и

в

§ 5.2

(только

с

заменяется

на ток).

Так

как

р _ 1 а

=

с _ 1 а

=

— d'h^a,

то

диаграмму

(**)

можно

расширить

до коммутатив-

I \

i d i

i

%*

i x

(***)

С

С/р^а —

- * £ о

если подходящим образом выбрать изоморфизм

Тогда для тех

же u, Uj и и2,

что и выше,

£(и])а = l*(u2)

= l'(du mod s_ 1 a).

Имеем ?/ш 6 a,

е £ С/ (то>к)

и d = s- 1 ce_ : l . Пусть q — произволь­

ный простой идеал в К. Если q

р, то cq = 1

так что

du = s^e^u == s"1^ mod s^a^;

если же q = p,

то

w 6 a p ,

так что

du =

s-Jc^u

6 s^CpOp = s;1 (pa)p .

du mod s_ 1 a =

s - 1 u mod s - 1 a .

Поэтому для каждого u £ "&"a

£(u mod a) a

=

\'(s~xu

mod s - 1 a ) .

Возьмем теперь вместо числа т его произвольное кратное л;

тогда получится некоторый изоморфизм £" фактора C/s- 1 a

в кри­

вую

Еа,

для которого

|(у)а =

5" ( S ~ M

П Р И

любом

v б >г_ 1 а/а.

Так

как

|" о g' - 1 _ автоморфизм

кривой Z?a, то £" =

0С Т (£) ° £'

при

некоторой

единице

£ кольца

О д ,

удовлетворяющей

включе­

нию £ а с= а. Но тогда для любого у £ m._ 1 a/a

КСУ )"

= е ш ^ н * ) = е ш ^ Г ^ ) )

= Г (s"ly) = £(y)a-

так что £i> = г; для каждого

У 6 т^а/а.

Отсюда следует, что £

= 1 mod m o K . Так как

т > 2 (это предполагалось

выше), то

| = 1 и ^ = 1 и потому

£' =

|". Отсюда К У ) 3

= £'(s_ 1 y)

для каж­

дого

у б ?г- 1 а/а

при любом

кратном

я числа

/п. Таким

образом,

отображение

обладает

требуемым

свойством, и доказательство

закончено.

§ 5.4. Построение полей классов над мнимым

квадратичным

полем

Выведем из теоремы 5.4 несколько

классических

результатов

о комплексном умножении, принадлежащих Кронеккеру,

Веберу,

Такаги и Хассе. Обозначим

через

/' (а), где

а — это

Z-решетка

в К,

инвариант

эллиптической

кривой,

изоморфной фактору С/а.

§ 5.4. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЕЙ КЛАССОВ

159

автоморфизма

сг на

поле КАЬ.

Таким

образом,

(5.4.1) / (а) 6

К-аь и

1 (a)[ s ' ж ] =

7 ( s _ 1 a)

для каждой

Ъ-решетки а

в поле К и для всех s £

КА-

рассмотрим кондуктор

с

порядка

о.

Если

а

—

собственный

о-идеал,

то, согласно предложению 4

.11, существует такой элемент

р, из К,

что

рл + со =

о. Пусть

р —

рациональное

простое

число.

Если

р

]

с,

то

о р

= ( 0 я ) р ,

так

что

а р

—

главный

Op-идеал.

Если р

\

с,

то

сор

cz рор,

так

что

ц.ар

+

рор

= о р .

Тогда

Op =

р.ар

+

p(\iap

+ рор)

=

ц.ар +

р2ор.

По индукции

можно показать,

что

и о р =

\iap

+

ртор

для

каж­

таким,

чтобы

ртор

cz

ияр .

Поэтому

\хар — ор.

Таким

образом,

ар — главный

ор -идеал

для

всех

р,

и,

следовательно,

утвержде­

ние (5.4.2)

доказано.

ТЕОРЕМА

5.5.

Пусть

К,

Е,

а и

£

те же,

что

в теореме

5.4,

и hE — функция

на кривой

Е,

определенная

в §

4.5.

Пусть

и —

любой

элемент

из

К/а и

W

=

{s

6 К A

I sa

=

a,

su

=

и].

Предположим,

что

кривая

Е принадлежит

классу

Тогда

поле

К{] Е , hE,

(l(u))

является

подполем

в

Каъ,

соответствующим

подгруппе

KXW

группы

К А -

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим,

что

W — открытая

под­

группа

в

К А ,

содержащая К^.

Пусть F

обозначает подполе в

КАЬ,

соответствующее

группе

K*W,

и

а £ A u t ( C / & ) .

Выберем

такой

идель s 6 КЛ,

что

ст =

[s,

К] на КАЬ,

и изоморфизм

как

в тео­

реме 5.4. Положим t =

£(u).

(I)

Предположим, что

а — тождественное

отображение

на F.

Тогда

можно

выбрать

в W такой элемент s,

что sa =

а. Следова­

тельно, кривая Е° изоморфна кривой Е, так

что

/в =

j Е .

Далее,

можно найти такой изоморфизм е из Еа

в Е,

что

eo £ ' =

|. В

силу

(4.5.4)

hE(sf)

= hEa(ta)

=

hE(t)°.

Так

как

sta

=

e(£)u)f f ) =

= e(£'(s- 1 u))

=

l(u)

=

t,

то

hE(t)

= hlE(t)a.

Это

означает,

что

о — тождественное

отображение на поле КЦЕ,

Kbit))

и,

следова­

тельно,

K(jE,

hE(t))czzF.

( I I )

Обратно,

предположим,

что

а = i d на

K{j Е ,

hsit)).

Тогда

j(E)

=

j{E)a

=

j{Ea),

так что существует изоморфизм б

кривой

Еа

в

кривую

Е. Согласно предложению

4.8,

существует

такой

элемент

и. группы Кх,

что

u.s_ 1 a

= а. Выбирая

б

подходя­

щим образом,

мы получаем

коммутативную диаграмму

С

> С/а

-±->Е

Согласно (4.5.4), hE(6f)

=

tiEa{f)

=

WE{tf

=

tiE(t). В

силу

(4.5.3)

существует

такой

элемент

£

поля

К,

что £а =

а и

6(£)б£с т =

t.

С другой стороны, б£а =

6(£(u)a )

=

6(H'(s_ 1 u)) =

£ (us - 1 u),

поэтому

t,{\i)

= £(£us_ 1 ii).

Полагая

£ u s _ 1

=

s',

видим,

что

s'a

=

а и s'u —

=

и;

следовательно, s'

£ W

и

s £

i P H 7 .

Поэтому сг =

i d

на

F .

Это

значит, что Fcz K(jЕ,

hsit)),

и

доказательство

закончено.

СЛЕДСТВИЕ 5.6. Пусть

Е — эллиптическая

кривая,

принадлежа­

щая классу %i. Тогда расширение

КаЪ

порождается

над

К

инва­

риантом j Е

и значениями h^t)

для

всех

точек

t конечного

порядка

на

Е.

подгруппы

W,

введенные в

теореме

5.5, берутся

для

всевозмож­

ных

и.

ТЕОРЕМА

5.7.

Пусть

о — порядок

поля

К

и а —

собственный

о-идеал. Тогда справедливы

следующие

утверждения:

(i) группа

Gal(K(j(a)/K)

изоморфна

группе

всех

классов

собст­

венных о-идеалов относительно

соответствия

а н-*• Ъ, при котором

Да)0

=

Я ь - М ;

=

QJ;

(и) щ д а ) ) :

к]

mm-

( i i i )

если

а ±,

. . .,

ап —

представители

классов

собственных

о-идеалов,

то

j(ai),

. . ., }{ап)

составляют

полное

множество

сопряженных

элементов

для

]'(а)

над

полем

Q и над

полем

К;

(iv)

если

о =

Ок и,

следовательно,

а — дробный

идеал

в

К,

то

K(j(a))

— максимальное

неразветвленное

абелево

расширение

поля

К

it

j(a)a

=

7( 0 - 1 а) для

а

= ^£i£Ml/^ j ;

где

j , —

произволь­

ный

дробный

идеал

поля

К.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Сохраняя

обозначения

теоремы

5.5,

положим и =

0

(или

вообще

не будем обращать иа u

внимания).

Тогда W =

П ° Р - В

силу

(5.4.2)

легко

видеть,

что

отображе-

X

р

ние

KA^si—*•

so

дает

изоморфизм

группы

K*AlK*W

на

группу