Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

§ 5.4. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЕЙ КЛАССОВ

161

Если

о = о к ,

то

поле

классов

F

над

К,

соответствующее

группе

KXW,

является

максимальным

неразветвлеииым

абелевым

расширением

поля

К.

Далее,

если

Ь =

soK,

ТО [S, К]

—

(—]

на F, и (iv) доказано.

Утверждение

( i i i ) с

основным

полем

К

следует

из

(i) . Пусть

Е — эллиптическая

кривая,

изоморфная

фактору

С/а,

и

пусть

c r 6 A u t ( C / Q ) .

Тогда кольцо

End(£C T ) изоморфно кольцу

End(£')

и,

следовательно,

кольцу

о-

Согласно

предложению 4.8,

кривая

Еа

изоморфна фактору

C/av

при

некотором

v.

Поэтому

]'{а)1

=

=

j{Ea)

=

;( a v) -

Это

говорит

о

том,

что

tQ(/(a)) : Q] ^

п

=

=

[K(j(a))

: К].

Так

как

противоположное

неравенство

очевидно,

мы получаем (ii) и ( i i i ) над полем

Q.

Поскольку

коэффициенты

разложения

Фурье

функции

j(z)

(см. (4.6.1) и

теорему

2.9)

рациональны,

то

/(—z) = j(z)

для

всех

z

б

Поэтому,

если

a = Z©i

+

Za>2

и

о^/сог 6

то

а

=

=

Z(—

+

Zco2 ,

так

что

j{a)

=

;'(— о^/юг)

= / ( o V a 2 )

=

]'(а) •

Отсюда

следует,

что

j(a)

— вещественное

число тогда

и

только

тогда,

когда

a n a

принадлежат

одному

и тому

же

классу

собст­

венных о-идеалов. Используя (5.4.2), легко показать,

что

aa —

главный о-идеал. Поэтому

(5.4.3)

если о —

порядок

в

поле

К

и

а — собственный

о-идеал,

то число j(a)

вещественно

тогда

и только

тогда, когда а2

—

главный

о-идеал.

УпражиЕНИЕ 5.8. Пусть

о

и а те же, что выше. Докажите, что

расширение

K(J(a))

нормально

над

Q, и изучите строение

группы

эквивалентны:

(i)

Q(/(a)) — нормальное расширение

поля

Q;

(ii) поле

Q(;(a))

вполне

вещественно;

( i i i ) группу

всех

классов

собственных о-идеалов можно представить

в

виде

произведения

циклических групп порядка

2.

УпражнЕниЕ

5.9.

Пусть

F'

— подполе,

порожденное

над

К

значениями j(z)

для

всех

таких

z £ К,

что

Im(z) > . 0.

Докажите,

что F' — подполе поля КаЬ,

соответствующее

группе

С&К*

К^.

(Заметьте,

что

Ojt/£"/C

=

n z * i £ x К ^ . )

v

Если предполагать

это условие выполненным, то при [К : QJ

=

=

2п представление Ф

есть прямая сумма таких п

изоморфизмов

ф!,

. . .,

Ф„ поля

К в поле

С что

( 5 . 5 . 2 ) множеством

{ф!,

. . .,

ф„,

ф ^ ,

. . .,

ф„р}

исчерпываются

все

изоморфизмы

поля

К

в

С;

другими

словами, ф 4 , . . .

. . ., ф„ соответствуют

всем различным

архимедовым

нор­

мированиям

поля

К.

п

Мы будем

писать Ф =

2

Ф« и

71

i = i

71

del Ф (ж) =

[ ]

х \

t r Ф (х)

= 2 x*i

(х 6 К) .

1 =

1

7=1

Построим другой СМ-тип (К*,

Ф * ) из данного СМ-типа (К,

Ф ) .

Пусть сначала К* — поле, порожденное следами

t r Ф(х) над

Q

для всех

х

£ К.

Тогда

в

силу

предложения

5 . 1 1

для

любого

а 6

6 A u t ( Q )

1гФ (х)°р

=

2

^

а р =

2

х™1* =

2

х**ра

=

1тФ(х)ра,

i = i

i = i

t = i

так

что стр =

ра на

К*,

т. е. К*

удовлетворяет

условию ( 2 ) пред­

ложения

5 . 1 1 . Так

как

t r Ф(х)р

= t r Ф(ЯР),

ТО отображение

р

индуцирует некоторый автоморфизм поля К*.

Если р =

i d на

К*,

то

tr Ф(х)

— t r Ф(а;)р

для

всех

х

£ К,

так

что представление

Ф

оказывается

эквивалентным

представлению Ф Р ; мы пришли к про­

тиворечию.

Итак,

согласно

предложению

5 . 1 1 , К*

является

СМ-полем.

Пусть F — наименьшее расширение Галуа поля Q, содержащее

К,

и пусть

G =

Gal(^/Q). Обозначим

через

Н

(через

Н*)

подгруппу

в G, соответствующую

полю К (полю К*).

Продолжим ф г до неко­

торого элемента

группы

G и обозначим продолжение также через

Положим

S =

71

Тогда легко

видеть,

что

ф ; .

U

# ф £ .

i = i

Н*

=

{yeG\Sy

=

S}.

Поэтому

S'1 = {ст- 1

| о* £ S}

представляет

собой

объединение

смежных

классов

относительно Н*.

Таким образом,

<S_ 1

= U

;'=i

§ 5.5. КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ АБЕЛЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ 165

рассматривать

пару (А, 0) при

некотором фиксированном изомор­

физме В поля

К в кольцо EnclQ

(А), поскольку (i) может существо­

поля К

в единичный элемент кольца

E n d Q (А)

(см.

Шимура и Та-

нияма

[ 1 , стр. 39, предложение 1)].

Положим

Ф =

Ф 4 о 0,

Тогда

Ф является Q-линейным изоморфизмом поля К в

алгебру

М„(С)

и Ф(1)

= 1 п . Поэтому можно найти га таких изоморфизмов ф ь . . .

сумме. Пару (А,

0) назовем парой типа

(К,

Ф)

или (К,

{фг}).

Из (5.5.6)

видно,

что

Ф

удовлетворяет

условию

(5.5.1).

В силу (5.5.5) можно рассматривать QL как .ЙГ-модуль относи­

тельно Ф. Так как

[ Q L : Q] = 2га = [К

: Q], то можно найти

такой

элемент w

пространства

С", что QL =

Ф(К)м.

Изменяя систему

координат

в пространстве

С", можно считать,

что

(5.5.7)

Ф ( а )

(аеК).

Если w=

, то

Wn

Щ

I

и

полагая

(5.5.8)

аФ 1

и [а)

=

(аеК),

видим, что и есть изоморфизм поля К на QL и его можно продол­

жить до некоторого

R-лииейного изоморфизма пространства КЦ =

= К

®

Q R на

пространство R L =

Сп ; это последнее отображе­

ние

мы

обозначим

также

через

и.

Положим а = и~1 (1,).|1 Тогда

получим коммутативную диаграмму

0-+a-+KR^-KR/a-

• 0

(точная последовательность)

(5.5.9)

I

Iй

I