Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 166
Скачиваний: 0
166 ГЛ. 5. АБЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ МНИМЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЕЙ
Другими словами, многообразие А получается из фактора KR/a при некоторой Z-решетке а поля К, комплексная структура иа А определяется через и, а отображение 0: К-*- EndQ (/1) получается из (5.5.7). Отсюда, в частности, следует
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.13. Любые две пары (А, 0) одного и того же типа
(К, |
Ф) изогенны. |
|
|
|
|
|
|
Возьмем |
теперь |
какую-либо |
поляризацию |
% на А и рассмот |
|||
рим |
тропку |
(^4, 'ё, |
0). |
Пусть |
у |
обозначает |
инволюцию кольца |
Endq ( А ) , определенную поляризацией % (см. |
дополнение, п. 12). |
||||||
Подчиним тройку |
(А, |
%, 0) |
условию |
|
|||
(5.5.10) |
|
|
В(К)У = |
в(К). |
|
Оно выполнено, если многообразие А просто, так как в этом случае
0 (К) = Endq (А) (см. Шимура |
и Таиияма |
[ 1 , стр. |
42, |
предложе |
||
ние 6]). Можно показать, что еслп условие |
(5.5.10) |
выполнено, то |
||||
К является СМ-полем. так что |
пара (К, |
Ф) |
является |
СМ-типом. |
||
Из условия |
(5.5.10) следует, что |
|
|
|
|
|
(5.5.11) |
0(аР) = 6(o)v |
для каждого |
а 6 |
К. |
|
Возьмем теперь основной полярный дивизор иа Й и рассмотрим рпманову форму Е(х, у) на Сп относительно (5.5.4) (см. дополне ние пп. 11—13). Тогда (5.5.11) эквивалентно равенству
(5.5.12) |
|
|
|
Е (Ф {а)х, у) |
= |
Е{х, |
Ф (о") у). |
|
|
|
||||||||
Положим |
/(а) |
= Е(и(а), |
и(1)) |
для |
а £ К. |
Тогда |
/ |
будет Q-линей- |
||||||||||
ным отображением нз К |
в Q, так что f(a) |
= |
ТГ^/Q (£а) при некото |
|||||||||||||||
ром элементе |
|
£ из К. |
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Е(и(а), |
и(Ь)) |
= |
Е(и(а), |
Ф(Ь)и(1)) |
= |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
= |
Е{Ф(Ье)и{а), и(1)) = |
Е{и{Ь'а), |
и{1)), |
|
||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.5.13) |
|
Е(и(а), |
|
и{Ъ)) |
= ТтК/ч (£аЬР) |
(а |
6 К, |
|
Ъ 6 К). |
|
||||||||
Так как форма Е знакопеременная, то |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(5.5.14) |
|
|
|
|
|
|
£ р |
- |
— £. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Теперь можно показать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(5.5.15) |
|
|
Е(z, |
и>) = |
п |
£ " 4 ^ |
для |
|
г6С71, |
u;£С", |
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
где zv |
и |
wv |
— компоненты векторов z и w соответственно. |
Дей |
||||||||||||||
ствительно, |
(5.5.13) означает, что (5.5.15) верно |
для z, w £ w(if) . |
||||||||||||||||
Так как |
множество |
и(К) |
плотно |
в |
С", |
то |
(5.5.15) |
верно для z, w £ |
||||||||||
б С". |
Будучи |
римановой |
формой |
положительного |
невырожденного |
|||||||||||||
дивизора, функция Е обладает тем свойством, что форма |
E(z,Y—iw) |
|||||||||||||||||
симметрична |
|
и положительно |
определена. |
Это |
имеет |
место |
тогда |
§ 5.5. КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ |
АБЕЛЕВЫХ |
МНОГООБРАЗИЙ |
167 |
|||||
и только |
тогда, когда |
|
|
|
|
|
|
|
(5.5.16) |
1 ш ( ^ ) |
> 0 |
для |
v |
= |
1, . . ., |
п. |
|
Итак, из |
данной тройки |
(А, |
%, |
0) |
мы |
получили СМ-тип (К, |
Ф), |
некоторую Z-решетку а |
в К и некоторый элемент |
£ поля К, |
удов |
||||
летворяющий соотношениям (5.5.14) и (5.5.16). |
|
|
|
||||
Обратно, по этим |
данным можно построить тройку |
(A, |
%, 0). |
||||
В самом деле, пусть (К, |
Ф) — некоторый СМ-тип, |
а а |
есть Z-ре |
||||
шетка в К. Определим и с помощью (5.5.8) |
и построим |
комплекс |
|||||
ный тор |
/1 = C n / L |
так, |
чтобы диаграмма |
(5.5.9) |
была |
коммута |
|
тивной. |
Определим 0(a) |
для а 6 К равенством 0(a) о £ = |
| |
о ф ( а ) . |
Элемент £ возьмем удовлетворяющим соотношениям (5.5.14) и (5.5.16) . (Существование такого элемента £ очевидно.) Форму Е определим с помощью (5.5.15). Легко проверить, что Е — риманова форма, так что А обладает структурой абелева многообразия со специфической поляризацией. Мы показали также, что класс
изоморфизма |
тройки |
(А, |
|
'ё, |
0) |
полностью |
определяется набором |
|||||||||
(К, |
Ф; |
а, £). Говорят, |
что |
такая тройка |
(А, |
|
|
0) |
имеет |
тип |
||||||
(К, |
Ф; а, £) (относительно |
£). |
Заметим, что пара |
(а, £) |
зависит от |
|||||||||||
выбора отображения |
Е. из |
|
(5.5.9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
В. |
Основная |
|
теорема |
|
|
|
|
|
|||
|
Пусть тройка (А, |
'ё, 0) |
будет той же, что и выше, и а g Aut(C) . |
|||||||||||||
Тогда |
Сст естественным |
образом |
|
определяется |
как |
поляризация |
||||||||||
на |
А°. |
Определим |
отображение |
Qa: КEndq(Aa) |
|
|
равенством |
|||||||||
0° (а) — 0(a)0 |
для |
a 6 К, |
0(a) 6 End(^4). |
По |
определению, |
если |
||||||||||
(А, |
0) имеет тип (К, |
{cpv }), то можно найти п таких линейно неза |
||||||||||||||
висимых голоморфпых дифференциальных |
форм |
со j , |
. . ., со„ сте |
|||||||||||||
пени 1 на А, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
covo |
0(a) = |
a4 ^ cov |
|
(a £ К, |
0(a) £ ЕпсЦЛ), |
v |
= |
1, |
. . ., |
п). |
||||||
Далее, |
со"°° |
9а ('а) |
= |
аф ^а |
|
со", |
так |
что |
|
|
|
|
|
|
(5.5.17) пара (Аа, 0СТ) имеет тип (К, Фа).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.14. Пусть (К*, Ф*) — отражение пары (К, Ф).
Если а = i d на К*, то пара (Аа, 0е ) имеет тип (К, Ф) и изогенна паре (А, 0).
Это немедленно следует из определения отражения К* и пред ложения 5.13.
Связь между тройкой (.4, %, 0) и тройкой (Ас, %°', 0°) можно теперь описать с помощью следующей основной теоремы, обоб
щающей теорему |
5.4. |
|
|
|
ТЕОРЕМА 5.15. Пусть |
(К, Ф) — некоторый СМ-тип, |
{К*, |
Ф*) — |
|
отражение пары |
(К, |
Ф), a — некоторая Z-решетка |
в К |
и £ — |
168 ГЛ. 5. АБЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ МНИМЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЕЙ
элемент из К, |
удовлетворяющий |
соотношениям |
(5.5.14) |
и (5.5.16). |
||||||||||||||
Пусть |
(А, |
%, |
0) — тройка |
типа |
(К, |
Ф; а , £), |
и — отображение, |
|||||||||||
определенное |
равенством |
(5.5.8), |
| — |
такое |
отображение, |
что |
||||||||||||
диаграмма |
(5.5.9) |
коммутативна, |
и |
£ соответствует |
поляризации |
|||||||||||||
% |
относительно |
|
|. |
Наконец, |
пусть |
а — произвольный |
элемент |
|||||||||||
группы |
A u t ( C / / f * ) |
|
us |
— иделъ |
из |
К*£, для которого |
а = |
[s, |
К*] |
|||||||||
на |
Каь- |
Определим |
отображение |
г\ равенством |
(5.5.3). |
Тогда |
суще |
|||||||||||
ствует |
точная |
последовательность |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0-+- ufote)-1 а)-»- |
С" |
Аа-+ |
0, |
|
|
|
||||||||
обладающая |
следующими |
свойствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(i) тройка (А°, %а, 0а ) имеет |
тип |
[К, |
Ф; |
r j ( s ) - 1 a , |
£') |
относи |
|||||||||||
тельно |
£ ', |
где |
£' = |
j\T(il(s))£ |
(по |
поводу символа il(s) |
см. |
§ |
5.2); |
|||||||||
|
(ii) |
%(и(а))а |
= |
g'(u(ii(s)- 1 a)) для всея |
a 6 |
# / a . |
|
|
|
|||||||||
|
Доказательство |
|
при несколько |
более общей постановке |
вопроса |
дается в работе автора [12, 4.3]. Если читатель знаком с результа тами работы Шимуры и Таниямы [1], и в частности с разложением на простые идеалы эндоморфизма Фробеииуса (Шимура и Танияма [ 1 , § 13, теорема 1]), то он сможет провести доказательство в том же духе, как это было сделано для теоремы 5.4.
В теореме 5.15 не налагаются никакие условия иа поле опреде ления тройки (А, её, 0). В действительности существует некоторая модель для (А, Ч§, 0), определенная над полем алгебраических чисел; см. Шимура и Танияма [ 1 , стр. 109, предложение 26].
Пусть ti, . . ., tr — точки многообразия А (конечного или бесконечного порядка). Можно доказать, что существует подполе к поля С, которое однозначным образом характеризуется следующим условием:
(5.5.18) автоморфизм а поля С |
тождествен |
на |
к |
тогда |
и только |
|||
тогда, |
когда существует |
такой |
изоморфизм |
X |
многообразия |
|||
А в |
многообразие Аа, |
что |
ХС&) = |
%а, |
Xtt = |
t° |
для i = |
=1, . . ., г и X о 0(a) = Qa(a) ° X для всех а £ К. (Такое
|
отображение |
|
X |
называется |
изоморфизмом |
|
объекта |
||||||||||||
|
|
(А, |
|
0; |
t u |
. . ., |
tT) |
в |
объект |
(Аа, |
%а, |
0°; |
tf, |
. . ., |
Щ).} |
||||
|
Назовем к |
полем |
модулей |
объекта |
(А, |
%, |
0, tt, |
. . ., |
tT). |
(По по |
|||||||||
воду доказательства существования поля к см. работы |
автора [ 4 ] г |
||||||||||||||||||
[7, |
I I ] . ) С помощью |
этого понятия из теоремы |
5.15 легко вывести |
||||||||||||||||
|
СЛЕДСТВИЕ |
5.16. |
Сохраняя |
обозначения |
и |
предположения |
теоре |
||||||||||||
мы |
5.14, |
предположим, |
что vit |
. . ., |
vr — элементы |
фактора |
К/а. |
||||||||||||
и Т — множество |
всех |
иделей |
s из К^*, |
для |
которых |
|
|
|
|
||||||||||
|
qqPN(il(s)) |
= |
1, |
|
дф) |
а |
= |
a, |
qr\{s)Vi |
= |
vt |
(i |
= |
1, |
. . ., |
г) |
|||
при |
некотором |
q £ К". |
Тогда |
|
поле |
модулей |
объекта |
(А, |
'ё, 0; |
||||||||||
^(u(vi)), |
. . ., |
|(u(yr ))) является |
подполем |
в К%ъ, |
|
соответствующим |
|||||||||||||
подгруппе |
Т группы |
К*д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 5.5. КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ АБЕЛЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ |
16& |
||||||||||||||
|
Пусть ку — поле |
модулей |
тройки (А, |
%, |
0) и G — группа |
всех |
|||||||||||
автоморфизмов |
объекта |
(А, |
9$, 0). Группа |
G |
изоморфна |
группе |
|||||||||||
всех |
единиц поля |
К, и |
можно |
построить фактормногообразпе W |
|||||||||||||
многообразия А |
по группе G и проектирование р: А |
W, |
удовле |
||||||||||||||
творяющие |
условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(i) |
W |
определено |
над |
кх; |
|
|
|
|
|
|
|
|
0) |
|||
|
(И) если |
а £ Aut(C//Ci) |
и |
f — изоморфизм |
тройки |
(А, <ё, |
|||||||||||
в |
тройку |
(Аа, |
%р, |
0С Т ), |
то |
р |
= ра |
о /. |
(Заметим, что |
такой |
изо |
||||||
морфизм / существует для каждого |
о £ Aut(C/A1 ) в силу определе |
||||||||||||||||
ния поля |
модулей.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Тогда |
легко |
показать, |
|
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(5.5.19) для |
каждой |
точки |
t многообразия |
А |
поле модулей |
объекта |
|||||||||||
|
|
{А, |
%, 0; t) равно |
|
ку (р |
(^)). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Быть может, стоит заметить, что если многообразие А |
просто, |
|||||||||||||||
то |
группа |
G совпадает с |
группой |
автоморфизмов пары |
(А, |
%). |
|||||||||||
|
Если |
А |
— эллиптическая |
|
кривая |
Е, |
то |
легко |
видеть, |
что |
|||||||
&i |
= |
Q O E ) |
Й G = Aut(2?). Таким образом, отображение р |
является |
|||||||||||||
обобщением |
функций hlE, |
и, |
следовательно, |
утверждение |
(5.5.19) |
вместе со следствием5.16 дает обобщение теоремы 5.5. Еще остался вопрос об отыскании обобщения функции j(z) на многомерный случай. Ответ на него дается следующим образом.
Поляризованное абелево многообразие |
(А, |
%) определяет |
неко |
||||
торую точку z на верхнем полупространстве |
Зигеля $Qn х ) степени |
||||||
п по модулю некоторой дискретной подгруппы Г группы Sp(n, |
R), |
||||||
соизмеримой с группой |
S\i(n, Z). (Группа |
Г зависит от типа |
поля |
||||
ризации |
Существует |
такое Г-инвариантное голоморфное |
отоб |
||||
ражение |
ф из |
в комплексное проективное пространство, |
что |
||||
Q ^ ( z ) ) — поле |
модулей |
многообразия (^4. Щ для любого |
(А, |
Щ |
|||
при поляризации %, тип которой определяет группу Г. Аналогич |
ный результат можно сформулировать с помощью модулярной
группы |
Гильберта |
вместо |
модулярной |
группы |
Зигеля. |
Детали |
|||||||||||||
см. в работах |
автора |
[9], [10], [12]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Наконец, |
сделаем |
несколько |
замечаний о связи между |
полями |
|||||||||||||||
модулей тройки (А, |
её, 0) |
и тройки |
|
(А, |
'ё, 0'), где 0' — ограниче |
||||||||||||||
ние отображения |
0 на произвольное подполе F поля К. Поле моду |
||||||||||||||||||
лей |
тройки |
|
(A, |
4S, |
0') |
— это |
единственное |
подполе к |
поля |
С, |
|||||||||
удовлетворяющее |
условию (5.5.18) |
при |
следующей модификации: |
||||||||||||||||
точки |
tt не |
рассматриваются, а л. о 0(a) = |
0СТ (а) о X |
выполняется |
|||||||||||||||
только |
для |
а £ F. |
Если F |
= |
Q , то |
к —поле |
модулей |
пары (А, |
%). |
||||||||||
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.17. Пусть |
К, |
К* |
и (А, |
|
0) те же, что в |
тео |
|||||||||||||
реме |
5.15, |
F — подполе |
в |
К, |
0' |
— |
ограничение |
отображения |
0 |
||||||||||
на F и к0 — поле |
модулей |
тройки |
(A, |
IS, в'). |
Предположим, |
что |
|||||||||||||
абелево |
многообразие |
|
А просто. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
-1) Напомним, что § „ состоит из комплексных симметрических матриц порядка п с положительно определенной мнимой частью . — Прим. ред.