Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

(1)

к0К*

— поле модулей

тройки

(А,

(ё,

0);

(2)

К*

— нормальное

расширение

поля

/с0 (~|

К*;

(3)

к0К*

— нормальное

расширение

поля

/с0 ;

(4)

группа Ga\(k0K*/k0)

изоморфна

некоторой

подгруппе

груп­

пы

Aat(K/F);

(5)

поле

к0

содержит

наименьшее

подполе

поля

К*,

над

кото­

рым К*

нормально.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

о

£ Aut(C) . Если

существует

изоморфизм

тройки (/1, 4S, 8)

в тройку

(АА,

%А,

0°),

то

в

силу

(5.5.17)

представление

Ф а

эквивалентно

представлению

Ф

и,

•следовательно,

а =

i d на К*. Это значит, что поле к0К*

содержит­

ся в поле

модулей

тройки (^4, Ч§, 0).

Пусть т б Aut(C/A;0 ). Тогда

существует некоторый изоморфизм /

тройки

(А,

%,

0') в тройку

(АХ,

%Х ,

0' х ) .

Так как абелево

много­

образие А

просто,

то

в(К)

= E n d Q

(^4)

(Шимура

и

Танияма

[ 1 ,

элемент

р

группы

Aut(K/F),

что

0Т (а)

о / =

/ о 0 (ам-)

для

всех

а б К. Но тогда Ф(а)т

и Ф(а^) имеют одно и то же множество харак­

теристических

корней,

так

что

набор

{cpiT,

. . .,

срп т} в

целом

совпадает

с

набором

{u-cpt,

. . .,

|Хфп}. Следовательно,

( 2 а Ф 0

Т = =

i

=

2

а ^ ф £

для

всех

а £ К,

откуда

К*Т

=

К*.

Итак,

(3)

доказано.

г

{х 6 К*

| ха

для

всех

а £ Aut(.K"*)},

то

т =

i d

Еслп

М =

=

х

на

М

для

любого

т £ Aut(C/7e0 ),

так

что

М cz k0.

Этим

доказаны

(5)

и

(2).

Пусть

теперь

т =

i d

на

К*.

Тогда

набор

{p,cpi,

. . .,

u.cpn}

в

целом

совпадает

с

набором

{ф!,

. . .,

ф п } . Пусть

F,

G, Н,

Н*

и S те же, что в

определении

отражения

(К*,

Ф*)

в разделе

А.

Будем

обозначать элементы

группы G, совпадающие с р,, ц>и . . .

. . .,

фп ,

теми

же

буквами. Тогда

\лН — H[i

н | i 5 =

р-#фг

=

=

у

Ярфг

=

у Яф, =

В

книге

Шимуры

и

г

[ 1 ,

S .

Таииямы

§

i

стр.

i

26] показано,

что

р, 6 Н, откуда

8.2,

69, предложение

\х =

=

i d

на

К;

следовательно,

/ — изоморфизм

тройки

(А,

0)

в

тройку

(АХ,

ЧРХ, 0т ).

ЭТО значит, что

композит

к0К*

содержит

поле

модулей тройки (^4, "t?, 0). Утверждение (1) доказано.

Мы уже видели, что т =

i d на к0К*

тогда и только тогда,

когда

:|х =

i d на К.

Поэтому, сопоставляя р, с т, мы получаем изоморфизм

группы

Gal(k0K*/k0)

в

группу

Aut(K/F).

Q] =

4, то

К*

Например, если поле К

нормально над Q и [К:

Шимура и Танияма [ 1 , § 8.4,

(2), с), стр. 74). Поэтому, беря в этом

случае в качестве F поле Q, мы получаем в силу (5), что поле моду­

лей

пары (A, 4S) содержит

вещественное квадратичное подполе

.поля

К*.

(6.1.1)

EL: z/2 = 4z3 - g2(L)x

-

g3(L),

[а Lw2 _ ; ь

) ' г ( ° Ы ;

ь ) ) -

где а £

Q2 , и, обратно, всякая точка

имеет

конечный

порядок

при

любом

а 6 Q2 - В данном случае мы

рассматриваем а

как вектор-

строку. В силу определения

функции

мы видим, что g> [а

;

\ L f f l 2j

t O i , c o 2 ^

представляет собой

однородную

функцию

степени — 2

/• w - л м

( « ы ; + ) .

лл _ 8з(щ, ta2) m / „ г con .

,, \3

( * = - ^ € € ; a e Q 2 ,

a £ Z * ) .

172

ГЛ. 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ

— 1 =

2 7 - ^ / Д ,

так что

(6.1.2)

Ш

=

27(/(z) -

l ) - x / a ( z ) 2 ,

fa(z)

=

27/(2)-ЧЯ*)

-

l ) " 1 / a ( 2 ) 3 .

Функции / а и fa

играют скорее вспомогательную роль и исполь­

зуются лишь в § 6.8.

Пусть

Тогда

v № ,

[ : : ] = т [ : ; ] ,

ч - . ' .

~соГ

"со;-

Z ' = Y ( Z ) ,

ZCO1 -}-ZCO2 = ZCOJ-1 -ZOJ2 .

=

a

(6.1.4)

a = ±

Ь mod Z 2 =>/*==/£;

(6.1.5)

fa = fb<^>a

= ± b m o d Z 2 .

Из (6.1.3)

и (6.1.4)

вытекает,

что

(6.1.6) если Na £ Z 2 , mo / j ° 7

= /„

для

всея

7 6 Г у

{ ± 1 } .

Поэтому,

ДЛЯ того

чтобы

убедиться

в

том,

что fa

при а £ 7 V - 1 Z 2

ложения

2.7 и формулы (6.1.2) показать,

что / а — алгебраический

над С (/)

элемент. В действительности же

мы установим

в теореме

6.6, что

fa — алгебраический над полем

Q(/) элемент.

(Коэффи­

циенты

Фурье функции fa будут явно описаны в доказательстве

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.1. Для

каждого

положительного

целого

числа

N поле С (у, / 0 |

а 6 N~XZ2,

a (J Z2 )

является полем

всех модулярных

функций

уровня

N.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

$Л г

— поле всех

модулярных

функций уровня N.

Тогда

С(/)

с=

С(/,

/ в

| а е N~4\

а £ Z2 ) с=

fijY.

Таким образом,

$ N

является

расширением Галуа поля С(/') с груп­

пой Галуа Г У Г Л г - { + 1 } . Поэтому

для

доказательства

достаточно

установить, что если 7 £ Г4

и faoy

=

fa

для всех

a£N~1Zi,

a $ Z 2 ,

то 7 б r j V

• { + 1 }•

Но

это

немедленно

следует из

формул

(6.1.3),

(6.1.5) и

следующей леммы.

174

ГЛ.

6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ

просто

с

N

и

ограничение

о

на

FN

соответствует

элементу

± 8 mod (/V). Очевидно,

что

(6.1.9)

h(at±

+

bt2)a

=

Ца'Ь

+

b't2),

если

(а

6)В

= (а'

Ь').

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

6.3. Б

прежних

обозначениях

справедливы

следую­

щие

утверждения:

(1)

поле Fx

содержит

первообразный

корень

N-й

степени

из

еди­

ницы, скажем число £;

(2)

если

элемент

т

группы

G&\(FN/Q(i Е))

соответствует

эле­

менту

а группы

GL 2 (Z/iVZ),

то

t?

=

£йе«а)

(заметим,

что

сим­

вол £det(«) имеет

смысл);

3)

если

X — некоторая

изогения

кривой

Е на

эллиптическую

кривую

Е', для которой Кег(л-) a Qn,

то

j(E')

£FN.

Кроме того,

если End(£) = Z,

то

j(E')a

= j(E')

для

о

6 A u t ( C / Q ( b ) )

тогда и

только

тогда,

когда

Кег(Я)°

=

Кег(Л).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

символ

eN(s,

t),

вве­

полем

Q ( / E ) определим

матрицу

В =

, как выше. Положим

t, = eN(ti, t2).

В силу

предложения

4.2

£а

=

eN(t°,

Щ) =

eN(pU

+

qt2,

rt, +

st2) =

=

eN(tu

t2r~*r

=

a для

любых

и

и v из

Z справедливо

равенство

eN(tt,

utx

+ ui 2 ) = eN(tu

t2)v,

так что в силу утверждения

(5) предложения 4.2

число £, = eN(ty, t2)

Если а

=

i d на поле FN,

то В =

± 1 mod(/V),

так что £ а = £,. Это

говорит

о

том, что

£ 6 FN;

следовательно, верны утверждения (1)

и (2).

Пусть X и Е'

те же, что в (3), и а — снова автоморфизм поля С

надполем QO'E). Тогда Ха является изогеиией кривой Е па кривую

Е°-

Если Кег(л.)а =

Кег(Я.), то кривая Еа

изоморфна

кривой

Е',

так

что j(E')a

=

j(E'). Последнее

верно, в частности,

тогда когда

о =

i d на

FN,

так

как

в

этом

случае

Vs

=

± £ для t 6 QN .

Тем

самым установлено включение j(E')

£ FN.

Обратно, предположим,

что

j(E')a

= ](Е')

и End(£) = Z. Тогда

существует

некоторый

изоморфизм

IX кривой Е'

на Е а . Заметим,

что

ц ° X ш Ха являются

элементами группы Hom(Z?, Е а) одной и той же степени

(ср. § 5.1).

Так как Нот(.Е, Еа)

изоморфна

Z,

то

\х ° X = ±Ха,

так

что

Кег(Я,) = Кег(Ха)

=

Ker(A,)f f . Доказательство

утверждения (3)

за­

кончено.