Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

§ 6.2. ПОЛЕ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ УРОВНЯ N

175

§

6.2.. Поле модулярных функций: уровня JY,

рациональных

над полем Q

(e2ni^N)

Мы

собираемся

связать

воедино

результаты

разделов А

и

Б

с помощью следующих

лемм.

ЛЕмма

6.4. Пусть

L = Za^ -\- Zco2 и

Е — элемент множества

Ъ,

изоморфный тору C/L (см. §

4.5).

Тогда

для любого изоморфизма

|

пространства

C/L

на

Е

справедливо

равенство

г)

hh

1[а

©J

=

ГаЫщ)

( a 6 Q 2 ,

a $ Z 2 ;

t = l,

2, 3).

.f f l 2j

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

кривая Е' определяется урав­

нением у2

= Ах3 — g2(L)x

— gz(L)

и

I ' — изоморфизм

тора

C/L

на кривую £ " ,

заданный равенством

l'(u)

=

(<§>(и; L ) , у '(и;

L)).

вую

Е',

то,

согласно

формуле

(4.5.4),

h\ (|(u)) =

Н£

(и)).

Из определения

функций/г^

и fa

следует, что hE

(£'(u))

=/a(co1 /co2 ),

если

и =

а

®L

,

,w 2. ' . Лемма

доказана.

ЛЕММА

6.5.

Пусть

{fa

\ а £ А}

— множество

мероморфных

функций

на

некотором

связном

открытом

подмножестве

D

про­

странства

Cd , занумерованное

не более чем счетным множеством

А.

Пусть

к — подполе

в

С,

состоящее

из счетного

множества

элемен­

тов.

Тогда

существует

такая

точка

z0 в

D,

что

специализация

{/а}а=л

{/а(2 о)}аел

определяет

некоторый

изоморфизм

Поля

Hfa

I о:

6-4)

н а

поле k(fa(z0)\

а, £ А),

определенный

над

к.

Такую точку z0 мы называем общей

для функций

fa

над полем к.

На самом деле эта лемма нам понадобится лишь в частном

случае

d

=

1,

в

котором

доказательство

значительно

проще.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Можно

считать,

что

А

=

=

{ 1 ,

2,

3, . . .}

(конечное

или

бесконечное

перечисление).

В

=

{ v I

;

v 2 , . . .}

в А,

что

(i) V

! <

v

2 <

.

. ,,

(ii)

элементы

/ v

i .

/ v 2

>

• • • алгебраически

независимы

над

к

и

( ш )

элементы

/ ь

• • •> / п алгебраичиы

над

полем

k(fv

\ v

£ В, v ^

п).

Пусть

Sm

— множество

всех

многочленов

Р(Ху,

. . .,

Хт)

=^= О

от

т

переменных с коэффициентами

из к и Wv

— множество всех точек

из D,

в которых функция / v не голоморфна. Для каждого Р

£

Sm

§ 6.2. ПОЛЕ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ УРОВНЯ JV

177

Теперь утверждение (1) следует из того факта, что FN

—

расшире­

ние Галуа

поля Q{]E).

Положим

tt = ^({N'1,

0)), t2 =

л ((0,

i V - 1 ) ) .

Если а п 6

Р 3~]

определяются по элементам tx и t2,

как в (6.1.8)

г s

и (6.1.9),

то

г\(а)а =

т|(аР) для

всех а £ N_1Z2,

так что

fa(zQ)a

=

= h(r\(a))a

=

Цг\(а$))

= / n p ( z 0 ) .

Поэтому мы

получим

утвержде­

Пусть А — образ

отображения (6.1.7) и

у

6 SL 2 (Z) .

Так как

fay =

fa"

У

в

силу

формулы

(6.1.3), то отображение

fa

fat

определяет некоторый автоморфизм поля % N над полем Q(/).

Перенося

этот

результат

на

FN,

мы

можем

заключить,

что

SL2 (ZA/VZ)/{±1} с А.

Отождествляя

А

с группой

G&1(FNiQ(jЕ)),

обозначим через В подгруппу в А, соответствующую

полю

Q(£,, j

E ) .

Согласно теории

Галуа, получаем

[А:В)

=

[Q(S,

]Е)

: Q ( b ) ]

=

[(Z/NZ)':

1].

В силу

утверждения

(2) предложения

6.3 S L 2 ( Z / i V Z ) / { ± l }

cz

В,

так

что

А

= G L 2 ( Z / i V Z ) / { ± l }

и В =

S L 2 ( Z / i V Z ) / { ± l } .

Для

дока­

зательства

утверждения (4)

положим

к =

С

flSw -

Тогда каждый

элемент

поля

к

инвариантен

относительно

группы

S L 2 ( Z / i V Z ) ,

осуществляется

с

помощью

подстановки

z>-*-y(z)

при

у

£ S L 2 ( Z ) .

Кроме того, мы уже видели, что

Q(£, j)

является

подполем в

% N ,

соответствующим группе SL2 (Z/iVZ). Поэтому

к a

Q(£, j),

так

что

к cz Q(£). Этим доказано (4).

Для

доказательства

утверждения

(5)

возьмем

а 6 M 2 ( Z ) ,

det(a)

=

N,

а

\А°~\ = \г]\,

и эллиптическую кривую £ " ,

изоморф-

,

-

J

L<«»._

ную тору

C/(Zcoi

+

Zco;). Так

как Na'1

6 M 2 ( Z ) , то

N(Zz0

+

Z)

cz Z(a[

+

ZcOj.

Следовательно,

получается

изогения X кривой

Е

на

Е ' ,

для которой л,(£(и)) =

i'(iVit)

при и

6 С, где

£'

—некоторый

изоморфизм

тора

C/(ZcoJ

+

Za'2)

на

Е ' .

Но

тогда

Кег(л.)

=

=

l{N-\Zv[

+

Za>;)) cz

^iV-^Zzo

+

Z) cz $ N

и /(a(z0 )) =

/(<*>;/<oJ) =

=

j(E'),

так

что

j(E')

£ FN

в

силу

утверждения

(3)

предложе­

ния 6.3. Тем самым доказано (5).

Соответствие

Галуа

между

полями

и

группами,

описанное

в теореме 6.6,

можно лучше

представить

с

помощью

диаграммы

на стр. 178,

в

которой мы полагаем kN

=

Q(e 2 l t £ / W ),

а через

H w

обозначено поле всех модулярных функций уровня

N:

ЗАМЕЧАНИЕ 6.7. Сохраняя за обозначениями

Е и Q N

прежний

смысл, легко заметить, что

Q ( / B ,

t \ t 6

$N)

является

расширением

Галуа

поля

Q ( / E ) i

группа

Галуа

которого

изоморфна

некоторой

§ 6.2. ПОЛЕ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ УРОВНЯ N

179

инвариантны

относительно

а.

Легко

видеть,

что 6

имеет вид

а О

. Обратно,

если 6 =

а О"

то

каждая

подгруппа

группы

О о

О а

Q N

инвариантна

относительно

а,

так что в силу утверждения (3)

предложения

6.3

= ](Е') для каждой кривой Е',

упомяну­

той

выше, и,

следовательно, о =

i d на ^ ) N .

ЗАМЕЧАНИЕ. Как показывает предыдущее доказательство,

утвер­

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.9. (1) Поле %N

совпадает с полем всех

модулярных

функций

уровня

N,

коэффициенты

Фурье

разложений

которых

относительно

e2nizlN

лежат

в

поле

kN

= Q(e2 j I */N ).

(2) Поле

Q(/(z), j(Nz),

/Q 1 (z)),

аг

=

(Лг ~1 ,

0), совпадает

с полем

всех

модулярных

функций

уровня

N,

разложения

Фурье

которых

относительно

e2niz/N

имеют рациональные

коэффициенты.

(3) Поле

из (2) соответствует

подгруппе

|

^

°х

z e ( Z / W Z ) x } / { ± l }

группы

G L 2 ( Z / i V Z ) / { ± l } .

Эти результаты нам потребуются только в доказательстве

предложения

6.35 и в упражнении 6.26.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Чтобы

доказать (3), возьмем такие-

же z0 , Е и FN,

что и в доказательствах

теоремы

6.6 и предложе­

ния 6.8. Мы видели, что существует

такая

изогения

% кривой

К

на кривую Е\

что j(Nz0)

= j(E')

и Кег(Л) =

Z i 2 . Пусть a — авто-

морфизм

поля

С над полем

Q(/(z0 )), и пусть

В =

Гр q~

-элемент

Г S

группы

GL 2 (Z/iVZ),

соответствующий

ограничению

отображения

а на Fдг. Тогда а = i d на Q(;'(z0 ), j(NzQ),

fa(z0))

в том и только в том

случае,"

когда

Кег(л.)0 =

Кег(Х)

и

^В = ± a t mod Z 2 .

Последнее-

Г ± 1

О-

верно тогда и только тогда, когда В =

0

, а это дает (3).

Для доказательства (1) и (2) рассмотрим разложение

Фурье"

функции

/ а . Полагая у = u/cot

и z =

coj/co^

получаем ((т, п)

Ф

Ф (0, 0))

Mj-rf

(и;

со±, со2) =v~2+

—m

z

— n)~z— (mzA-n)-2]

=

CO

CO

CO

CO

=

_ 2

2 , i - 2 - 2 2

2

(mz+n)-*+

2

(v + n)~2

+

n=i

m—i n=—со

7i= —со

CO

CO

+

2

2

l(v +

mz-j-n)-*+(-v

+

mz + п)~*\.

771= 1 71= —CO

12*