Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

В

силу формулы

(2.2.3)

это равно

оо

оо

оо

— л2 /3 + 8л2 2

2 „ . e 2 n i m n z _ 4 n 2 2

п-е2*™-

7)1=1 71=1

71=1

со

— 4я2

2

2 ?г-[е2 я "г <1 '+т г ) + е 2 л " г ( - ' и + т г ) ] .

Поэтому,

полагая

7П=1 71=1

целых

г

и

s,

а

также

и —- (rojj - j - saiz)/N

при

^ =

е 2я;/лг)

3 = е 2 л ; г

и

gN

=

e2niz/N^

получаем

(6.2.1)

(co2 /2n)2 g>((rcuH-sco2 )/iV;

со4,

со2)

=

со

=

- ( 1 / 1 2 ) +

2 2

nqn/(l-qn)-

со

- № ( 1 -Ж > 2 - 2

+ Г

• г ^ г

( 0 < r < ; V ,

(г, s)$7VZ2 ).

Вместе

с

результатами

§ 2.2 это показывает,

что

коэффициенты

Фурье

функции / а

принадлежат полю

kN

для

каждого а £

N~XZ2,

а (jj Z3 .

Пусть

X

(соответственно

X ' )

— поле всех

модулярных

функций

уровня

N,

коэффициенты

Фурье

которых

относительно

qN

принадлежат

полю

Q

(соответственно

kN). Тогда

X

(соответ­

ственно X ' ) и С являются линейно разделенными полями над Q

(соответственно над kN).

Действительно,

пусть

р 4 ,

. . .,

р т —

элементы поля С, липейио независимые над Q. Предположим, что

771

= 2 СыЧм

2 V-iSi

=

0 при

gi

из

поля X . Пусть

gt

при с ы

6 Q.

1 = 1

71

Тогда 2

М^гп =

0 для

каждого

п, так что с ( П

=

0 для всех

i и 7г;

г

следовательно,

g\ — . . .

= g m

= 0. Те же соображения

приме­

нимы к X ' и kN.

Так как %Ncz

X' cz

C$N,

из линейной разделен­

ное™ следует, что ?jN

=

X ' .

Чтобы

доказать

утверждение (2),

положим

Y

=

Q0'(z),

]{Nz),

/ 0 i (z)) . Из

приведенной

выше формулы

(6.2.1)

видно,

что

fai

£ X ,

так что У с : X . В силу уже доказанного

утверждения

(3), а также

в силу

утверждения

(3)

теоремы 6.6 очевидно, что только

относи­

тельно единичного элемента группы

Gal^jf jy/QO')) могут быть инва­

риантными элементы

из

Y(t,);

следовательно,

%N

=

Y(t,).

Итак,

Y

cz X

cz

Y(Q.

Из линейной разделенности полей X

и

Q(£) над Q

мы получаем равенство

Y

= X . Доказательство закончено.

§ 6.3. Одно обобщение теории Галуа

Пусть к — поле и К — его произвольное расширение. Сделаем

§ 6.3. ОДНО ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ ГАЛУА

181

применяться к полю всех модулярных

функций,

рациональных

над циклотомическими полями, т. е. к композиту полей % N по всем

N.

В этом же параграфе

для простоты мы фиксируем поля к и К

и полагаем 21 =

АмЦК/к).

Для произвольного подполя F поля К,

содержащего

к,

мы полагаем

9 (F) =

АЩК/F)

=

{ст 6 21 | х° =

х для

всех х 6 F ) ,

и для каждой подгруппы S группы 21

f (S)

= {х

6 К

| ха = х для

всех а

6

S}.

Мы

можем превратить

21 в хаусдорфову

топологическую группу,

группы вида

{о 6 21 \х°

=

хи . . .,

х° = хп},

где {xt,

. . .,

хп} —

произвольное

множество

элементов

из К.

Отметим,

что

тополо­

гия группы

A u i ( K / F )

=

g ( F ) совпадает

с топологией,

которую

ние — основное и хорошо

известное.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6 . 1 0 . Если

К

— (конечное

или бесконечное)

расши­

рение

Галуа

поля

к,

то

группа

компактна,

Q (f (S))

=

S

для

каждой

замкнутой

подгруппы

S группы

21 и f (й (F))

=

F для

каж­

дого

подполя

F поля

К, содержащего

к. (В

этом

случае, конечно,

21 =

G&l(K/k).)

В более общей ситуации мы имеем

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

6 . 1 1 . Пусть

2

— множество

всех

компактных

подгрупп

группы ЧЦ и Ф — множество

всех

подполей

поля

К,

содер­

жащих

к,

над которыми

К

является

(конечным

или

бесконечным)

расширением

Галуа.

Тогда

g(f(iS))

=

S

и

f (S)

£ Ф

для

каждого

5 е 2

х ) ,

а

также f(g(.F)) =

F

и

Q(F)

6 2

для

каждого

F

£

Ф.

Таким

образом,

существует

взаимно

однозначное

соответствие

между

51 и Ф.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Тот

факт,

что f (Q(F))

=

F и

Q(F)

6

6 2

для

каждого

F £ Ф,

следует

непосредственно

из

предложе­

ния

6 . 1 0 .

Для доказательства

остальных утверждений

рассмотрим

S € 2

и

а £ К.

Очевидно,

S =

U

{°" 6 S \ аа =

Ь}.

Так

как

Ъ£К

группа S компактна, она покрывается конечным числом множеств

вида {а

6 S

\ аа — Ь]. Отсюда следует,

что

множество

{а°

\ а 6 S}

конечно,

скажем

{а4 ,

. . .,

ап}.

Но

тогда

коэффициенты

много-

члена

п

(X

— at)

лежат

в

поле

f (5). Это

означает, что

каждый

[ J

г = 1

алгебраичен над f (S)

и неприводимое

уравнение

элемент а поля К

г ) О том, что каждая компактная подгруппа S соответствует некоторому

элементу

множества

Ф, упоминается в работе N .

J a c o b s o n ,

Lectures

i n

abstract

algebra, V o l . I l l (1964),

p . 151,

ex.

5.

См. также Пятецкий-Шаппро

замкнутую

подгруппу группы

g(f(S))

=

Gal(A7f(5)).

Применяя

предложение 6.10 к S, мы получаем, что S =

g (f(5)).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

6.12. Сохраняя

обозначения

из предложения

6.11,

введем

символ

2 '

для множества

всех

открытых

компактных

под­

групп

группы

21

и

символ

Ф'

для

подмножества

множества

Ф,

состоящего

из

всех

полей F

£ Ф,

конечно

порожденных

над

f (21).

Предположим,

что множество

Ф'

непусто.

Тогда

группа

21

локаль­

но компактна

и взаимно однозначное

соответствие

между

множе­

ствами

2

и

Ф

индуцирует

взаимно

однозначное

соответствие

между 2 ' и Ф'.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

к0

=

f (21). Предположим,

тов Xi, .

.

.,

хп над А;0.

Тогда

g(v¥)

=

{о

е

21

I *?

=

хи

. . .,

4

= хп}-

Поэтому

группа

Q(M)

открыта и, следовательно-,

g (М)

£

2 ' .

Отсюда получается, что группа 21 локально

компактна. Обратно,

пусть

S

£

2 '

и

F

=

f (S).

Тогда

Q(MF) =

g (М)

П в ( Л .

а

эта

группа

открыта

и

компактна,

в

силу

чего

[MF:

М]

=

=

t

:

g (MF)]

< о о . Следовательно,

MF 6 Ф',

и

77 £ Ф'.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

6.13. Пусть

S — подгруппа

группы

21, F

=

f(5)

и ^ — алгебраическое

замыкание

поля F

в

К.

Тогда

F{

является

расширением

Галуа

поля

F. Если,

кроме

того,

$(F)

=

S,

то g (У^)

является

нормальным

делителем

в S и факторгруппа

S/Q (Ft)

как

абстрактная

группа

канонически

изоморфна

некоторой

всюду

плотной

подгруппе

группы

Qa\(FJF).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

и £ Fit

то

очевидно,

что

{иа

1 а

6 S)

— конечное

множество,

скажем

[ии

. . .,

ип}.

Тогда

многочлен

п

(X

— ut)

имеет

коэффициенты из F,

так

что

Ft

—

[J

i=l

расширение

Галуа

поля F.

Если g (F)

=

S,

то g (Ft)

cr

S и Ff

=

=

Fx

для

каждого

о

£ S ;

следовательно,

g (Ft)

=

g (F°)

=

=

a _ 1 g

(FJCT

для

каждого

a E 5.

Группа

5/g (Ft)

теперь

может

пой в G a l ^iAF) . Так как F — неподвижное подполе в Fx

для этой

подгруппы, мы получаем последнее утверждение.

Предложение 6.14. Если

f(g (F)) = F для некоторого

подполя

F поля К, содержащего 1с, то f (g (М)) =

М для каждого

конечного

алгебраического расширения

М поля Е,

содержащегося

в

К.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

S = Q(F) И

Т

= д(М).

Пусть Fi — алгебраическое

замыкание поля F в поле К.

Рассмат-

§ 6.4. АДЕЛИЗАЦИЯ ГРУППЫ GL.

183

рпвая

ограничение элементов

группы S па М, мы

находим, что

[S : Т]

^ [М : F]. Если f (S) =

F, то пз предложения

6.13 следует,

из некоторого элемента группы S. Поэтому [S

: Т] = [М:

F].

Пусть

S =

U

Та — разделенное

объединение.

Очевидно,

что

для каждого v £ f (Т)

многочлен

Q

(X — va) имеет

коэффициенты

в F;

СЕД

конечного

рас­

следовательно, f (Т) cz Fy. Далее, для каждого

ширения М'

поля М,

содержащегося в f (Г), имеет место

равенство

${М')

=

Т.

Беря М'

вместо М,

мы получаем

[S : Т] =

Ш'

: F],

так

что

М

= М'.

Но

это означает,

что М =

f (Т).

Предложение

Gp

=

G L 2 ( Q P )

{р — рациональное простое

число),

G а> =

G L 2 ( R ) ,

>

0}.

Gcc+

=

{z

£ с?»

I del(x)

Тогда

группа

GA

по определению состоит из всех таких

элементов

х = (...,

хр,

. . .,

а;со)

прямого

произведения

\\GP

X

Geo,

что

v

Хр £ G L 2 ( Z P )

для

всех,

кроме

конечного

числа,

простых

чисел р.

Группа GA

может быть отождествлена с группой

G L 2 ( ^ t ) . Положим

U = I l G L 2 ( Z p ) х

v

Тогда

U — подгруппа в GA

, локально

компактная

относительно

обычной топологии произведения. Мы вводим

на GA

топологию,

относительно

которой

U является

открытой

подгруппой

в

GA-

Положим

GQ =

G L 2 ( Q )

и

рассмотрим эту

группу

как

под­

группу

в

GA

относительно

диагонального

вложения

a i->

*-»- (а,

а,

а, .

. .) £ GA.

Обозначим

через G0 недрхимедову

часть

группы

GA,

т. е. множество

всех

элементов из GA,

оо-компонента

которых равна 1. Положим

GA+

=

GoG со+,

GQ+ =

G Q

П GA+ =

{a

e GL 2 (Q) |det(a) >

0} .

Заметим,

что

отображение

x

det(x)

определяет

непрерывный

гомоморфизм группы GA в

группу

Q l . Определим

гомоморфизм

(6.4.1)

и: GA^

G a l ( Q a b / Q )

J ) П о

поводу

общей теории

аделизации

алгебраических

групп

сы.