Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

184

ГЛ 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ

равенством о(х)

=

[del(;r)"\ Q], где х

£ G A . (По поводу символа

Is, Q]

при s £

см. § 5.2.) Заметим, что а{х) = 1, если х 6

Для произвольного целого положительного числа

N положим

(6.4.2)

UN

=

{х

=

(хр)

е U \хр == 1 mod v V - M 2 ( Z p ) } .

Очевидно, U =

U{

и

UN

— открытая

подгруппа в

G A . Отметим

также, что

(6.4.3)

каждая

открытая

подгруппа в G A содержит

UN

при неко­

тором

N.

(6.4.4)

k(S) =

kixSx'1)

для каждого x 6 G A ,

(6.4.5)

S cz T

kT a

ks.

Пусть j

— некоторая

Z-решетка в

Q2 . Мы можем

определить

действие элемента группы GA на факторе Q 2 /j точно

так же, как

в § 5.2. Именно обозначим

через

j p замыкание решетки j

в про­

странстве

Qp и отождествим Q 2 / j с прямой суммой модулей

Q J / j p

по всем р.

Для каждого

с =

(ср)

£ GA определим jc

как Z-решет-

ку в Q2 , характеризуемую равенством

(j:c)p = $ р с р .

Тогда

правое

умножение

на с р

определяет

пекоторый

изоморфизм

пространства

Qp/jp иа Qp/5P cp и, значит,

изоморфизм из Q2 /g в

OJVjc.

Будем

обозначать через wc образ элемента из Q 2 / j при этом

изоморфизме.

Такая ситуация описывается

коммутативной диаграммой

ср

|

Qp/Sp

>• Q2 /sP cp

I

е

I

Q2 /s

— ^ — > Q2 /sc

где вертикальные

стрелки

обозначают

канонические

вложения.

В частности, каждый элемент группы U определяет

некоторый

автоморфизм группы Q2 /Z2 . Заметим также, что

(6.4.6)

U =

{с £ G A

+

| Z2 c =

Z 2 } .

Докажем теперь несколько

полезных лемм. Положим

SL2(A)

=

{ж 6 С л

I det(a:)

= 1}.

ЛЕММА

6.15. Для каждой

открытой

подгруппы

S группы GA

SL2(A)

= S L 2 ( Q ) . ( 5

П SL2(A))

= (5

П SL 2 (JL)) - SL 2 (Q) .

§

6.4. АДЕЛИЗАЦИЯ

ГРУППЫ GL.

185

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Это простейший

случай

«сильной

аппроксимациониой

теоремы»

для полупростых

алгебраических

групп. В нашем случае это просто переформулировка

леммы 1.38.

Пусть

g =

Z 2 и с £ GA-

Тогда

можно

найти

такой

элемент а

группы

GQ, ЧТО ;СС =

у.а. Согласно

(6.4.6), а с - 1

6 UG«, (это дока­

зывает

равенство

GA

=

U-GQ).

ЕСЛИ

С £ S L 2 ( J L ) , то

det (а) 6

6 det(£/Gco)

П Q* =

{ ± 1 } - Выберем

такой элемент е пз GQ, чтобы

{ 6 = j

и

det(e)

=

det (а).

Тогда

£с -- ;сесс, так

что

элемент

с - ( е а ) - 1

принадлежит

пересечению

U f| SL2 (JL).

Этим

доказано

равенство

(6.4.7)

S L 2 ( A )

=

(С/ П SL 2 (JL)) - SL 2 (Q) .

(6.4.8)

U П SL2 (.4)c=

П

S L 2 ( A ) ) - S L 2 ( Z ) .

Пусть

v £ U П S L 2 ( J L ) . Можно

найти

такой

элемент

6 алгебры

M 2 ( Z ) ,

что р == У р mod 7V-M2 (ZP )

для

всех

р. Тогда

det(B) =

пы SL 2 (Z), что у = В mod(iV). Тогда vy-1

£ Cfry П SL2 (JL), откуда

получается (6.4.8). Доказательство закончено.

ЛЕММА 6.16. Ограничение

отображения

а на GA+ сюръективно-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как GA =

G^+GQ, ТО а^ц - ) =

(ii)

5GQ+ Z / = { X 6 GA+ I o"(a;) = а(г/) на ks}

для у £ G^+;

>гро-

изведение

SGQ+У можно брать

в любом порядке следования

S,

GQ+, у.

Д о к а з а т е л ь с т в о ,

(i) В силу

определения

поля

ks

имеем a(s) =

i d на ks

для s 6 S. Поэтому достаточно показать, что>

если а(х)

=

i d иа

k s

для х £ GA+, ТО Х £ £ GQ+ П а; £ GQ+S.

а

Одна­

ко

из

предположений

следует, что det(a:) £ Q*-det(S),

потому

det(x)

=

det(a)det(s)

для некоторого

а £ GQ я

некоторого

s £ S.

Тогда

det(a) > 0 и det(a"1 a;s~1 ) = 1. В силу леммы 6.15 а - 1

^ -

1 =

=

fit

при р £ S L 2 ( Q )

и t 6 S;

следовательно,

х = af>-ts £ GQ+S,.

и

аналогично х £

SGQ*.

(ii)

Это всего

лишь

очевидное

обобщение

утверждения

(i) .

В

самом деле, из (i) мы получаем

SGQ+У

=

ySGq+

= GQ+Sy

=

yGq*S

=

=

{х 6

| а(ж) =

а(г/) ка & s } .

§ 6 . 5 . ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ U НА ПОЛЕ

187

(1)

последовательность

1->-

{ ± 1 } —

>

-

U

G a

l

(fy/?fi) - > "

1

точка;

(2)

х(ц)

=

а(и)

на

Q a b ;

(3)

feT(T>

=

ho у для всех

h 6 g' it SL 2 (Z) .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для каждого

и £

17

и

каждого

Л

существует

такой

элемент

а

пересечения

M 2 ( Z ) fl

GQ+, Ч

Т О

=

=

a mod 7 V - M 2 ( Z P )

для

всех

р.

Тогда

аи

=

аа

для

каждого

а 6

6 N~lZ2/Z2.

Поэтому

в

силу

теоремы

6.6

отображение

/ а - » - / а 1 1

определяет

некоторый элемент группы G a l ^ ^ / g ^ ) , . а потому и эле­

мент

из

G a l ^ / j j i ) -

Обозначим этот

элемент

через

т(и).

В

силу

утверждения (2) теоремы 6.6 ограничение отображения

х (и)

на

поле % N определяет точную последовательность

(6.5.1)

{±1}-UN^

U+G&mM-*-!.

Поэтому

Кег(т) =

со

{ ±

1 } - U N

— { +

1}-Goo+;

отображение

т

|"|

№=1

является непрерывным гомоморфизмом группы U в

группу

Gal(g/g-4 ); кроме того, множество

%{U) плотно

в Gal(g/gj) . Так

как

фактор

U/C оо+

компактен,

мы получаем

утверждение

(1).

Чтобы убедиться в справедливости утверждения (2), возьмем и

и а, как выше. Определим два элемента с и с' группы

равен­

ствами

Г det (ос)

для

р | N,

С

р ~ \

1

для

р t N

или р — оо

и условием сс' = det(cs). Тогда

в

силу

утверждения

[(3) теоре­

мы 6.6

получаем

т

М =

( - ! т н " ) =

[ с ' ' Qi = [ d e t ( a ) " l c ' ' Q] = [ c _ 1 ' Qi =

=

[det ( u ) - 1 ,

Q] = о (и)

на

kN,

так что т(ы)

= о(и)

на kN

для каждого N;

следовательно,

справед­

ливо утверждение

(2).

Если

и — у

6 SL 2 (Z),

то

элемент

у

можно выбрать

так,

как

выше

выбиралось

а,

и тогда /а ( и )

=

fay

=

fa

° У

в

соответствии

с формулой (6.1.3); таким образом, утверждение (3) доказано.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.22.

(1)

Для

каждого

а

6 Gq+ и

для

каждого

h € 2f

функция

h о сс

принадлежит

полю

%.

(2)

Если

а

6 GQ+,

В £ GQ+,

и £ U,

V £ U

и

аи

=

УЙ,

/ПО

(;' о а)т (и >

=

/

о 6

и

(fa

о а)т<и>

=

fav

о В

Зля

каждого

а 6

6

Q'7Z2 ,

а ф

0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть f j ' — поле, порожденное

над

Q функциями h о а для

всех

/г 6 3 И

В С Е

Х

а

£ GQ+- В силу

леммы

6.5 существует такая точка z0

полуплоскости

ig,

что

отобра­

жение

g

I—>- ^(z0 )

определяет

изоморфизм

поля^'

на подполе

=

ные элементы а и р вместо самих элементов а и 6,

мы можем счи­

тать, что

преобразования

а - 1

и

Р - 1

принадлежат

алгебре

M 2 ( Z ) .

Для

каждой

точки

z £

<g

положим

L(z) =

Zz - j - Z .

Определим

число с и кривую Е

равенствами

Е: у2 = 4а:3 —

сх

— с,

с/(с

— 27)

=

j(z0).

Теперь возьмем

произвольный изоморфизм

£ тора

C/L(z0 ) на кри­

вую Е и положим

1

(а

6 Q2 /Z2 ).

В силу леммы 6.4

/ a (z 0 )

=

ЛЬ (2(a))- Чтобы упростить

обозначения,

положим

a =

a 4 ,

р =

а 2

и

Wi =

аг (г0 )

для

i = 1, 2.

Тогда

суще­

ствует такое число

ja, £ С

х

,

что

1

_ 1 . LI; =

СЦ1 .

1

_

( » = 1 , 2 ) ,

и

умножение

на

иг

определяет

некоторую

изогенпю

из

C/L(z0 )

в

C!L(iVi).

Определим

сг

и

i =

1, 2,

равенствами

E i ' .

у2

=

4а;3

— с,-ж — сг ,

С;/(с; — 27) =

/(«>i).

Пусть 11; — изоморфизм тора

C.'L(Wi)

иа кривую Е{;

положим

si (a) =r\i

a

1

( a 6 Q 2 / Z 2 ;

i =

l , 2).

Тогда существует изогения Xt кривой Е на кривую

Eh

при

кото­

рой диаграмма

C./L

(z0)

-»

Е

д.

I

I

коммутативна.

-> C/L (и;»)

-

в ,

Далее,

'

z0

"

U(t(a))=h

(£

l a

~z0 ~ \\

(

1

.

1

.

1 .

= s i (aa i 1 )

для

каждого

a £

Q 2 /Z 2 . Поэтому

Кег(л-г) =

<(Z2 a; /Z2 ).

Рассмотрим

теперь автоморфизм а поля Q(/i(z0 )

| h £ 3 )

над полем

Q(c), для

которого

fa(zo)a

= /a u(z0 )

при

всех

а 6 Q 2 /Z 2 ,

а Ф

0

(он

соответ-