Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

§

6.5.

СТРУКТУРА

ГРУППЫ

Aut

(3)

189

ствует

элементу

х(и)).

Продолжим

его

до

автоморфизма

поля С

и вновь обозначим через о. Тогда Еа

=

Е и в силу формулы

(4.5.3)

t{a)a

=

+t(au),

так как

/ a (z 0 )

—h>E

(t(a)).

Следовательно,

Кег(л?)

=

K e r ( ^ ) C T

=

i ( Z W Z 2 )

=

*(Z2 yp7Z2 )

=

=

i(Z 2 6/Z 2 )

=

Kev(k2).

Поэтому

кривая

E°

изоморфна

кривой

E2,

так что j(w2)a

=

j(w2);

следовательно, с" = с2

и Е\ =

Е2.

Отображения

%1 и Х2 являются

изогениями кривой Е на кривую

Е2

с одним и тем же ядром,

так

что

XI =

&Х2 при некотором

автоморфизме

е кривой Е2.

Так

как

число j(z0)

траисцеидентно, кривые Е, Е±,

Е2яе

обладают комплекс­

ным

умножением;

следовательно,

8 =

+ 1

i

1° =

± Л 2 .

Поэтому

для каждого а £

Q 2 /Z 2

^ ( e a - 1 ) 0

=

(Х&(а)))а

=

л°

(t{a)a)

=

±%2{±t(au))

=

=

±X2{t(au))

=

±s2(au^~1).

Пусть

b = a a " 1 .

Тогда

а к б - 1

=

frauB-1

=

bv.

(Действительно,

пусть a — элемент

группы

Q2 ,

который

представляет а, и b =

= аа'1.

Тогда a u , p B _ 1

=

baupfi'1

=

bvp,

откуда

a u B - 1

=

bv.)

Так

как

отображение

a н-> a a - 1

=

b — сюръективный

эндоморфизм

группы

Q2 /Z2 , то Si(b)a

=

±s2(bv)

для

каждого

b £ Q2 /Z2 .

В силу

леммы 6.4 для каждого Ъ £ Q 2 /Z 2

Ыт)°

=

hh^ib))0

=

hhJLsz(bv))

=

fbv(w2).

Таким образом, мы доказали, что

(6.5.2)

Я<фо))°

=

Д Р Ы ) ,

МФо))°

=

Ы Р Ы )

(Ь £

QVZ 2 ) .

полем

Q(/(z0 )),

для которого /a (z0 )C T = / a u ( z 0 ) .

Предположим,

в частности, что a — тождественный автоморфизм на Q(/i(z0 ) | h

£%).

Тогда

в

силу утверждения (1) предложения

6.21

и £

{ + 1 } - G о о + ,

и можно

применить формулу

(6.5.2) к случаю

а

=

р,

v £ аиа~г

£

6 { ± l } - G = o + . Мы

видим, что

элементы ;(a(z0 ))

и

/ь(а(г0 )) инва­

жат

полю Q(ft(z0 ) | /г 6 ?у)- В силу

выбора точки z0 это доказывает

наше

предложение. Утверждение

(2) следует тогда из форму­

лы (6.5.2).

6.21. Для

а 6

GQ+

определим

т(ос) равенством

(6.6.1)

hxW =

ho а

для всех h £ %.

Очевидно,

это

дает гомоморфизм группы

GQ+ В группу

A u t ( ^ ) .

Таким

образом,

символ

т

определяется

на S L 2 ( Z ) =

£/* |~| GQ+

му

результату

в силу утверждения (3) предложения

6.21. Для

х

—

иа

6 GA+,

где

и £

U

и

а 6 <?Q+,

ПОЛОЖИМ

Х(Х)

=

х(и)х(а),

так

что

Если

а; = и'а'

— другое

представление,

где

и' £

С/ и а ' £ GQ+, ТО

u _ 1 u '

=

аа,'-1

Е S L 2

( Z ) .

Поэтому, полагая

б =

u _ 1 u ' , получаем

т(и')т(а')

= т(мб)т(б_ 1 а)

= т(и)т(б)т(б)_ 1 т(а)

= х(и)х(а)

в

силу

мультипликативности

отображения

х на

С/ и GQ+. Таким

образом, символ т(:г) определен незавпсимо

от выбора

и и а .

Сле­

дует

показать,

что

х — гомоморфизм. Для

этого

возьмем

х

=

иа

и

у

=

при и Z U, v £

U,

а £ GQ +,

В 6 GQ +.

Так

как

Сл +

=

=

t7c?Q-, существуют такие

элементы w 6 t7 и у 6 GQ +,

что

ai>

=

и

х(х)х(у)

= т(и)т(а)т(у)т(Р).

Поэтому

достаточно

показать,

что

т(гу)т(,у)

=

x(a)x(v).

Однако

это не что иное, как утверждение (2) предложения

6.22.

Так

как

т(а)

и

ст(а)

тривиальны на Q a b ,

если

a

£ GQ+, ТО

из утверждения (2) предложения 6.21 получаем

(6.6.2)

х(х)

=

а(х)

на

Q a b

для

каждого

х

£

Gj.+.

Докажем

теперь

равенство

(6.6.3)

Q_XUN

=

{х

6 Сл+ I Ф)

=

i d

на

f b } -

Включение cz

очевидно

в

силу

формулы (6.5.1). Пусть

х

£

GA+;

предположим,

что х(х)

=

i d

на

% N .

Согласно

формуле

(6.6.2),

а(х)

= i d на

kN.

Поэтому

в силу леммы 6.17

х

=

иа

при

и £

UN

и a

6 <?Q+. Тогда

x(a)

=

i d

на % N и, следовательно,

a

6

Q"

Г я ,

так

что

х £

Q*UN.

Доказательство

равенства

(6.6.3)

закопчено.

Из (6.6.3)

мы получаем, что

Кег(т)

=

оо

= замыкание

группы

=

Qx Go«+

П Q*UN

Qx GT C -j-

§ 6 , 6,

СТРУКТУРА ГРУППЫ Aut (?Y)

191

Соотношение (6.6.3)

показывает также, что отображение

х

пы

G

A J

Q

X G

со+

в группу

X(GA+)-

Поэтому т индуцирует тополо­

гический изоморфизм из GA+/Q*G«,+

на

%{GA+)-

В

силу

утверж­

дения

(1)

предложения

6.21

x{U) = G a l ^ - / ^ ) .

Так

как

группа

Gal{%/%i)

открыта

в группе

A u t ( g ) ,

то группа T(G-I+)

открыта и,

следовательно,

замкнута в

A u t ( g ) 1 ) .

Докажем

теперь

одну

из основных теорем нашей теории.

ТЕОРЕМА

6.23.

Последовательность

1

Q*Goo+ -»- GA*

Aut(gf) -»- 1

точна,

так

что

группа

A u t ( g ) изоморфна группе

GA+/QXG«,+

как

топологическая

группа.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

группа

X(GA+)

замкнута

в A u t ( g ) ,

достаточно доказать, что

x(GA+)

плотна в Aut(gf). Пусть

£ 6 Ant(g-).

В сплу леммы 6.16 существует такой элемеит у

группы

G A

+ ,

что

а(у)

=

£ на Q a b . Положим я =

£ - т(г/) - 1 . Тогда я — тож­

дественное отображение на Q a b . Так

как поля g и С линейно раз­

делены над Q a b , можно продолжить я до некоторого

автоморфизма

N >

2.

Можно

найти

два

таких целых положительных

числа М

и М',

что

N<M<M',

g J - ' c g M

и Ймс=д-м<. Но тогда

0%Nczz

а

С$м с= С%м-,

так

что

существует

подгруппа

А

группы

TN,

содержащая Гм- и такая, что поле

Cg*/ является полем всех

моду­

лярных

функций относительно

А.

Пусть

<g* — объединение полуплоскости

<§ и

параболических

точек группы Г\. Положим V

=

! Q * /

T M ,

V

= ^*/А и

обозначим

через ф (соответственно через ср') проектирование из J§* в

V

(соот­

ветственно в V).

Тогда V и V

являются компактными

римановыми

поверхностями,

и С%м

(соответственно

С%м) можно

отождествить

с

полем

С(У)

(соответственно

C(V'))

всех

мероморфиых

функций

на

V

(соответственно

на

V)

с помощью отображения C(F)9/t—*•

и-* /

о ф

(соответственно

С(У') Э /

/

° ф')-

Так

как

я — изо­

морфизм поля С%м

иа поле С%м ы а д

С, существует

такой

бирегу-

лярпый изоморфизм г) поверхности

V

на V, что (/ о ф ) я =

/ о и ° ф'

для каждой функции / 6 C(V).

Положим V0 = ф(^) и V0

=

ц>'($).

Мы

собираемся

показать,

что

ф ( ^ ) =

V0.

Пусть

р

Ё. У0

и r|(p)

V0,

т. е. т|(р) = (p(s) при некоторой

параболической

точке

s группы Тм.

Если

v — дискретное

нормирование поля С-^'л/, соот­

ветствующее точке р, то v неразветвлено в CJ-, так как р = ф'(г)

для

Замкнутость

группы

т((?л+)

можно доказать и так. Поскольку

группа

T(G.-I+) гомеоморфпа

группе

GA+/Q.K

G«>+, она локально компактна п,

следо­

вательно, замкнута

в A u t ( g )

в силу

предложения 1.4.