Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

194

Г Л . 6. М О Д У Л Я Р Н Ы Е Ф У Н К Ц И И В Ы С Ш Е Г О У Р О В Н Я

ф !

Jф'

V

V

С л у ч а й

а: a

= 1; следовательно,

Г cz

Г'. Тогда Т —

обыч­

ное

проектирование.

С л у ч а й

б: а Г а - 1

=

Г'.

Тогда

Т — бнрегулярпый

изомор­

физм кривой V в кривую

V.

Цель этого параграфа — обсудить следующий вопрос, который

является пока нанвио поставленной задачей (его

модификация

будет

дана

позже):

Г,

произвольной

фуксовой

группе

содержащейся

в Gq+ и

содер­

жащей TN

при

некотором

N,

поставить

в

соответствие

раз

и

навсегда

некоторую

модель

( V T

, срг ) поверхности

Г\ф*

и

поле

алгебраических

чисел

А*г

таким

образом,

чтобы

выполнялись

сле­

дующие

условия:

(1)

кривая

VT

определена

над

полем

кТ;

(2)

если

а

6 GQ+ — такой

элемент,

что

с с Г а - 1 с ;

Д,

то

kAcz

cz кг

и

рациональное

отображение

Т

из

Vr

в

VA,

определенное

равенством

7Vpr =

ф д о

а,

рационально

над

Ат-

Здесь

и

в

дальнейшем

<g*

обозначает

$ U Q U {°° }•

Предположим, что можно найти такую пару (VT,

фг ) и поле

кг.

Рассмотрим

поле

%г = и°ФГ

i / e w r ) } ,

где

kv(Vr)

— поле функций на кривой

VT,

рациональных

над

кг;

см. дополнение, п. 4. Естественно предположить, что ^уд =

% х

,

если

Д =

ТN.

По условию группа Г содержит группу TN

при некотором

N.

В

силу

условия

(2) очевидны включения

/сг

с= kN

и %rcz

%N.

расширение Галуа поля ft?) поле ft-p соответствует некоторой

ком­

пактной

подгруппе группы A u t ( g ) ,

согласно

предложению

6.12.

Группа Aut(g-) изоморфна группе Gvi+/Q*G<»+.

Поэтому

представ­

ляется

естественным рассматривать

вместо

семейства

групп Г

Г 5 .

Тогда

C g s c =

4Sils 1 1

C g r =

следовательно,

[Cj>T : SRS ] = [ЯКг : SOU

=

t r s : Г т ]

=

[С%т : C g s ] .

Этим доказано

равенство

9 t t s =

C $ s .

ЗАМЕЧАНИЕ 6.28. Может случиться, что

S Ф

Т,

даже если Г в

=

=

Г г

и ks

= /Vr . Рассмотрим

пример

S =

Q?.{xeU\xp~

I

°{ modN-M2(Zp),

аец},

[

Г1

on

1

Г = Q x - | x 6 t 7 | x p = Q d

m o d / V - M 2 ( Z , , ) , d 6 J •

Тогда

Г 5

=

Г г

=

Q T j V ,

ks

=

kT

=

Q;

но

S Ф

T , если ЛГ >

2.

Тем не менее

справедлива

ЛЕММА

6.29.

Пусть

S 6 £ ,

6 £ •

£ сл«

Г 5

= Г т ,

A:s

=

А-г

u Scz

Г,

mo S =

Г.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

силу

утверждения

(i)

леммы

6.17

предположение

о

равенстве

ks

=

кТ

влечет

за собой

равенство

GQ+S

= GQ+T,

И

если

5 с

Т,

то

Г с ( G Q +

fl

Л-S =

Г г

5 . Поэто­

му

соотношения Г т

=

T s

cz S

обеспечивают

обратное

включение

Г с

5, так что

Т

=

S.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.30. Пусть

Г' —дискретная

подгруппа

в G<» + /R x ,

соизмеримая

с

Q T i / Q *

и содержащая

TN

при

некотором

N.

Тогда

Г'

=

r s / Q x

для

некоторой

подгруппы

S £ %.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

В — элемент

группы

G«,+ ,

представляющий

некоторый

элемент

группы

Г', и пусть Г" =

=

Tj П p r j B - 1 .

Так

как

[Г4

: Г"] < ; оо, легко

видеть, что Г" поро­

ждает

алгебру

M 2 ( Q ) над

Q,

так что

p M 2

( O J P _ 1 =

M 2 ( Q ) . Теми

же

вается,

что

Р = с а при с 6 R* и а

6 GQ+. Поэтому можно

считать,

что Г'

=

Д / Q " при

некоторой подгруппе А группы

GQ+. Выберем

число

N

так, чтобы

Г ^ с : Д . Можно

найти конечное число эле-

d

ментов

ctj,

. . ., ad,

для которых

А =

|J

Q T ^ a j -

Положим

i = l

d

W

=

fl а-гиха

=

П

a?UNa,i

и S =

A W .

Тогда

W — открытая

подгруппа группы GA+ и фа­

кторгруппа

W/Ge°+ компактна; при этом a~xWa = W для

любого

§ 6.7. КАНОНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МОДЕЛЕЙ ПРОСТРАНСТВА

г\§*

197

а Е А.

Поэтому

S — открытая

подгруппа

в GA+ И факторгруппа

iS7Q*G=<,+ компактна, так что

S (Е 2 . При этом

Г 3 = А - ( И / П

GQ+) = A ,

так

как

W[\GQ+CZ

UN()GQ+

— TNcz

А .

Доказательство

закончено.

В силу предложения 6.27 можно

найти модель {Vs,

cps) поверх­

ности

r s \ < g * ,

которая

характеризуется

следующими

свойствами:

(6.7.4)

кривая

Vs

определена

над

ks;

(6-7.5)

%s

=

{ / o c p s

| / 6

kS(VS)}.

Фиксируем

модель

(Vs,

cps)

для

каждой

подгруппы

S £ S

раз

н

навсегда. Пусть

S

£%,

Г £ %

и

х £

Предположим,

что

xSx^cz

Т. Тогда %(х) дает изоморфизм поля % т

иа некоторое под­

поле поля % s . Заменяя g-s

и % т

на

ks{Vs)

и

kT(VT),

мы

получаем

изоморфизм х'(:г) поля kT(VT)

в поле &s(^s)> П Р И

котором/т '(ж > о ф 5 =

— (/ ° ф т ) т ( х )

Для

/

6 /cr(Vr)-

Поэтому

в силу

дополнения

6

мы

находим

однозначно

определенный

бирегулярный

морфизм

JTs(x)

кривой

VS

в

кривую

V T X

\

при

котором

р№

о Jтs(x)

=£/т '(*)

для

/ € kT{VT),

т.

е.

(6.7.6)

fa(x)°JTs(x)°Vs

= (/°Фг) т ( ж )

для

/

6

М У Т

) .

Легко

проверить,

что

J

T

S (х)

обладает

следующими

свойствами:

(6.7.7)

морфизм

J

T

S (х)

рационален

над

ks\

(6.7.8)

JTs(x)a(v)°JsR(y)

=

JTR (Х,

у);

(6.7.9)

J s

s

(х) =

i d ,

если х

£ S;

(6.7.10)

J T S { & )

[фSz )

1 — Фг(а (2 ))>

если а

б GQ+

и

Т

=

а £ а - 1 .

В

частности,

если

Scz

Т,

то

морфизм

/ r

s

( i )

определен

и

•/"rs(l)l9s(z)l

=

Фг(г).

Поэтому

/ Т д ( 1 )

соответствует

естественному

проектированию

из

r s \ $ *

в

Г г \ $ * .

Если

xSx-1

=

Т,

то

имеют

смысл

символы

JTS(x)

и

JsAx'1),

и / s r ^ -

1 ) * 1 ^ ' 0

J T S ( X )

=

i d ,

так

что J T s ( x ) —

бирегулярный изоморфизм из Vs

в

У т х ) .

В

наиболее

общей

ситуации

х8х~г cz

Т

имеем"

г

м

fJTR(l)a™°JRs(x)

(R =

xSx-i),

{JTP(X)OJps(1)

(P =

X - * T X ) ,

так что JTS(x)

— композиция бирегулярного изоморфизма и

проек­

тирования

в произвольном порядке.

В

качестве

иллюстрации

зафиксируем

целое

положительное

число N и рассмотрим группу S множества 2 , определенную

равенством

S

= Q x t T ,