Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

§ 6.8. ЯВНАЯ ФОРМА ЗАКОНА ВЗАИМНОСТИ

199

( i i)

Для

каждой

группы

S £ S точка

cps(z) рациональна

над

Каъ

и для каждого s £

КЛ

c P s ( Z ) t s ' K ]

=

JsAgis)-1)^)),

где

Т

=

q(s)Sq(s)-1.

Можно заметить, что соотношение (i) объясняет глубокий

ариф­

вается,

когда

каноническое

отображение

группы

Кл

в

группу

Ga\(KajK)

локально

определяется

автоморфизмами

Фробениуса.

Таким

образом,

теоремы

6.23

и 6.31

доставляют

аналог

теории

полей

классов

для

поля

%,

являющегося

кронекеровым

полем

размерности 2. Следует также отметить, что соотношения

(i) и (ii)

являются обобщениями (5.4.1).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как

было

видно в § 4.4, точка z при­

надлежит

К.

Определим

Q-лииейный

изоморфизм

i z : Q2

->- К

равенством

iz(a)

'

z 1

1

для

а Е Q2

(вектор-строка!).

Так

как

_

Z

_

\xz~

для

(.1 6 К"

(см.

(4.4.5)),

диаграмма

1

i ,

Q 2

->

кх

9(Ц)

->кх

коммутативна.

Если

мы

положим

az

=

Zz -f- Z,

то

отображение

i z

будет

иидуцпровать

изоморфизм

нз

Q 2 /Z 2 па К1аг,

который

мы

по-прежнему

будем

обозначать через

iz.

Пусть

| —

изоморфизм

из

C/az

в

некоторую эллиптическую

кривую

Е £ Ш, о" — произ­

вольный

элемент

из

Aut(C/K)

и s — произвольный

элемент

груп­

пы

КА,

для

которого

о =

[s,

К]

на

/Са ь- Возьмем изоморфизм

|' из C/s- 1 cu на Еа,

рассматривавшийся

в

теореме

5.4

для

о

и s,

так, чтобы

(1)

1(х)°

=

1'{8-*х)

(х

6 К/аг).

В силу леммы 6.19 можно найти такой элемент у из U и такой эле­

мент

а

из

GQ+, ЧТО qis)'1

= г/a"1 . Тогда

Z 2 g(s) _ 1

=

Z 2 a _ 1 .

Поло­

жим

w =

a - 1 (z )

и найдем

такой

элемент

X из

К",

что

Z

Заметим,

что

а

_ 1 _

az

=

i z

( Z 2 ) ,

s - 1 a z

^ ( Z 2 ^ ) - 1 )

=

iz(Z*a^)

=

X-iw(Z*)

=

Xa„

—> С/аш

-> Е

I

i d

1

-> C/s'h

!'_> Е°

(2)

Ш

=

hh(Uu))

( i

=

1,

2,

3),

и s x u =

s 1 ч 2 (а) =

u (a-g(s)-1 )

=

i z (aya'1)

=

л-ч^ (аг/) (mod s _ 1 a z

=

=

Алц .). Поэтому

£ ' ( S _ 1 M )

=

|"(1ц,(яу)), так

что

hUd'is-'u))

=

pay(w)

(i

= 1, 2, 3)

согласно

лемме

6.4; следовательно, из (1) и (2) получается

(3)

fi(z)°

=

кШиГ)

= / ^ ( а - Ч * ) )

(i =

1,

2,

3).

Кроме того,

(4)

т в

=

=

Я » )

=

Д а - Ч г ) ) .

Фиксируем теперь целое положительное

число N >

2, и

пусть

i V -

1 Z 2 ( Z 2

—

{0}

=

{а,

Ь, . . . } .

Пусть

У# — геометрическое

место

для

множества

ф'(а)

=

(/(s). Ш

,

Ш .

• • • . /2(8).

Ш .

• •

/2(8).

/2(8).

• •

•).

где

i — переменная

на

ф, в аффинном пространстве

размерности

3(ЛГ 2 — 1) -г

1.

Если

Р =

Q'tVjv, то

кривая

У Р

бнрационально

эквивалентна кривой V'N и существует такое бирациональное

отображение

X

из

У Р

в У^

над /гР

=

/сл -,

что

X ° срР

= ср'. Так

как

кривая

У Р

не имеет особепностей,

отображение

X

определено

во

всех

точках

множества фР ($3); отображение X ие бирегулярно,

по

взаимно

однозначно

в

следующем

смысле:

(5)

если

% £

z2

6 ф

"

ф ' ( 2 1 )

— ф'(2 г). m o

фр(2 0

=

фр(2 2)-

Действительно,

если

cp'(z±)

=

cp'(z2 ),

то

j ( z i ) =

Д 2 2 ) и

существует

такой элемент у

группы

Г\, что

y ( Z i )

=

z2 . Положим L i = Zz:

+

Z

n i ( a ) = a

1

для a 6 R 2 . Обозначим той же буквой

i отображение

из

R 2 / Z 2

иа

C/Lj,

индуцированное

отображением

i . Пусть

£t —

изоморфизм

тора

C/Lt

на

эллиптическую

кривую

Е{

6 %.

Если

а; =

i (а),

а £ i V _ 1 Z 2 / Z 2

=

{ 0 } и г/ = 1.(ау), то в силу формулы (6.1.3)

и леммы

6.4

hUU*))

= Pa (Z>)

=

/

i ( Г 2 ) =

Ра

=

= / i T ( * i )

=1г}±(Ш)

d = 1, 2, 3).

§ 6.8. ЯВНАЯ ФОРМА ЗАКОНА ВЗАИМНОСТИ

20-1

Поэтому

в силу

( 4 . 5 . 3 ) га{^(х))

=

£,i(y)

при некотором

автомор­

физме

е а

кривой

Et.

Если

Ei 6 %и то е а

=

± 1 и еа а =

ау для

всех

а £ i V _ : L Z 2

/ Z 2

—

{ 0 } . В силу

леммы

6 . 2 у £ Г ^ * { ± 1 } ,

так что

фр(2 г) =

V P ( T ( z I ) )

=

ФР(2 1)>

а

э т

о

доказывает (5 ) в

случае

Et 6

(г £i-

Предположим,

что ZJj 6

$ 2 » тогда L i —

дробный пдеал

поля

К =

Q ( ] / — l )

и е а отождествляется

с умножением на одну из еди­

ниц

(всего их четыре) ± 1 , ±У—1-

Д л я

е

€ ( ± 1-л,,

±

V " — 1 | можно

ы

1 ^ = 1

ч

"ez/

е* . 1

_

е

так что

ау

для

а 6 i V _ 1

Z 2

/ Z 2 —

{ 0 } . Теперь

нам

будет

нужна

ЛЕММА

6 . 3 2 . Пусть N — положительное

целое

число,

большее 2,

у — произвольный

элемент

группы

Tit

Zj — эллиптическая

точка

группы

Г\ и

А = {б £ Г4

| 6(z£ ) =

Zj}.

Предположим,

что

для

каждого

и £ Z 2

существует

такой

элемент

б и группы

А, что иу =

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как каждая

эллиптическая

точ­

ка группы

Т± является

^-эквивалентной

точке У—1

или

точке

е 2 я 1 / 3 ) достаточно

провести

доказательство

в

случаях

zt

Г=1

и z, = e2 5 t i /3 .

Если

zt

= e2 l t i /3 ,

то, согласно

нашему

результату

из § 1 . 4,

"

0

1 "

г

2>

" -

1

. — 1

1 .

. — 1 0 .

Положим о = ( 1 ,

0 ) , с =

( 0 , 1 )

и 7' = убь1 . Тогда

Ьу' =

Ь mocl(iV);

следовательно

7

=s

1 0

mod(iV) при некоторых

целых числах

р

и q. Так как det(y')

=

Р (7.

получается

1 , то q = 1 mod(iV), в силу чего

1

0",

сравнение

у ==

1

mod(iV). С другой

стороны,

(р,

1 ) = = су

=

сб mod(iV) при некотором

б 6 А. Рассмотрение

элементов

груп

пы А показывает, что б = 1 2 или

0

Т

" О

Т

1

1

Но если б =

1 1

-

то у

1

0 mod(iV) и (Ь +

с)у' = ( 0 ,

1 ) ф

(b - f с) е шоа(Лг )для

1

1

каждого элемента е группы А. Мы пришли к противоречию.

Поэто­

му б = 1 Г и у' 6 TN; следовательно, у £ Гл -А. Случай zx =

У—1

включение уд £ ГЛ - при таком б

из группы

что б ^ ) =

Zj. Но

тогда ф Р (z2 ) = фрСуб^)) = фр(г

4 ), чем доказывается (5 ) в

случае

Е 6 %г-

Оставшийся

случай Е £ <£3 можно

разобрать с помощью

тех же

соображений,

пользуясь леммой 6 . 3 2 .