Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

202

ГЛ.

6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ

Возвращаясь к исходным z, s, а, а,

у и Р

=

Q x t 7 A r , мы

видим,

что

а(у) — a(<7(s)-1) =

[s,

К] =

а

на

Q o b .

Отображение

fla

»—»• flaU

определяет

теперь автоморфизм

поля

^yj V

пад полем

который

индуцирует

бнрациоиальное отображение

/ '

кривой У#

в

V$(v\

определенное, очевидно, всюду на Y'N

п

удовлетворяющее

равен­

ству

/ ' о X

=

Х° о JPP{y).

Из

(3) и

(4) мы получаем соотношение

cp'(z)0 =

/'[cp'(a - 1 (z))],

в

силу

чего

XaWP(z)a]

= / , [ Х [ ф Р ( а - 1 ( г ) ) ] ]

=

=

XalJPP(y)[<?P(a-\z))]}.

Согласно

утверждению

(5), фР (г)° =

/рр(г/)[фр(а_ 1 (г))].

Полагая

R =

аРа~г

=

q(s)Pq(s)~1,

получаем

Ф Р ( * ) °

= / р р ( г / ) [ / р л ( « - г ) [ ф Й ( 2 ) ] ]

=

/ р П ( ? ( 5 ) - 1 ) [ ф п (Z)].

Эта формула справедлива для Р =

Q*UN

при произвольном N >

положительное

число N >

2,

что

Q* (7 Л - с : S1. Поэтому,

полагая

/> =

QX £/\Y п

Г

= g(s)iSg(s)- 1 ,

находим,

что

(6)

ф 5 ( 2 ) в

=

/ З Р ( 1 ) ° [ ф р ( г ) а ]

=

/ S p ( l ) ( J [ / p f l ( g ( s ) - 1

) [ T R

(z)]]

=

=

J S R ( 9 ( в ) - х ) [ ф я

( z ) l =

/ S T ( ? ( S ) - 1 ) [ / T R ( 1 ) [ ф л ( г ) ] ]

=

= / S r(?(s _ 1 ))[tPr(z)] .

Пусть

/ i — произвольный

элемент

поля ^ , определенный и конеч­

ный

в

точке

z.

Тогда / i =

/

о cps

при

некоторой

группе

S (; S

и некоторой функции / на кривой Vs,

рациональной пад ks

и опре­

деленной в точке Фа(г). Поэтому

в

силу

(6.7.6)

(7)

h(zf

=

А Ф 5 ( 2 ) а )

=

/ а ( / 8 т ( д ( 5 ) - 1 [ ф Т ( 2 ) 1 ) =

/тйСН) (z).

Из формул (6) и (7) мы заключаем, что

q>s(z)a

ы Hz)a

зависят

толь­

ко от s, т. е. только от ограничения

а на КаЬ.

Поэтому cps(z) и

и р ­

рациональные функции

над

Каъ,

ы можно

заменить а

иа

[s, К]

в (6) и (7) и, таким образом, получить утверждения

(ii) и (i) тео­

ремы 6.31.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.33. Пусть

обозначения

имеют тот

же

смысл,

что в теореме

6..31,

S £ % и

W =

{s

6

К*Л

I q(s)

6 5 } .

Тогда

К •ks((ps(z))

—

подполе

поля

КАЪ,

соответствующее

подгруп­

пе K*W группы

КА-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

s £ КЛ

и л

=

[s,

К].

Тогда

я =

a(q(s)~1)

на

Qa /,. Если s

£ W,

то

я

=

i d на

ks.

В силу

свой­

ства

(6.7.9) и утверждения (ii) теоремы 6.31 фв(г)л =

фв (г),

так что

элементом

группы К? .) Поэтому Zp =

Zpg(Sp1)| для всех р, так

что <?(s_1) £ = t

при

некотором t

из

U.

В силу утверждения (i)

теоремы 6.31

ГаЫ°

= (Га)^

U-^o))

=

(/а)Т < ( )

« ) •

Так как sp =

1 для всех р,

делящих N, то at = я.| mod Zp для

всех р,

делящих N. Так как идеал Ъ взаимно

прост

с N, то £ £

6 G L 2 ( Z P )

для

всех

таких р. Поэтому

(/а)т < 0

= /ь,

где

Ъ — эле­

мент, описанный выше. Доказательство закопчено.

ЗАМЕЧАНИЕ.

ЕСЛП

Ь — целый

идеал,

то a i

об "

так

что

6 M 2 ( Z ) .

В

этом случае Ъ =

а\,

так

что

(6.8.1)

/t(zo)a

=

fUl~\4)).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.35. Пусть gt

и g% — автоморфные

формы веса к

относительно

группы Г =

SL 2 (Z), отличные

от О,

и а, — произ­

вольный

элемент

группы

Gq+. Положим

S = Q ^ c i - 1

U a f| U)

и h =

(gi

I [ a l h ) / g 2 ,

где

gi

[а]ь

d e t ( a ) f t / 2 g 1 ( a ( z ) ) / ( a , а ) - *

(см. §

2.1) u символ

U имеет тот же смысл,

что в § 6.4.

Предполо­

жим,

что коэффициенты

Фурье

разложений

для g^ и gz

относи­

тельно

е 2 д ' г

рациональны.

Тогда

h £ %s.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Можно

найти

такие

элементы

у п 5

группы Г, что

a = у$8

и

В =

"гт

О"

Тогда

О

при г £ Q, т £ Z.

(gt I [ Р № г =

h о б" 1 и

QX (B_ 1 C/B П U) =

бЯб"1 .

Поэтому

доста­

точно доказать утверждение для В. Другими словами,

можно счи-

тать, что a

~гт 01

Тогда а ^ Г а П Г = Г0 (то)

и h(z) =

О

6.9. ДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ГРУППЫ G

205

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.36. Пусть

gu

g2,

а и h те же, что

в

предложе­

нии

6.35,

и Аг, а,

Ь, colt со2 ,

z0 ,

а,

СN

те же,

что в

предложе­

нии

6.34.

Предположим,

что

det(a)

= N

и

а £ M 2 ( Z ) .

Тогда

h(z0)

£ Cjy.

Кроме

того,

существует

элемент

т| группы

GQ+,

удов­

летворяющий

следующему

условию:

{*)

1]

1

—

базис

идеала

аЬ - 1

над Z

и а н а - 1

£ G L 2 ( Z P ) Зля всех

р,

L W 2 J

N.

делящих

Если

т| удовлетворяет

условию

(*), ?no /i(z0 )°

= /г(т](г0 )).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

5 =

Q*(a _ 1 i7a

f]

С/)-

Сог­

ласно

предложению 6.35,

h £

g-s . Заметим, что

UN cz

a^Ua

("| U;

следовательно, h £ g s .

Поэтому

/г(г0 ) £ С я , как отмечалось

в

нача­

ле

доказательства

предложения

6.34.

Возьмем

<в|, со^,

|,

s

и

£,

как в предложении 6.34 и его

доказательстве. Положим L =

Z 2 .

Так

как t

£ U, то

группа

LlLat

изоморфна группе L / L a и L a i =

Fcoi

Так как

<xyt~ya~x 6 U. Положим и =

у ! - 1

. Тогда

г)

= £ для всех р, делящих

то а л а - 1

L W 2

для всех таких

N,

Е G L 2(Z p )

ряющего

условию

(*).

Пусть

теперь

п — произвольный элемент,

удовлетворяющий

условию

(*). Возьмем и - 1 в качестве элемента £,

рассматривавшегося

^(s"1 ))]"1 = t

при t £ U. Поскольку sp = 1 для

всех р, делящих

N,

имеем л - 1

=

tp для всех таких р,

так что atpa~x

£ G L 2 ( Z P ) . Последнее

включение верно также для всех р,

не делящих N, так как det(a)

=

=

N

и a

£ M 2 ( Z ) .

Поэтому a t a - 1

6 С/; следовательно, t £ a - 1 (7a |~|

Л

U <zz S.

В силу утверждения (i) теоремы 6.31

/i(z0 )f f

=

(z0 ) =

Л* СО (n(z0 )) =

/I(TI(Z 0 )),

так

как

h £ g s .

Доказательство

закончено.

Для каждого

х

£ GA обозначим через х0

проекцию этого

элемен­

та на G 0 . ЕСЛИ

a

£ GQ+, ТО элемент т(а) =

т ( а 0 ) определяется равен­

ством /Vе№ = h о а

для h £

Если a £ GQ И det(a) <с 0, то

символ