Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

§ G.9. ДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТА ГРУППЫ G(

207

точка группы q(Kx)

на полуплоскости

<д. Пусть

9} —

нормализатор

группы

q{K")

в группе

GQ.

Тогда

(1)

[3h q{IC)\

=

2 ;

( 2 )

det(a) <

0

к

cc(z)

=

z

для

каждого

а 6 31 —

(3)

h(z) =

/гх<ао) (z)

для

каждого

h е Й' u

каждого

а 6 31 —

q(Kx).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

соответствии с рассуждениями

§ 4 . 4

существует

такой

элемент

р

группы GQ, ЧТО det(P) <с 0 ,

P(z) =

z

и q(a)

=

Р"х ?(а)Р

для всех а 6 J5T. Тогда р 6 Зс — q{Kx).

Пусть а

6 ft-

Так как a~kq(K)a

=

можно

определить автоморфизм

а

поля

К равенством q(aa) = a~1q(a)a

для

всех

а е К.

Если

а =

i d ,

то

элемент а должен содержаться в группе q(K), потому что q{K)

совпа­

дает со своим коммутатором

в

M 2 ( Q ) .

Поэтому,

еслп

а (f q(K),

то

аа — а для

всех

а е К, так

что

a^~1q(a)

=

дг(а)аР- 1 для всех

а 6 Я .

Тогда

а р - 1

£

Поэтому

91 =

q{K*)

(J ?(^Х )Р;

следовательно,

доказаны

утверждения

(1)

и

( 2 ) . Последнее утверждение

следует

из утверждения

(i) теоремы

6 . 3 8

и из ( 2 ) .

ЗАМЕЧАНИЕ 6 . 4 0 .

Так как группа G_JQXG«,

естественно изоморфна

группе

G,.i+/Q*Gco+,

можно

определить такой гомоморфизм т' груп­

пы G..i

в

группу

Aut(g)

с

ядром

Q*G«.,

что т =

т'

на

G A + .

Однако

ных свойств ( 6 . 6 . 2 ) . Чтобы

в этом

убедиться, возьмем

и а 0 , как

в теореме 6.38, и положим

а — а0а^.

В соответствии с

утвержде­

a(a») =

a ( a 0 ) _ 1 =

т ( а 0 ) - 1 =

комплексное сопряженпе (на Qa b)-

С

другой

стороны,

т'(сбсо) =

i d согласно нашему определению, так

что

т'(схоо) ф ст(а<»)

на Qa {,.

Поэтому для рассмотрения группы GA В целом необходимо (и это

в поле %. Сделать это можно так. Пусть <§-

обозначает нижнюю ком­

плексную

полуплоскость, т. е.

<§- =

{z 6

С | Im(z) <

0 } .

Для

каждой комплексиозпачной функции /, определенной или на ,<g,

или

на

зададим /*

равенством /*(z) =

/(z). Положим

Г =

{/*

i / e g } ,

=

% ©

%*

=

{(/. g)\fe%,

ge%*}-

20S

ГЛ.

6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО

УРОВНЯ

равенствами

(/,

/г*)М*> =

(/«*),

( X е

/ 6

д.,

/г

е

g.),

(/,

ft*)M*)

=

( № > ,

(/«*»>)*)

(а: 6

-

GA+,

/

6 g , h 6 Й).

Тогда легко

проверить,

что

А — гомоморфизм

и

( 6 . 9

. 1 )

Кег(л-)

=

Q*<?»+,

( 6 . 9

. 2 )

(я,

о)М«) =

а«*>,

а<*0)

(я € £ ь а 6

Qab),

( 6 . 9 . 3 )

г««> =

г о а

(г 6

Ш, а

6

GQ).

( 6 . 9 . 4 )

i(f^)

=

ие%,

хеGA*).

Ш = q(KAm

= q(K*A) U g( £ i)P ,

где Р —

некоторый элемент

из У1 —

q(K").

Тогда можно

определить

отображение

р:

G a l ( / I a b / Q )

равенствами

р(Ф))

=

К] для s £

КА,

р(Р) =

комплексное

сопряжение,

р(агР) = р(аг)р(Р) для

а: 6 (К-Кл).

Согласно

утверждению

(i)

теоремы

6 . 3

1 , утверждению

(3) след­

ствия 6 . 3 9 и формулам

( 6 . 9 . 3 ) и

( 6 . 9 . 4 ) ,

для некоторой фиксирован­

ной точки z

r(z)Pto)

= rM0(z )

(г 6

у£Ш).

Отсюда следует, что р — гомоморфизм.

Таким образом, мы получили

коммутативную

диаграмму

с точными

строками

1

—

q (Кй)

> Ш —>

Ш/q {КА) - Ь 1

\

1Р

\

1

—

Gal (Я о Ь /Я) - > Gal (/Ta b /Q) - > Gal (ff/Q)

1

§ 7.1.

Определение дзета-функций алгебраических кривых

и абелевых многообразий; цель настоящей главы

Пусть

V — проективная неособая кривая рода g, определенная

простого

идеала р поля

к обозначим через p(V)

кривую,

получен­

ную

из

V редукцией по модулю

р. Существует конечное множество

23 простых

идеалов поля к, обладающее следующим свойством: кри­

вая

p ( F ) — пеособая

(и

кратности один), если р (J ЯЗ. Можно

пока­

зать, что

род кривой

p(F) для таких р равен g (Шимура и Танияма

[ 1 ,

§ 10.4,

предложение

И]) . Дзета-функция Z(u; р(7)) кривой

p{V)

над полем вычетов

х Р

идеала р имеет вид

Z(u; \>{V)) =

Ff{u)/[(1

-

u)(l -

N(p)u)).

Здесь и — переменная,

Ar(p) — число

элементов

поля к Р

и

—

многочлен

степени 2g,

свободный член которого равен 1.

Дзета-

функция

кривой V над полем к (формально) определяется

как бесконеч­

ное

произведение г )

Us;

VIк) =

П

FP(N(p)-T\

где s — комплексная

переменная.

В действительности

можно

анало­

ство

ЗУ простых идеалов поля к, что

для каждого р (J ЯЗ' многооб­

разие

А обладает хорошей редукцией

по модулю р в смысле Серра

функции

многообразия р(А)

над полем хр задается равенством

F'v(u) =

d e t t l — Д-(яр) и].

*)

Х о т я мы п пренебрегаем

в рассуждениях «плохими» простыми идеалами

р,

па

деле

оказывается важным рассматривать и для них эйлеровы множители;

см.

§

7.9,

В.

Определим дзета-функцию

многообразия А иад полем к как беско­

нечное произведение

Us; А!к)

= И

да(р)-)-1.

Если А — якобиево многообразие

кривой V, то его можно

опреде­

лить над тем же полем к, над которым определена кривая V.

Кроме

так,

чтобы 23'с: S3. Далее, Fp =

F'p для каждого

р (? 23 (А. Вейль

[3]),

так что

А/к) по существу

совпадает с £(s;

V7/f).

делена, п, значит, приведенная гппотеза была

проверена в

следую­

щих

случаях:

(1а )

для

алгебраических

кривых

типа

ахт

- f Вг/П + 7 = 0

(А. Вейль [4]);

(1о) для эллиптических кривых с комплексным умножением (Дой-

рпнг [3]);

(1В )

для абелевых

многообразий с многими

комплексными умно­

жениями (Танпяма [1]);

(П а )

для

алгебраических

кривых,

изоморфных

пространству

Г\ф*

прп некоторых

конгруэнц-подгруппах

Г

группы

SL2 (Z)

(Эйхлер

[2], Шимура [2]) х ) ;

(Но)

для

алгебраических

кривых,

изоморфных

пространству

Г\ф* при арифметических фуксовых группах Г , получеипых

из ква-

тернионных алгебр (Шимура [5], [9]);

(П в )

для некоторых

многообразий, расслоенных над кривой типа

(П а , о)»

слои которых являются абелевыми многообразиями (в част­

ности, эллиптическими кривыми) (Куга и Шимура

[1], Ихара [1],

Делинь [1]).

Результат в случае (1в ) обобщает результат в случае (Т£) и, по су­

ществу,

результат

в случае (1а ). Аналогично

(По) содержит (П а )

в качестве частного

случая.

Дзета-функция

в

случаях

( 1 а , б, в)

г )

Этот результат

обобщен И. И. Пятецким-Шаппро [1*] иа случай любой

к о н г р у э н ц - п о д г р у ш ш

модулярной

группы. Более точно, доказано,

что если