Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 152

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 7.2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СООТВЕТСТВИЯ

211

является произведением нескольких L-фупкций Гекке с большими характерами *) чисто мнимых полей. С другой стороны, дзета-функ­ ция в случаях ( П а ] в,в ) является произведением рядов Дирихле типа гл. 3 или их обобщений. В данной главе мы обсудим случаи (1в ) и ( П а ) , уделяя большее внимание последнему случаю. Точнее, мы проверим сформулированную выше гипотезу для кривых Vs, опреде­ ленных в § 6.7, а также для абелевых многообразий СМ-типа, рас­ смотренных в § 5.5. В § 7.7 мы исследуем поля классов над вещест­ венными квадратичными полями, тесно связанными с дзета-функция­ ми кривой VS.

§ 7.2. Алгебраические соответствия на алгебраических кривых

Напомним сначала элементарные свойства алгебраических соот­ ветствий на алгебраических кривых. Для систематического знаком­

ства с этой темой мы отсылаем читателя

к книгам

А.

 

Вейля

[ 1 ,

гл.

V I I I ; 2]. Пусть

U и

V — проективные неособые

кривые,

опреде­

ленные над полем к. Под алгебраическим 1-циклом,

или просто

[-цик­

лом,

илн алгебраическим

соответствием,

па

U

X V

мы

понимаем

формальную

конечную

сумму

X =

г

 

г Д е

ni

6 Z и А г

— одно-

мерные подмногообразия па U X

Обозначим

через

 

 

 

1-цикл

V.

1Х

 

на V

X

U, который получается из X при отображении (и,

v)

i—»- (v, и)

пз U

X

V в V х U. Под 0-циклом, пли дивизором,

 

на U мы понимаем

формальную конечную сумму с =

i

 

г Д е тгц^.Ъж bt

£

U. Поло-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

жим

cleg(c) =

2 mi-

Д л я

таких X

и с можно определить 0-цикл

Xlc]

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на

V равенством

 

Xlc]

=

piy IX-{с

X

V)],

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где piy

 

 

 

 

 

 

V) — произве-

— проектирование из

U X

V иа V и X *(с х

деиие-пересечепие циклов

X и с х

V.

Определим целые числа

d(X)

и d'(X)

равенствами

=

р Г

и ( X ) ,

 

 

 

p r v (X)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d(X)U

d'(X)U

=

 

 

 

 

 

(см. А. Вейль [2]). Грубо

говоря, d{X)

(соответственно d'(X))

—

это

число

слоев

цикла

X,

рассматриваемого

как

накрытие

 

кривой U

(соответственно У). Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

deg(X[c]) =

 

d(X)-deg(c).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть W — другая неособая проективная кривая и У — некото­ рый 1-цикл на V х W. Тогда можно определить 1-цикл Z = У о X па U X W равенством

Z = V r U x W [(X х W)-(U X У)].

г ) В оригинале GroPen-characters.— Прим. перее.

14*

212

 

 

 

ГЛ 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

 

 

 

 

 

 

Цикл Z однозначно характеризуется следующим свойством:

 

(7.2.1) Z(b)

=

YlX(b)]

для каждой

точки

b £11

и

*Zlc]

=

*Х['У[с]]

 

для каждой точки с £ W.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому

'2

=

' I = 'У.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Цикл

X

называется

собственным,

если

он

не

имеет

компонент

вида а X

У при а £ U или U X b при Ь 6 У- Легко видеть, что цикл

Y

о X — собственный,

если таковы

X

и

Y.

Кроме того,

если

X

и

X' — собственные 1-циклы на U

X

У и

Х{а)

=

Х'(а)

для общей

точки а на

(7 над полем рациональности для

£/,

У,

X и X ' ,

то X

=

=X ' .

Пусть

Ац

(соответственно

Av) — якобпево

многообразие кри­

вой

U (соответственно

У) и / у

(соответственно

/ г )

—

каноническое

отображение из

U

в

^

(соответственно

из

У

в Аг).

С каждым

1-циклом

X

на

С/ X

У

можно

связать

некоторый

элемент

Н. из

Нот(Ли,

Л у ) ,

для

которого

из

равенства Х[и]

=

2

vi

П Р И

и £ U

и i>; g У следует,

что

 

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ ( / i / ( " ) ) = 2 / v 0 > i ) +

c,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

где

с — некоторая

точка многообразия

Av,

не зависящая

от и.

Если

А: — поле

рациональности

для U, У н

X,

то

 

 

и yly можно

выбрать

рациональными

над

к.

Отображения fv

и / у

могут не быть

рациональными над к, но легко показать, что морфпзм £ рационален над

 

Для

произвольного проективного многообразия Z обозначим

через 3{Z)

векторное пространство голоморфных

дифференциальных

форм степени 1 иа Z. Если

U, У и X

те же, что выше, то с циклом X

можно

следующим

образом

связать

линейное

отображение

 

8Х

из

3)(V)

в 3)(U).

 

В

силу линейности

достаточно

рассмотреть

случаи

неприводимого X.

Пусть

к — поле рациональности для

U,

У и

X.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

Возьмем

общую

точку и

кривой U

над к и положим Х[и]

=

2

vi

при

Vi £ У. Пусть

W — проективная

неособая кривая с общей

точ­

кой w над алгебраическим замыканием /с1 поля к, для которой k^w)

=

=

кх{и,

Vi, . . .,

ve).

Пусть р (соответственно qt)

— морфизм

кривой

W в кривую U (соответственно

У), определенный условием p(w)

=

и

(соответственно qi{w) = vt)

над /q. Можно показать, что для

произ­

вольной

формы

е 6 3){V)

существует такой единственный

элемент

£ о X

(также обозначаемый через бХ(е))

множества 3)(U),

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(еоХ) ° р = 2

е°<7<-

 

 

 

 

 

(По

поводу

обозначения е ° qt

г=1

 

 

 

 

 

 

см. § 5.1 и дополнение 8.) Если

 

 

/и,

Лу, / у те же, что выше, то отображение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЩАу)

Э со

со o / v

6 ^ ( У )

 

 

 

 

 

§

7.2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СООТВЕТСТВИЯ

213

является изоморфизмом и

 

 

 

 

(СО о fv)oX = (СО

о | )

о / U t

 

где | — элемент

множества H o m e l y ,

Av),

ассоциированный

с X.

(Детали

доказательств

этих утверждений см. в книге Шимуры и Та-

ниямы [ 1 , § 2.9, предложение 91.) Другими словами, диаграмма

 

 

3}

(Ay) — U 3) (Аи)

(7.2.2)

б

М

\Ыи

 

 

2>(V)—-+2)(U)

где б — действие отображения (или соответствия) иа дифференциаль­ ных формах (см. дополнение 8), коммутативна.

Обсудим теперь специальный тип соответствий для кривых, пред­

ставляющих собой модели верхней полуплоскости по модулю

фуксо-

вых

групп первого рода. Зафиксируем

семейство "§ = { I \ | X £ Л }

попарно соизмеримых подгрупп группы SL 2 (R), являющихся

фуксо-

выми группами первого рода, и обозначим через Г множество

таких

элементов а группы GL|(R), что подгруппа а Г а - 1 соизмерима с Г

для

какой-то группы Г из множества

(см. § 3.1). Заметим, что

множество Г не зависит от выбора группы Г и все группы из §

имеют

одно и то же множество параболических точек (предложение 1.30).

Пусть

— объединение

полуплоскости

<д с

этими параболиче­

скими

точками. Для каждой

группы 1\ £ 3

зафиксируем

модель

(Уъ фх) простраиства

ГД^д*

в

смысле

§ 6.7

и для

Гя ,

Г ц £ "§,

а 6 Г положим

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.2.3)

X = Х(Г,ссГй )

=

{cp^z)

X Ф*(а(г))| г 6

V*

X

7,)-

Легко проверить, что Х(Г? аГц) — собственный 1-цикл и, более того, абсолютно неприводимая кривая па V^ X IV , этот цикл зависит только от класса Г^аГр, и не зависит от выбора элемента а. Если

е

 

 

 

 

 

Г^аГр, = (J 1\аг

— разделенное

объединение

и I \ f] { ± 1} =

= I V П { ' i i } . то

 

 

 

 

(7.2.4)

X [ Ф д (z)] =

S Ф , ( а ; ( 2 ) ) .

 

Поэтому, если определить deg(r ? . ar ( i ), как в

§ 3.1, то

(7.2.5)

d(X(I\aIY))

=

е =

deg(I\aIV).

Далее, легко видеть, что

 

 

 

 

4 ' ( I \ a I V ) = Х ( 1 > - Ч \ ) = Х ( 1 > 4 \ ) ,

где i — главная

инволюция алгебры

M 2 (R) (см. § 3.3).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.1. Предположим,

что

 

ГхП { ± l } = l V n ( ± l } = r v n { ± 1 }

214 ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

 

 

 

 

 

 

( I \ a I Y M I V p r v ) =

2 с6 .1\£Г„,

 

 

 

 

 

где с£

£ Z н закон умножения

понимается в смысле § 3.1.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

х

(i>rv) о х (ivprv ) =

YjCVX

 

 

 

.

 

 

 

 

 

Это легко проверить, применяя соответствия на

cpv(z)

п

учиты­

вая (7.2.1)

и (7.2.4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

 

S2(T\)

— векторное

пространство

всех

параболических

форм

веса

2

относительно группы 1\ (см. § 2.1). В

следствии

2.17

мы видели,

что

отображение

/(z) н-»• f(z)dz

является

изоморфизмом

пространства

£2 (1\)

и

а

^ ( Г Д ф * ) .

Точнее,

если

различать

Vx

п

 

 

 

 

то

изоморфизм

£2 (1\)

Э / |—*" е 6 ^ ( F J

получается

из

соотношения

/(z)dz

=

е ° ср?.. Покажем

теперь,

что

диаграмма

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[Г^аГ ] 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.2.6)

 

 

 

 

 

 

5 2 ( Г 0

— 5 2

( Г Ц

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бА'(Г^аГ

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2? (Fx)

(7ц)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

коммутативна

(здесь

 

[ Г ^ а Г ^ —

отображение,

определенное

в

§ 3.4).

Положим

Г =

е

 

 

 

где

а*

те

же,

что

выше.

П аТТ^сс; П Г й ,

Пусть

(W,

ip) — некоторая

модель римаповой

поверхности

Г\.ф*.

Определим морфизмы р: WV^

и qt:

WV%

равенствами р о ip =

=

Фи и дг

о \р =

ср^ о а,-.

Если положить и =

фц(г) и уг

=

ф^аДг)),

то

мы заметим, что ситуация в данном случае та же, что и при опре­

делении

отображения

ЬХ.

Поэтому,

если

/ £ S 2 (I\) и

 

е £ 3)

(V})

таковы, что f(z)dz

=

г ° ф}.,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 о Х о ф^ = ( е о Х о р ) о 1 р =

ее

= 2 е о д £ о г р = 2 е о ф я в а г =

i = l

г=1

= 2 (/

00 dz) оа г = 2 / (a* (*)) det (а,) у (a,, г ) " 2 -

i = l

i = l

=/ | [ I \ a r , J a >

аэто доказывает коммутативность диаграммы (7.2.6). В частности,

если X = р., то в силу (7.2.6) и (7.2.2) собственные

значения операто­

ра [Г\а1\]2 совпадают

с собственными

значениями эндоморфизма £

многообразия Ах,

ассоциированного с

X(±\al\).

Таким

образом,

(7.2.7) собственные

значения оператора

[1\а1\]2

являются

целыми

алгебраическими

числами.

 

 

 

 

 

 

§

7.3. МОДУЛЯРНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ

НА

КРИВЫХ

 

Vg

 

 

 

215

 

 

 

§ 7.3. Модулярные соответствия на кривых

Vs

 

 

 

 

 

Модифицируем теперь

проведенные

рассуждения

применительно

к

группам

Г 8 ,

определенным

в

§ 6.7. Пусть

S то же,

 

что

в

§

6.7,

и

T's =

R x r s

П

SL 2 (R) .

 

Тогда

группу

преобразований

 

r s / Q *

на

полуплоскости

jg можно отождествить с группой Г 5 / { ± ' 1 } -

Пусть

{^s>

Фэ> J T S ( x ) i

(£>

Т

6 2 ;

ж 6

 

 

 

те

 

же,

что

в

§

6.7.

 

Мы

можем

рассматривать

 

J

T S (

X )

 

к а

к

собственный

1-цпкл

иа

 

многообразии

Vs

X

V

T

X \

рациональный над

ks.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

S £ S,

Т 6 2

и

ж £ GA+.

 

Положим

W =

S П ж^Гж.

Тогда можно определить собственный 1-цикл

XTS{x)

 

на

Vs

X

Уг< ж >

равенством

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.3.1)

 

 

 

 

XTS(x)

 

=

/ г и , ( ж )

с

V s

w ( l ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.3.2)

 

d(XTS(x))

 

=

ITS

: r

w ]

,

 

 

d'(XTS(x))

 

=

[Tx-iTx

 

: I V ] .

Заметим

также,

что

XTS(x)

 

— образ

кривой

Vw

при

отображении

( / S w ( l ) ,

JTwix)),

 

т -

е.

геометрическое

 

место

точек

 

Jsw(l)(v)

X

X JTW(x){v),

 

где

у — общая

точка кривой

Vw.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.2.

Циклы

XTS(x)

обладают

следующими

 

свой­

ствами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

Цикл XTS(x)

абсолютно

неприводим

и рационален

над

полем

kw,

где

W

=

S

П

х^Тх.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

XTS(x)

 

=

JTs(x)>

 

е с л и

S cz

 

х~хТх.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

XTS(x)

 

= ' / s r ^ " 1 ) ^ ) ,

если

x~xTxcz

 

S.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4) Цикл XTS(x)

зависит

только

от класса

TxTs.

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

Если ks

=

kw

для

W

— S f] х~гТх,

 

то

цикл

XTS{x)

 

 

зависит

только от

TxS.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

XTS(a)

 

= Х ( Г т а Г з ) ,

если

а

6 GQ +.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7)

XTR(xy)

=

XT S (a;)««i')o/S H (y)>

 

если

 

г/ € G J +

и

 

Д

=

у-^г/.

 

(8)

XRS{yx)

=

 

JRT(y)aW

 

° Х Т 8 ( ж ) ,

если

 

г/ £

 

и

 

Л

 

=

 

 

 

(9) <ХГ З (ж)

= Х ^ ж - 1 ) * * ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Свойства

(1),

 

(2), (6), (8) следуют непо­

средственно из определения. Для доказательства (9) положим

W =

=

S П ж^Гж

и Р

=

жИ'ж"1

=

Г П zSar1 . Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z s r

( . C - i) 0 ( K )

=

J

S

P (x-if(x)

 

о *jTp

(1)<™ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

/ S v r (1) ° J W

P it'1)0™

 

° ' / T P (i)***

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

J

B

W (1) ° Vp„r

(Ж) о « / r p

( l ) ^ 0

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Jsw ( 1 ) ° % , у ( ж )

=

(

Х г 5 ( ж ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойство (7) получается из (8)

и (9); (4)

и

(5) вытекают

из

(7)

и

(8),

а (3) — из

(2) и (9).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы