Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

216

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.3.

Пусть

S 6 S,

Т 6 S,

# 6 Сл+

и

W

=

= 5 П х -

1

Га'.

Тогда

следующие

три

условия

попарно эквивалентны:

(1)

/ l v

=

(2)

S =

И Т 8 ;

(3)

TxS =

T x r s .

Ясли

эт и условия

выполнены,

то

d(XTS(x))

=

IS : W\ =

[ r s

: r V l .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

силу

леммы

6.17 kw

= ks

тогда

и только

тогда,

когда

WQ+ =

SGQ+.

Поэтому первые

два условия

эквивалентны.

Далее,

еслп

S =

WTS, то

Sczx^TxTs,

так что

x~xTxS

= х~гТхТ8;

следовательно,

TxS =

TxTs.

Обратно, если

TxS =

TxYs,

то х-1 TxS =

x^TxTg

и

S с= S |~|

П (а_ 1 ГхГс.) =

И7 Ге ;

следовательно,

£ = И7 ГВ . Так как Г,г =

= Г в

П W, то [ Г 8 : Г „ - ]

=

IS:W],

если S =

\УГ8. Таким образом,

в силу (7.3.2) последнее утверждение доказано.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.4. Пусть

R, S, Т £ % и х, у £ GA+- Предположим,

что TxS = TxTs,

SyR =

SyTR

и

TwR = ГюГд для каждого

w 6

е: TxSyR.

Пусть (TxS)-(SyR)

У\ cw -(TwR)

при cw £ Z e смысле зако­

на умножения,

определенного

в § 3.1.

Тогда

XTS{x)°M

о Х в я ( ! / )

=

Е с ю - Х г д И -

<? = y^Sy,

Р =

j

/

- 1

^ -

1 ^ ,

М = а ; - 1 ^ ,

/ ? П < ? = ^ , ^ П ^ =

В

силу предложепня 7.3 kR = kw

п A,Q = kz\ следовательно, QR =

=

<?ГЙ

п PQ = P r Q . Поэтому

(PQ)-(QR)

= 2 < v ( / V ? ) ,

где cv

£ Z

п у —

элемент из TQ. Н О тогда непосредственно можно показать, что

(TxS)-(SyR)

=

YjCy-TxyyR.

В силу свойства (8) из предложения 7.2 имеем

XTS(x)

=

JT^(X)

°

XMS(1),

XRS(y)

=

JSq{y)

°

X Q f l ( l ) ,

откуда

ZT S (x)«C/) о XSR(y)

=

/ r

„ W » l » )

о XMQ

(У) ° X Q n ( l ) =

=

/ т ж ( ^ (

! / > % / Р Ы ° X P Q ( 1 ) о XQR(l)

=

=

JTP(x,

у) о XPQ(1)

о

XQR(1).

Пусть теперь Г п = \ J T W В; и r Q =

ЦГ2

at

— разделенные объедине-

ния. Тогда OR =

UCfb' u

PQ — \)Pai — также разделенные

объеди-

нення. Возьмем

}

i

Q*> то

z £ ,g.

Так как Г н fl R* = Г\у П R* =

§ 7.3. МОДУЛЯРНЫЕ

СООТВЕТСТВИЯ НА КРИВЫХ

Vs

217

' J W ( l ) W z ) l

= Зфиг (Р^)) ,

ТаК

ЧТО

ад1)[фд(2)]

=

2 Ф < г ( Р ; ( 2 ) ) .

}

}

По тем же соображениям имеем

(z)]] = S ФР (а,р, (z)).

XPQ

(1) [XQR (1) [ Ф д

г, }

Из определения произведения (PQ)-(QR)

(см. § 3.1) следует, что

XPQ (1) о X Q R

(1) =

^суХрн

(у);

поэтому

XTS

(x)a(v)

о XSR (у)

=

S

< V / T P

to) ° ^ P R (V)

=

=

^cy-XTR

(xyy).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.5.

Пусть

W = W0G«,+

и

W' = W'0Gco+,

где

WQ

и W0 — компактные подгруппы

группы

G0.

Тогда

QXW

[} OlxW

=

QX({±1}W(]

{±1}W}.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть ах = by,

где а £ Q, Ь £

Q, ж 6 TF,

г/ 6 W .

Тогда

а8 /Ьа =

detfaar1 ) 6 Q" П d e t ( W 0 ^ C » + )

= { ± 1 } ,

так что a = +tV,

следовательно, x = ±J/. Предложение доказано.

Положим Up = G L 2 ( Z P )

для каждого

рационального

простого

числа р

и

с7 = Gx+x[[Up, р

9 =

R x J I Z p ,

Р

(7.3.3)

8

=

R x x i i z ;

р

X

R X + x H z ;

( R x + = : { a : e R 1 < | ^ > 0 } ) .

v

Для элементов

а = (ар)

и b =

(bp)

группы

g и для целого положи­

тельного

числа s будем

писать

а =

b mod(s), если ар— Ър

6 sZp

для

всех

р.

218

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

,

f Га

Ъ

c = 0mod(/V), b =

0 m o d ( i ) } ,

(7.3.5)

1Г-{

с d

eU\deb*,

s =

qxu'.

Тогда

5 6 S ,

det(tf')

= 8 *

и

Q*.del(S) =

Q*-g+ x

=

так что

ks = Q. Положим Г

<

G Q

П U'. Тогда

"а Ы

(7.3.6)

с d

6 S L 2

(Z) | а 6 IVм, d e l ) ' ,

с = 0 mod

(N),

Ь =

0 mod (t) \ ,

Поэтому Г' есть не что иное,

как

группа,

определенная

равен­

ством

(3.3.2). Отметим,

что в

данном

случае t)* соответствует

един­

ственной подгруппе группы (Z/NZ)*,

которую в (3.3.2) мы обозначали

через

Ij. Будем

также

рассматривать

полугруппу

(7.3.7)

Д' =

{

*

* 6 M 2 ( Z ) n G Q + | a e i y \

c =

0mod(/V), b = 0 m o d ( o } ,

совпадающую

с

(3.3.3).

ЛЕММА

7.6."

det(£/p

f) x~*Upx)

=

Z£

для]

каждого x 6 <3L2 (Qp).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Можно

найти

такие элементы

у

и z

группы Up,

что

yxz = a

" 1 01

« 6 Q P

и b£Zp.

Положим

и =

"1

0

0 Ъ

при

0

Тогда

Ъ

"1

0

z-1

(Up П х-Щрх)

z

0

с eUpp] v-47pv

=

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.7. Б

прежних

обозначениях цикл

Xss(a)

рациона­

лен над Q при любом а

Е А'.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

силу утверждения

(3)

предложе­

ния

3.32

Г а Г ' =

(Г'1Г')(Г'т)Г'),

где а

Е А' и

1

0"

"1

0"

1 =

mod (TV),

(q, Ю

.0

q.

0

т

§ 7-3. МОДУЛЯРНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ Н д КРИВЫХ V s

219

жения

7.1

и

свойства

(6)

из

предложения

7.2

Z s s

( a )

=

Xss(%)

°

о

Xss(r\).

Поэтому достаточно доказать наше утверждение для £ и т|.

"о

О'

Что

касается

матрицы

т|,

то

О 1

6 U'

П Л ~1 С/'т] Д л

я каждого

о- 6 3+

;

следовательно,

Qx

о det (5

f] тр^т])

— Q A -

В

силу

свой­

ства (1)

из

предложения

7.2 цикл

Xss(r[)

определен

над

полем

Q.

Рассмотрим матрицу |. Если р не делит iV, то det(t7p f| £- 1 Е/р£)

=

=

Zp в силу леммы 7.6. Если же р делит N и С/р

— проекция груп­

пы

С/',

на

группу

G P

,

то

группа

E7J, П £ _ 1 # р£ .

содержит

матрицу

~а 01

Q

^

для

каждого

а 6 Zp. Поэтому

det((7'

(~l

fe_1#'£)

=

g x ,

так

что

Qx odet(5' П l - 1

^ ) =

Q l -

В силу свойства (1) из предложения

7.2

цикл

X s s

( | ) рационален

над

Q. Доказательство

закончено.

Пусть

q — целое число, взаимно

простое с N,

и aq

— такой

эле­

мент группы SL2 (Z),

что

(7.3.S)

1

0

mod

(N)

(см.

(3.3.10)).

0

д2

Мы видим, что OqSdq1 =

iS, и Jss(°q)

имеет смысл и является рацио­

нальным циклом над ks

= Q. Заметим также, что цикл

JSs(ag)

зависит только

от класса вычетов числа q по модулю N и не зависит

от выбора матрицы

aq.

:о

-

Г

ПРЕДЛОЖЕНИЕ [7.8.

Пусть

т

=

N

0

^ =

( { + 1 } - Г ) П П 2

Р

и

к —подполе

поля

Qa b,

соответствующее

подгруппе

Q

. руп-

пы

Q.<i.

Тогда

XSs

(т)—бирационалъный

автоморфизм

кривой

У 5 ,

рациональный

над

к.

Кроме

того,

если

Л

2

л {

^ ) ,

£

)

=

e

2ni

'

N

&г = Q ( е

1 1

Р (?)—элемент

группы

Gal (kN/Q),

для

которого

£р(9)

=

£9,

то

Xss(x)=X8s

(xf4)°JSS

(Oq).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

l)' = Rx[)o

и

W

а о

eU\aey,

d£ty,

b =

0mod(t),

c = 0mo d

S

П т - ^ т

= Q X ( Z 7 ' { ± 1 } П T - ^ ' x f + l } )

=

<}ХТУ.

Так как

det (ТУ) =

R*b;,

то отображение

Z s s ( x )

рационально над к

в соответствии со свойством (1) из предложения 7.2. Далее,

т _ 1 5 т П

П GQ+ =

Q X Г' и т - 1 Г'т =

Г'. Поэтому

Xss(x)

= Х ( Г Ч Г ' )

- бира­

ционалъный

автоморфизм

кривой У 5 .

Пусть

у =

(ур) — элемент