Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

220

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

группы G0,

для которого ур равно

1 о

пли 1 в зависимости

от

того,

.0

делит

р число N или

пет. Очевидно,

aq1y

£

U', так что Jss(aq)

=

=

Jssly)-

Имеем

а(у)

= [ d e t ( i / ) - 1 Q ]

=

p(q)

иа kN, а

также

ту =

-

ifx

viif

£

U';

поэтому в силу свойств (4) и (7) из предложения 7.2

XSS(T)

=

XSs(xy)

= Xss(T)P«I)

О / S S ( Z / )

=

Z S S ( T ) P ( 9 )

О / s

s ( f f , ) .

ся

Алгебраическое

соответствие

Xss(a)

при

а g GQ+ часто называет­

модулярным

соответствием уровня

N.

Если S =

U (i.

е. уро­

вень равен 1) и а — примитивный элемент алгебры M 2 ( Z ) с определи­

телем

п в

смысле § 4.6, то модулярное соответствие Хиъ-{а)

можно

представить уравнением F „ ( X , J)

= 0, где F N

— многочлен пз (4.6.3).

W

— проективные неособые кривые,

X — собственный положитель­

ный 1-цикл на

U X V и Y — собственный положительный 1-цикл

на Y X W, причем все рациональны над Q . Предположим, что U, V,

W

— неособые

кривые,

а циклы

X,

Y

собственные. Тогда

$

(X ° Y)

=

X

о Y.

теля

к работе

автора [1], а также к книге ГДпмуры п Таниямы [ 1 ,

гл.

I I I ] . )

Зафиксируем теперь произвольную группу S из множества g,

имеющую вид

S =

Q*C/', где U' — некоторая открытая

подгруппа

в U,

a U — та же

группа, что

в (7.3.3). Отметим, что

существует

конечное множество

2 j s рациональных простых чисел р,

для каж­

дого пз которых справедливы следующие утверждения:

(7.4.1) Up<zz

U'.

(7.4.2) $Р (Vg) — неособая кривая для каждого сг £ Gal(/eS /Q)

и

каждого

простого положительного

дивизора\># поля Q, делящегочисло р.

(7.4.3) ^(Jss(c))

— бирегулярный

изоморфизм] кривой' ЩУ8)

в кри­

(7.4.4) Если

Si

=

Q'C/,

то

S($(/sis(l)) —

сюръективный

морфизм

из $

( F S l )

в

%{VS)

для

каждого

делящего р.

В

данной ситуации

7 S l

рассматривается

как

проективная

прямая

и

cpSl

—

как модулярная

функция

J из

теоремы

2.9.

Возьмем теперь рациональное простое число р, не принадлежа­

щее множеству

93s , и простой дивизор

поля

Q, делящий р. Пусть

л — автоморфизм возведения в р-ю

степень универсальной

области,

содержащей

поле

вычетов поля

Q по модулю 5$. Обозначим через

Ф 3

соответствие Фробениуса на Vs X

V%,

т.

е.

геометрическое

место

точек

а X а™ на

многообразии

Vs

X Vs

при

а £

Vs.

ТЕОРЕМА

7.9.

В прежних

обозначениях

и

предположениях

пусть

wp

— элемент

кольца

M 2 ( Z P ) , для

которого

det{wp) = р,

и

w —

эле­

мент

группы

G A , р-я

компонента

которого

равна

wp,

а

остальные

компоненты равны 1. Если

р £ SBS, то соответствие

Xgs^w*1)

рацио­

нально

над ks и

Xssiw-1)

=

Os +

'Ogo/ggfdetH-1 ).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

U" — проекция

группы

U'

на

[J Ut. Тогда

V

=

UPU",

так что wU'w-1

Г| V

= {wpUpw?[)

UP)U".

В

силу

леммы

7.6

detiwU'w1

f| U')

=

det(t7').

Следовательно,

ks = kY,

если

Y

=

ivSw*1

|~|

S.

В силу свойства (1) из

предложе­

ния 7.2 цикл Xssiw1)

рационален

над

ks.

Далее, можно найти бесконечное множество мнимых квадратич­

ных полей К, в которых распадается р.

Возьмем любое поле К

с та­

ким свойством

и нормализованное

погружение q поля К в

алгебру

M 2 ( Q ) ,

при

котором

g(ojc) с= M 2 ( Z ) ,

где Од —

кольцо целых алгеб­

раических чисел поля К. Пусть

z —

неподвижная

точка

группы

q{K")

на полуплоскости

и р =

5$ Г| К.

В силу предложения

6.33

композит К •/vs(tps(z)) является подполем поля Каь,

соответствующим

группе

К* -{s

£ Кл\ q(s) £ S).

Согласно

(7.4.1),

число

р

неразвет-

влеио

в

К 'ks{q>s(z))-

Пусть /vp — пополнение

поля

К в

точке

р,

up — простой

эле­

мент

поля

Кр

и

и — элемент

группы

К л,

р-компонента

которого

равна up, а остальные компоненты

равны 1. Пусть, далее,

ц. —

авто­

морфизм Фробениуса

поля Q над К относительно

дивизоров

$

и р.

Так как

ц = [и,

К] на ZiT-/«s((ps(z)),

то

в

силу

утверждения

(ii) тео­

ремы 6.31 cpslz)^ = /sr((7(l t )~1 fc Pr(z )b

г Д е

?

=

(z(w-)jSg(ii)-1. Поскольку

д(0я) с : M 2 (Z),

элемент

q[u)p

содержится

в алгебре M2 (Z,,)

и

имеет

те же элементарные делители, что п wp.

Поэтому

в

силу

(7.4.1)

8а{и)~г8

=

Sw_1S.

Выше

было

показано,

что

ks

=

kY

,

еслп

Y

=

Xss(w-i)

=

ХввШ-1)

= / S fi(g(u) - X ) о */ 8 Н (1 ) =

=

/ S r № ) - V / r f i ( l ) » ' / S R ( l ) .

222

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

Из установленного

выше включения <pT(z) X <Ps(zYl 6

sr(<z(l i )- 1 ) с л е _

дует,

что <ps(z) X

9s(z)^ 6 Xssiw1).

Положим а = s,p(<ps(z)). Тогда

а X а я 6 X s s ( I / J > _ 1 ) , и

потому / S i s ( l )

(а)

= 9si(z ) =

Л 2 ) -

Если Е -•

эллиптическая кривая, изоморфная тору

C/(Zz + Z), то J{z)

— инва­

риант

кривой Е.

Так

как число р

распадается в

К,

то

кольцо

но,

в силу (7.4.4)

бесконечное

множество

различных

точек а на

Vs,

для

которых

а X ап

£ Xssi™'1)-

Таким

образом,

Ф 5

c z

X s s ( u > - 1 ) . .

В силу свойства (9) из предложения

7.2

Xss{w)

= A " s s ( H > ~ 1 ) ( 7 ( " ' ) , .

откуда Xss(w)n

=

' X s s ( u > _ 1 ) .

Положим

с =

det(w),

wl = cw~l.

Так

как матрицы и-р и wp

имеют одинаковые

элементарные

делители,

то

SwlS

=

SwS,

так

что

Sw^S

=

Sw'-c^S

— Swc^S;

следовательно,

Xssiw1)

— Z . s s ( u ; ) a ( c _ 1 )

° ^ss( c _ 1 )

в

силу

свойства

(7)

из

предложе­

ния 7.2. Так как a(c_ 1 ) =

[с2 , Q] =

р 2

на ks,

то

X S S

(иг*) =

Xss

(wf-о

J

s

s

(c-i)

=

=

'Xss

(иг1 )" о Jss (с"1 ) о

*Ф% о Jss (с"1 ) •

Легко

видеть,

что

d{Os)

=

d'(4ps

о / ^ ( с - 1 ) ) =

1

и

а"{Ф8)

=

=

d(^l>s о Jssic'1))

=

р. Так как

циклы Ф 5

и ' Ф ^ о / s s ( c - 1 )

неири-

водимы и различны, то

(•)

Ф В +

'Фа о / ^ ( с - 1

) cz

Xssiw-1).

С

другой стороны,

[ 5 : ш^и;-1

f]

5 ]

< [£/р : wpUpu>?

П

*7Р ] =

р +

1.

Поэтому в силу предложения 7.3 d(Xss(w~1))

= d(Xss(w~x))

^

р -)- 1.

деле в (*) должно быть равенство. Доказательство

закончено.

СЛЕДСТВИЕ

7.10. Пусть

S

и U' те

же,

что

в

(7.3.5),

ар

— эле-

Г1

0"

мент

группы

S L 2 ( Z ) , удовлетворяющий

(7.3.8),

и

а-

Lo

P

J

'

"0

— Л

(1)

I s s (a) =

Ф 8 + 1Ф8

о / в 8

(Стр),

(2)

<ФВ о j f s s

(Op) = %

s

(т) о <Ф5 о X S

S (т).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим

сначала,

что Upcz

U'

тогда

и только тогда,

когда число

р не делит N.

Поэтому,

если

р (J 93,о,

§ 7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ Vg

223

то

р не делит N. Пусть у — элемент группы GA,

/J-компонента кото­

рого равна 1, а остальные

компоненты равны а.

Положим

а =

wy,

с =

&el(u>). Тогда

у1

£

U ' , y^Sy

=

S

и

а(у)

= o(w~1).

В

силу

свойств (7) и (9) из предложения

7.2

(*)

Xss(a)

=

Xss(w)a(i/)

о Jss(y)

= tXssiw-1)

о

Jss(y).

Поэтому

уОр1

6 U '

и

р

=

det(a) = cz/z/1. Таким

образом,

Jssic'1)

=

Jss(yyl)

=

Jssiy)

=

JSS{°P)-

Из

предыдущей

теоремы

и

соотношения

(*)

вытекает,

что

Xss

(а) =

'Xss

К 1

) о /

s s

(i/)

=

=

г Ф 3 ° / s s

(Op)

+ lfss

(Op) ° <DS ° /ss

(o-p).

Заметим, что ks

= Q, откуда Ф§ =

ФБ- Так как цикл JSS(°P)

рацио­

нален над

ks

=

Q,

то

цикл

Ф е

коммутирует

с Jss(ap)

в

силу

(7.1)

непосредственно из предложения 7.8

и из дополнения (равенство (7.1)).

§

7.5. Дзета-функции кривых

F s и множители

якобиева

многообразия кривой Vs

Определим теперь дзета-функции кривых Vs,

где группы S

берутся

из множества % и удовлетворяют (7.3.5),

а также дзета-

ми Гекке посредством соотношений сравнения из теоремы

7.9

или

из следствия

7.10.

ТЕОРЕМА 7.11. Пусть

U ' , S , Г'

те же, что в (7.3.5) и (7.3.6), a <QS

то же, что в § 7.4. Пусть

ор,

где р — простое

число, р $

обо­

значает элемент группы

SL<>(Z),

удовлетворяющий

(7.3.8)

(см. также

(3.3.10)),

иар

=

"1

01

g

. Пусть,

далее,

52 (Г") — векторное

простран­

ство

всех

параболических

форм

веса

2

относительно

группы

Г'

и [ Г " а Г ] 2

— действие класса Г ' а Г

на пространстве

S 2 ( T

' )

,

определен­

ное в (3.4.1).

Тогда

для любого р,

не принадлежащего

множеству

S5S,

дзета-функция

кривой p(Ys)

над простым полем задается

равнеством

Z(u;

p(Vs))

= [ ( 1 - и ) ( 1 - р и ) ] - М е 1 ; ( 1 - [ Г ' а р Г ] 2

и + р . [ Г « т р Г ] 2 и 8 ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Зафиксируем

простое

число

р $ 9SS

и простой

дивизор

поля

Q,

делящий р. Обозначим,

как

выше,

через X или через $Р(Х) объект, полученный из X редукцией по мо­

дулю

$|$. Пусть A s

— якобиево многообразие кривой Vs,

а Rt

(соот­

ветственно

Ri)

будет Z-адическим

представлением

кольца

E n d ( 4 s )

224

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

(соответственно

E n d ( / l s ) ) для некоторого простого рационального

ры и Таннямы

[ 1 , § 11], можно

считать, что Ri{X)

=

R'i(X)

для

каж­

дого

X £ E n d ( 4 s ) .

Пусть

я р

— эндоморфизм возведения

в

р-ю

сте­

пень многообразия

As.

Тогда существует элемент пр

кольца

E n d ( 4 s ) ,

ассоциированный

с

циклом

^Ф8

и

удовлетворяющий

равенству

ЛрПр =

р. Пусть |р, т|р и (3 — элементы кольца E n d ( / l s ) ,

ассоцииро­

ванные

с

A " s s ( a p ) ,

Jssi°p)

1 1

Xssi^)

соответственно. Тогда

из

след­

ствия 7.10 мы выводим, что

(7.5.1)

1л =

Яр^л*г|р,

(7.5.2)

j r j i i p - . p - ^ p .

Поэтому,

если

и — переменная,

то

[1 -

и • Ri (л.р)] [1-й.Ri

(P"4*p)] =

= 1 - м . Д | ( 1 Р ) - г - р « я - Д 1 Ы =

=

l - u . f l , ( g p )

-rpu2.R,(4P).

Так

как

преобразования

я р

и

Яр имеют

один и

тот

же

характери­

стический

многочлен,

то

del [i-u-Rl

( я р ) ] 2

del [1 -

и. Д, (£р ) -f- ри*- Rt (г|р )].

В описанной ситуации представление Rt

эквивалентно

представле­

нию

R0

кольца EndQ(.4s ) на первой

группе когомологий

многообра­

зия

. 4 S . Если

R — представлеиие кольца

EIIC1Q(^1s) на пространстве

3(AS),

то представление R0

эквивалентно прямой сумме

представле­

ния R и комплексно сопряженного к нему представления (см. допол­

нение 11). В § 7.3 было показано, что циклы A s s ( a p

) 1 1 Jss(ap)

рацио­

нальны над Q, так что £ р ы

Цр рациональны пад Q. По этой причине,

беря базис пространства 3>(AS)

над полем

Q, мы можем считать, что

Д(£р) п i?(r|p) —

рациональные

матрицы. С помощью этих двух

экви­

валентных

представленпй

получаем

det

[1-u-R'i

(яр)]2 = det [l-u-R

(|р) + puz-R

( n p ) ] 2 ,

откуда

det [1-u.Rl

(яр)] =

det [1 -u-R

(gp ) +

pu*-R{i\p)].

В силу

коммутативности

диаграмм

(7.2.2)

п (7.2.6)

можно

положить

R ( ^ P )

=

[ Г ' а р Г ' ] ? , i?(r|p)

=

[ Г ' а р Г ' ] 2 .

Доказательство закончено.

ТЕОРЕМА 7.12. Пусть Т'(п)!иу

— символ из § 3.5. Тогда для

почти

всех простых

чисел р каждое собственное значение Хр

матрицы Т'(р)2, ф

удовлетворяет

неравенству

| Хр | ^

2/?1/2.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

через

I)*

множество

{а 6 9х

I а =

1 mod(iV)}.

Группа

Г'

совпадает

с

группой

Г" из