Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 148

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

 

 

§ 7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ

V s

 

225

(3.5.1'). В силу

(3.5.6) преобразование Т'(р)2,^

является ограниче­

нием

преобразования [Г"ар Г"]2

на пространство S2(T0,

гр). Так как

пр

коммутирует

с лрг\р, то из

(7.5.1)

и (7.5.2)

следует, что

каждый

характеристический корень преобразования Ri{£,p) =

R{{%P)

имеет

вид

и. +

р/,

где

ц. — характеристический

корень преобразования

R'i(np),

а

ц.' — характеристический корень

преобразования

Л;(яр).

В

силу теоремы Вейля имеем | \х | =

| р/

| =

р 1 / 2 . Так как Л(|р ) =

= [Г"а р Г"] 2 ,

то

наше утверждение получается

для всех р,

не лежа­

щих в Щв .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прототип теоремы 7.9 появился еще в работах Кронеккера. Соот­ ношение (7.5.1) в приведенной формулировке впервые было дока­ зано Эйхлером [2] для группы T0(N) и ее подгрупп Г' индекса 2; им была получена теорема 7.12 для таких групп и теорема 7.11 для

группы T0(N).

Обобщение до предложенной формы и формула (7.5.2)

были даны в статье

автора [2]. В этой статье теорема 7.9, а вернее,

следствие 7.10

были доказаны с помощью

соотношений сравнения

для эллиптической

кривой с переменным

модулем. Предложенный

там метод проще нашего доказательства теоремы 7.9 в том смысле, что для него не нужен ни один результат теории комплексного умноже­

ния. Игуса [1] показал, что множество

простых чисел 25s содержится

в множестве всех простых делителей числа N;

этот

аспект мы не бу­

дем обсуждать в данной книге.

 

 

 

 

 

 

 

Пусть Д' — полугруппа из (7.3.7). Пусть

Т'(п)

и Т'(а,

d)

— эле­

менты

кольца R(T',

А'), описанные в § 3.3

(см., в частности,

теоре­

му 3.34). Обозначим через Т'(п)2

и Т'(а,

d)2

действие на пространстве

S2(T')

элементов

Т'(п) и Т'(а,

d)

соответственно (см. § 3.4,

3.5). Тогда

[ Г ' а „ Г ] 2 = Г 0 > ) 2

и

[Г'0рГ']2

=

Т'(р,

р)г

в

силу

(3.4.4)

и (3.3.11).

Поэтому, согласно теореме 7.11, дзета-функция кривой Vs над полем Q имеет вид

S ( « ; W Q ) = П d e t [ l - r (p)2p's + T' (PtPhp^T1.

Это выражение с точностью до конечного числа эйлеровых множите­

лей совпадает с рядом Дирихле

типа рассмотренного в § 3.3, 3.5,

3.6. Более точно, пусть Sh(T'0,

гр) и T'(n)ki ф те же, что в § 3.5. Тогда

пространство

Sk(T')

можно

представить в виде прямой суммы всех

пространств

^(Гд,

гр), для

которых

гр(1)) =

1. Положим

 

 

 

сю

 

 

 

 

 

Dk.*(s)=

2

Г

( B ) F T > +

. » - .

 

 

 

71=1

 

 

 

Тогда функция £(s; WQ) совпадает с точностью до конечного числа

эйлеровых

множителей с

произведением

(7.5.3)

D(s)=

П d e t [ A , . „ ( s ) ] .

15-01118

2213

 

 

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

 

 

 

Для

каждого

элемента

/ (z) — 2

апе2пЫг11

пространства

Sh (Г")

положим

 

71=1

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

(7-5.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L(s,f)=yAann-\

 

 

 

 

 

 

71=1

 

 

 

 

 

В силу сказанного в § 3.5, и, в частности, в предложении 3.47,

можно

найти

множество

элементов

{hi,

. . .,

hK)

пространства

Sk{T'0,

гр), для

которых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

(7.5.4') h4(z)=

2 ЛУ (в) e2«*w/«, 7zv |Г («)„ . * = Av

(и) /гу

(v = 1,

. . . , х ) ,

 

 

71=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det (£„,„,(*)) =

П

L ( s ,

hv).

 

 

 

 

 

 

 

v = i

 

 

 

 

 

(Множество {/jj, . . ., /г^} не обязано быть базисом в пространстве Sh(T'Q, гр).) Поэтому пз теоремы 3.66 и замечания 3.58 вытекает

ТЕОРЕМА 7.13. Дзета-функция t,(s; Vs/Q) кривой Vs над полем Q является целой функцией, удовлетворяющей некоторому функцио­ нальному уравнению.

В силу замечания 3.58 и теоремы 3.66 функциональное уравнение для L(s, f) имеет вид

R

(s, ft =

(tNf2 ( 2 я ) - Г (s) L (s, f) = ih-R (k-s, f | [x]k),

'О

— Л

. Указанные выше функции/^ не могут быть собст-

где т--=

Л Т

_

 

л

иJ

 

венными, функциями оператора [ т ] ь . Однако в силу предложения 3.57

и

результата

Гекке,

упомянутого

в замечании 3.56,

если N просто

и

t = 1,

то

hv |[т]2

=

e v /i v

для

базиса

{hi,

. . ., hK}

пространства

£ 2 ( Г 0 , яр), причем

ev

=

+ 1 игр — некоторый вещественный характер.

Если же характер гр не вещественный, то

[т] 2

переводит общую соб­

ственную

функцию операторов Т'(п)2, $

в общую собственную функ­

цию операторов Т'(п)2

^. Поэтому

ряд

Дирихле D(s)

пз (7.5.3) удов­

летворяет функциональному

уравнению

 

 

 

(7.5.5)

 

R (s) =

[Ns/2 (2я)-5

Г (s)]sD(s)

 

= ц . Д (2 — * ) ,

где (х = ± 1 и g — род кривой

Vs.

 

I | = д", в силу чего Г' =

 

Предположим,

например,

что

( = 1 и

=

Т'0 =

r 0 ( i V ) . В

соответствии с предложениями 1.40

и 1.43 кривая

V8

имеет

род 1 для следующих 12 значений

числа N:

(7.5.6)

И , 14,

15,

17, 19,

20,

21, 24,

27,

32, 36,

49.

 

 

 

 

 

 

 

§

7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ

V s

 

 

 

 

 

 

227

В этих случаях дзета-функция кривой Vs

равна (с точностью до пло­

хих

множителей)

 

 

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ (s;

V/Q) =

L (s,

h) = 2

 

 

cnn-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 11 ( l - c p p - r 1 - I I ( l - C p p - ' +

 

p 1 - 2 8 ) - 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

h{z)=

 

2

cne2ninz—некоторый

 

 

 

элемент

из

S2

(Г0 (TV")).

Можно

показать,

71=1

/ г | [ т ] 2

= — h

и,

следовательно,

 

функциональное

урав­

что

 

нение

 

имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

(s, h) = Ns/2

(2я)-* Г

 

(S) L (S, h) =

R (2—s,

/г).

 

 

 

 

Как

заметил Фрикке

[ 1 ] , эллиптическая

кривая

 

Г0(АО\^б* не обла­

дает

комплексным

умножением

 

 

для первых

восьми

значений

 

из

( 7 . 5 . 6 ) . Дальнейшие примеры см. в упражнении

 

7 . 2 6 ниже.

 

 

Рассмотрим теперь дзета-функции абелевых многообразий,

воз­

никающие как «множители» якобиана As

кривой

 

Vs.

Для

каждого

положительного

целого

числа

 

п

обозначим

через

| п

элемент

кольца End(^l s ), соответствующий сумме циклов

 

Xss(a)

для

всех

Г'аГ',

 

у

 

которых

 

а

6 Д'

и

det (а.) =

п.

 

Из

предложения

7.7

следует,

что

эндоморфизм

 

 

рационален

 

над

 

Q.

Более

того,

из диаграмм ( 7 . 2 . 2 ) и ( 7 . 2 . 6 ) видно, что отображение

£ п

соответствует

оператору

Т'(п)2.

Для

простоты

 

будем считать

в

 

дальнейшем,

что

( 7 . 5 . 7 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* =

1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

потеря

в

общности

при

этом,

как

показывает

замечание 3 . 5 8 , неве­

лика.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТЕОРЕМА 7 . 1 4 . Пусть

f(z) — элемент пространства

iS2 (r'),

являю­

щийся

 

общей

собственной

функцией

операторов

 

Т'(п)2

по

всем

п,

и f

| Т'(п)2

=

anf.

Пусть

К

— подполе поля

 

С,

порожденное

над

Q

комплексными

числами

ап

для

всех

п.

Тогда

существуют

абелево

подмногообразие

А

многообразия

As

и изоморфизм

9 поля К

в кольцо

Endq

(^4),

 

обладающие

следующими

свойствами:

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1 )

 

&im{A)

=

IK:

O J ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 )

 

Q(an) — ограничение

эндоморфизма

£n

на А

 

для

всех

п;

 

 

 

( 3 )

 

многообразие

А

определено

 

над

Q.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пара

(А,

0) однозначно

определяется

условиями

( 1 ) и ( 2 ) .

Кроме

того,

 

для

 

каждого

изоморфизма

 

 

о

поля

К

 

в

поле

С

существует

такой

элемент

/а

пространства

 

 

S2(T'),

что

f0\T'(n)2

=

a^fa

 

для,

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

всех

п

и

/о (z) =

2

 

a°e2ltinz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы можем и будем предполагать для простоты, что, f(z)•=*..

со

 

= 2 ane27linz

(см. теорему ( 3 . 4 3 ) ) .

71=1

22S

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

ТЕОРЕМА 7.15. Сохраняя обозначения теоремы 7.14, предположим, что I)* = дх в определении (7.3.5) групп U' и S. (Это означает, что

'Тогда дзета-функция многообразия А над полем Q совпадает с точ­ ностью до конечного числа эйлеровых множителей с произведением

оо

Г 1 ^ , / с ) = П ( 2 аа /г-8 )

которое

берется по всем изоморфизмам а

поля К

в поле

С.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м

7.14

и

7.15.

Пусть

 

£ —

подалгебра

кольца

Endg (As),

 

порожденная

эндоморфизмами

 

£Г1

для всех га. Если

. 4 S

имеет

размерность

g, то

в

силу теоремы

3.51

£ — коммутативная алгебра ранга g над полем

Q.

Пусть SR — ради­

кал алгебры £ . Согласно теореме Веддербёрна,

существует

такая

полупростая

 

подалгебра

<3 алгебры

£ , что £ =

(g®iR. Пусть $с4, . . .

. . ., Йг

— простые

компоненты

алгебры @. Тогда

отображение

£ п

»•

*—*• ап

определяет некоторый гомоморфизм р из £ иа поле К и, кроме

того,

р (hi) =

{0}

п p(S?j) ф

{0}

для одной и

 

только одной из

 

ком­

понент

 

й;,

скажем для S?t.

Гомоморфизм р определяет

изоморфизм

из ft, в А". Обозначим

через

р'

отображение,

обратное

к

этому

изо­

морфизму. Тогда р'-р

— проектирование из £

в Si и р'(ап)

— проек­

ция элемента t„ в алгебру

Я4 . Возьмем

целое число q ^

0 таким,

чтобы

ffi3t9

ф {0}

и

Si>lt9 + l

=

 

{0};

мы

полагаем ЧЯ° =

£.

 

 

 

Пусть Ш — неприводимый

й\-подмодуль

в

Sr\3t9.

Тогда

Ш —

минимальный

идеал

в

кольце

£ .

Положим

50i0 = Ш П End(.<4s)

и А — ШоА8.

 

Так

как

каждый

 

элемент из Шо определен над

Q,

то

А — абелево

подмногообразие

в

As,

определенное над

Q. Так

как

действие кольца £ на пространстве 5 2 (Г') совпадает с регулярным

представлением алгебры £ (см. теорему 3.51), то d i m ( ^ ) =

: Q]

=

= [Jl'i: OJ = IK: Q].

Для

каждого а 6 К,

для которого

р'(а) £

£ End( . 4 s ), обозначим

через

9(a) ограничение

элемента р'(а)

на

А.

Тогда отображение 0 можно продолжить до некоторого изоморфизма

поля К в кольцо Еш1о_(/1). Очевидно, что Q(an)

— ограничение

эндо­

морфизма

на А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для доказательства единственности пары (А,

0) рассмотрим

дру­

гую пару (А',

0'), удовлетворяющую условиям (1) и (2). Пусть As

—

комплексный

тор

Cs/L,

где L — некоторая решетка из Се.

Можно

считать, что

С8

=

£ 2 ( Г')

и

представляется

оператором

 

Т'(п)о

иа пространстве 5 2 (Г') . Пусть

W — подпространство в 5 2 (Г'),

соот­

ветствующее

многообразию

А'.

Так как Q'{an)

— ограничение

эндо­

морфизма ^R

на 4 ' ,

то

0'(р(|))

— ограничение

эндоморфизма

£ на

А'

для каждого

| £ £•

Поэтому А' (п, следовательно,

W) аннулируется

действием Ш и 5?г

для

i >

1.

Рассмотрим W как

модуль над

коль-

 

 

§ 7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ Уд

 

229

цом

Sti <S> QC или К

eg) Q C . Тогда легко найти такой базис

{fx, . . .

. . .,

fm) модуля

W над полем

С, что элемент / v

для каждого

а £ К

переводится отображением aavfv

в элемент 8'(а),

где a v

— некото­

рый

изоморфизм поля

К в поле С, фиксированный для

каждого v.

В данном случае

т =

сНт(^Г)

= [К : Q ] . Имеем

 

 

(*)

U\T'

(n)2 = ayv

( 1 < V < 7 7 1 , l < » < o o ) .

 

 

Согласно предложению 3.53 и следствию 3.44, элемент / v однозначно определяется> условием (*) с точностью до постоянных множителей. Поэтому изоморфизмы сгь . . ., ат различны и модуль W опреде­ ляется элементами / однозначно. Это означает, что многообразие А' единственно и, следовательно, А = А'. Доказательство теоремы 7.14 закончено.

Предположим, что I)* = д*. Пусть р — простое рациональное число, не принадлежащее множеству 23s - Согласно результатам Коидзуми иШимуры [1], Серра и Тейта [1], многообразие А не имеет дефекта в р. Так как ар £ Г', то г\р = 1, и соотношение (7.5.1) пре­ вращается в £.р = я п - j - Яр. Пусть Щ обозначает Z-адическое пред­ ставление кольца Епс1(Л) и яр1 — эндоморфизм Фробениуса редукции

А

степени р.

Те

же

рассуждения,

что и в теореме 7.11, приводят

к

равенству

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det [ 1 — и • R"i (n£) ] =

det [ 1 — Tw

(р)2и

+

ри2],

 

 

 

 

где Tw

(р)2

— ограничение

оператора Т'(р)2

на

W.

Отсюда

и из

(*)

следует

теорема 7.15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

получения дальнейшей информации, в частности в

 

случае

Ц* =г= 9Х> отметим сначала,

учитывая предложение 3.53, что

элемент

/

принадлежит

пространству

S2(T'0,

яр) при том единственном

харак­

тере яр группы

(Z/NZ)X,

для которого яр(1)) = 1, где

t) —

подгруппа

в (Z/iVZ)x , соответствующая

I)* . Значения яр(га), как вытекает из

(3.5.8)

и

утверждения

(5)

теоремы

3.34,

принадлежат

числовому

полю К. Пусть 3 — множество всех изоморфизмов поля К

в поле С.

Тогда

для

каждого о

g 3

элемент /с т принадлежит пространству

S 2 ( T ' 0 ,

яр°); это опять-таки вытекает из (3.5.8) и равенства рТ'(р, р)

=

=

Т'(р)2

—

Т'(р2).

Предположим теперь, что выполняется

следую­

щее условие:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.5.8)

для

каждого

а £ 3

все

операторы

Т'(п)2

^а

принадлежат

 

 

алгебре,

порооюденпой

над

Q операторами

Т'(п)2

^а

для всех

п,

 

 

взаимно простых

с

N.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.5.9)

поле

К

порождается

элементами ап над полем Q

для всех

п,

 

взаимно

простых

с

N.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы