Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 142
Скачиваний: 0
230 ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
В силу результата Гекке [5], приведенного в замечании 3.60, условие (7.5.8) выполняется, если яр — примитивный характер по мо-
"0 |
- 1 1 |
дулю N. Пусть т = pj. |
Q и р — элемент кольца E u d ( / l s ) , ассоци |
ированный с циклом X s s ( T ) . Пусть далее р — операция колгалексного
сопряжения. В силу предложения 3.55 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(7.5.10) а° = я|)(п)аа£Р для |
каждого |
a £ 3 |
" |
каждого |
п, |
взаимно |
про |
||||||
стого с |
N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому Кр = |
К н а°р = |
а£а |
для |
|
каждого |
о 6 3. |
так |
что |
поле К |
||||
вполне вещественно, |
если |
р — тождественное |
отображение |
на |
нем. |
||||||||
Если же это не так, то, как следует из предложения |
5.11, К должно |
||||||||||||
быть СМ-полем в |
смысле |
§ 5.5. |
Согласно |
предложению |
3.57, |
||||||||
fa |Ы2 7"(п)2 = |
Япр /а |
|[т]2 для |
всех п, взаимно простых с N. |
Поэтому |
|||||||||
в сплу (7.5.8) и следствия |
3.44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(7.5.11) для каждого |
изоморфизма |
о |
6 3 |
функция /с т |
|[т]2 отличается |
||||||||
от fap |
постоянным |
множителем. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, оператор [ т ] 2 переводит модуль W в себя, так что многообразие А инвариантно относительно 6. Таким образом, при меняя рассуждения, аналогичные использованным для доказатель ства теоремы 7.11, прпходим к первому утверждению следующей теоремы.
ТЕОРЕМЫ 7.16. Сохраняя |
обозначения теоремы |
7.14, |
предположим |
|||||||||||
что выполняется условие (7.5.8). Тогда дзета-функция |
многообразия |
А |
||||||||||||
над полем Q совпадает с |
точностью |
до конечного |
числа |
эйлеровых |
||||||||||
множителей |
с произведением |
\[ L(s, fg). |
Кроме |
того, |
если г|) — |
|||||||||
тривиальный |
характер, то поле К' |
вполне вещественно. |
Если |
же |
ха |
|||||||||
рактер |
\\> не тривиален, то К |
— чисто мнимое |
квадратичное |
расши |
||||||||||
рение |
вполне |
вещественного |
числового |
поля |
К' и |
существует |
такое |
|||||||
абелево |
многообразие А', |
что |
А |
изогенно |
произведению |
А' |
X |
А', |
||||||
а кольцо |
EndQ (А') содержит некоторый изоморфный |
образ |
поля |
К'. |
||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если характер гр тривиален, то поле К должно быть вполне вещественным в силу (7.5.10). Предположим, что характер гр не тривиален. Для каждого числа q, взаимно про стого с N, пусть aq имеет тот же смысл, что и в (7.3.8), a r\q обозна чает элемент кольца E n d ( 4 s ) , ассоциированный с /ss(o"q ). В силу предложения 7.8
(7.5.12) |
В = Ba r|g , если £а = |
для £ = е**/*. |
Так как гр — нетривиальный характер, то т|д Ф i d на А. Пусть \х — ограничение отображения В на А. Тогда р.а Ф ц. при некотором а £ Gal(Q(£)/Q), так что ц. отлично от ± 1 на А. Положим А' =
S 7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ V S |
231 |
= |
( 1 + \ь)А. Тогда А' Ф О, и |
так как |
\С- = 1 , то c l i m ( 4 ' ) < |
||
< |
сИт(Л) = |
\К : QJ . Из |
( 7 . 5 . 1 1 ) |
нолучаем, |
что |
( 7 . 5 . 1 3 ) |
(.10(a) = |
в(аР)j.i для каждого |
а £ К. |
||
|
Предположим, что поле К вполне вещественно. Тогда 9(a) опре |
||||
деляет некоторый эндоморфизм многообразия А' для каждого а £ К.
Поэтому поле К можно погрузить в кольцо |
EndQ^4'). С другой сто |
||||||||||||
роны, этого сделать нельзя |
в силу следующей леммы. |
|
|
||||||||||
|
ЛЕММА 7 . 1 7 . Пусть |
К — вполне |
вещественное |
поле алгебраических |
|||||||||
чисел и А' — абелево многообразие, |
определенное |
над некоторым под- |
|||||||||||
полем поля С. Если существует |
изоморфизм поля К в кольцо Endcj(.A'), |
||||||||||||
отображающий |
единичный элемент поля К в единичный элемент коль |
||||||||||||
ца |
End(^4), то число [К : Q] делит |
число |
dim(A'). |
|
|
|
|||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Пусть |
R и R0 |
обозначают представле |
||||||||
ния кольца E n d Q ( / l ) на £В(А) |
и на первой группе когомологий мно |
||||||||||||
гообразия А соответственно. Тогда представление R0 эквивалентно |
|||||||||||||
прямой сумме |
представления |
R и представления R, комплексно |
|||||||||||
сопряженного |
к R. Ограничим Л и Л" на образ |
поля К в кольце |
|||||||||||
Endc)(-4), который будем отождествлять с |
К. Тогда представление |
||||||||||||
R |
эквивалентно прямой сумме нескольких изоморфизмов |
поля К |
|||||||||||
в |
поле С. Так как поле К вполне вещественно, |
представление R |
|||||||||||
эквивалентно |
представлению |
R. С другой |
стороны, так как R0 — |
||||||||||
рациональное |
представление, |
то tr(i?(a)) = |
tr(.ff0 (a))/2 £ Q для каж |
||||||||||
дого а £ К. Поэтому |
степень представления |
R |
должна |
делиться |
|||||||||
на [К: Q]. Так как dim(A) |
— это как раз степень представления R, |
||||||||||||
то |
лемма доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Возвращаясь |
к доказательству |
теоремы |
7 . 1 6 , заключаем, что |
|||||||||
поле К является |
СМ-полем в смысле § 5 . 5 . Возьмем элемент |
Ъ поля |
|||||||||||
К, |
для которого |
0 ф Ъ = — Ъ и |
6(b) 6 End(4) . |
В силу |
|
( 7 . 5 . 1 3 ) |
|||||||
в(Ъ)А' = ( 1 - |
рЩЬ)А |
= ( 1 — \i)A. |
Поэтому |
|
А = ( 1 + |
ц.) + |
|||||||
-1 - |
( 1 — \.i)A = А' + Q(b)A', |
и, следовательно, |
многообразие А изо- |
||||||||||
генио А' X А'. Далее, |
если а 6 К и а" = а, то 0(а)Л'с= А' в соот |
||||||||||||
ветствии с ( 7 . 5 . 1 3 ) , так что кольцо E n d Q ( 4 ' ) |
содержит изоморфный |
||||||||||||
образ поля {а 6 К | аР = а} . Доказательство теоремы 7 . 1 6 закончено.
Пусть к — подполе расширения Q(e2 3 l i /J V ), определенное в пред ложении 7 . 8 . Тогда, согласно этому предложению, отображение В
определено над к и, значит, |
многообразие А' также |
определено над |
|
к. Кроме того, |
пусть К' = |
{а £ К I а? = а} и 0'(а) |
— ограничение |
преобразования |
0(a) на А' для каждого a £ К'. Тогда 0' — изомор |
||
физм поля К' в кольцо E n d Q ^ ' ) , и 0'(а) определено над к для каж дого a £ К'.
Естественно теперь рассмотреть дзета-функцию многообразия А' над полем к. Так как общее исследование было проведено в статье
232 ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
Т. Мияке [1] *), мы ограничимся здесь простейшим случаем и притом
в несколько иной |
формулировке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Помимо (7.5.8), потребуем еще выполнения следующих условий: |
|||||||||||||||||||
(7.5.14) |
характер |
гр группы |
(Z/iVZ)x |
имеет порядок |
2 и |
удовлетворяет |
|||||||||||||
|
равенству |
гр(—1) |
= |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(7.5.15) |
группа |
I)* |
соответствует |
ядру |
характера |
гр, |
так |
что |
|||||||||||
|
[gx :t)*] |
= |
2 |
и, |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Г |
= |
{ |
|
|
6 S L 2 |
(Z) | яр (а) = |
1, |
с = |
0 |
mod(iV)} . |
|
|
||||||
ТЕОРЕМА 7.18. Сохраняя |
обозначения |
теорем |
7.14 |
и 7.16, предполо |
|||||||||||||||
жим, что выполняются |
условия (7.5.8), (7.5.14) |
и (7.5.15). Пусть |
к — |
||||||||||||||||
квадратичное |
|
расширение |
поля |
Q, |
соответствующее |
характеру |
яр. |
||||||||||||
Тогда многообразие |
А' |
определено |
над полем к |
и |
Ае |
изогенно |
А' |
над |
|||||||||||
к, где е — образующая |
группы Gal(&/Q). Кроме |
того, |
дзета-функция |
||||||||||||||||
многообразия |
А' |
над |
к |
совпадает |
с точностью |
до конечного |
числа |
||||||||||||
эйлеровых множителей |
с |
произведением |
Д L(s, / а ) . |
|
|
|
|
||||||||||||
Заметим, |
что |
поле |
к |
вещественно, |
так |
как |
гр(—1) |
= |
1.. |
|
|
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Как было сказано выше, отображение В |
|||||||||||||||||||
(и, следовательно, его ограничение |
р, на многообразие А) |
определено |
|||||||||||||||||
над полем к, так что многообразие |
А' = (1 + \i)A |
определено над к. |
|||||||||||||||||
Пусть |
q — такое |
положительное |
целое |
число, |
что |
гр(д) = |
— 1 , |
и т] д |
|||||||||||
имеет тот же смысл, что в доказательстве теоремы |
7.16. Тогда r\q = |
||||||||||||||||||
= — 1 на А, |
так как параболические формы / а |
для всех а £ 3 |
содер |
||||||||||||||||
жатся в пространстве £ 2 ( Г„, гр). Поэтому, обозначая через е образую щую группы Gal(/c/Q) из (7.5.12), получаем
(7.5.16) |
|
|
|
|
|
|
|
и* |
- |
- р . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
А'г |
= |
[(1 + |
р)А]е |
= |
(1 — ц)А = |
Q(b)A',} |
где |
Ъ — |
|||||||||||
элемент |
поля |
К, |
рассмотренный |
в |
доказательстве |
теоремы |
7.16. |
|||||||||||||
Поэтому |
многообразие |
А'г |
изогенно многообразию |
А' |
над полем |
к. |
||||||||||||||
Для каждого простого |
идеала р поля |
к |
обозначим |
через |
срр |
эндо |
||||||||||||||
морфизм |
Фробениуса |
редукции |
А |
= |
р{А), |
степень |
которого |
равна |
||||||||||||
N |
(р), и |
через |
R\ |
обозначим |
Z-адическое представление |
кольца |
||||||||||||||
E n d ( ^ ) . |
Из (7.5.1) вытекает, что для любого простого |
рационального |
||||||||||||||||||
числа р, |
не содержащегося |
в множестве |
23s , справедливы равенства |
|||||||||||||||||
В(ар) = |
ЪР |
= лр |
+ |
гр(р)яр на А. |
Поэтому, |
если N(p) |
= |
р 2 , |
то |
срр |
= |
|||||||||
= |
лр, так |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) |
det [1 — u2R' |
(фд)] = |
det [1 — u-R\ (np)] |
-det [1 - f u-R[ |
(np)] |
= |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
det [ 1 — и • Ri (лp ) ] • det [ 1 — гр (p) и • R[ (лр) ] |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
det [1 — u • R{ (|p) -|- гр (p) |
pu2]. |
|
|
|
|
|||||||
l ) В этой статье рассматриваются также кривые Vs и многообразия Аз для групп S более общего типа, чем (7.3.5).
§ 7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ |
Vs |
233 |
Пусть Tw(p)2 — ограничение преобразования |
Т'(р)2 |
на W. Приме |
няя те же соображения, что и при доказательстве теоремы 7.11, убеждаемся в том, что правая часть в (*) совпадает с
(**) |
|
|
dettl — Tw(p)2u |
+ |
^{р)риЦ2. |
|
|||
С другой стороны, если (р) |
= рр' в поле к, |
то и фр , и фрг можно ото |
|||||||
ждествить с я р , так что |
|
|
|
|
|
|
|||
det [ 1 - |
и • i?z'i((pp)] • det [ 1 - |
и • R\ |
(Фр,)] |
= |
|
|
|
||
|
= |
det [1 — и . Д , ' ( я р ) ] 2 |
= |
|
|
|
|
||
|
- d e t [1 — i f i ?i 4 ( n p ) ] - d e t [1 — |
ip (р) и-Щ |
(я*)] = |
|
|||||
|
= |
det [1 — и • Ri |
(Ip) - j - яр (р) |
ри2], |
|
|
|||
а это |
совпадает с (**) по тем же причинам, что и выше. Следователь |
||||||||
но, функция |
А Ik) |
с точностью до |
конечного |
числа |
эйлеровых |
||||
множителей |
задается |
произведением [ ] |
L(s, |
/ с т ) г . |
Далее, |
многооб- |
|||
разие А изогенно произведению А' х А' над к. Поэтому, если срр — ограничение срр на р(А') и R1 обозначает Z-адическое представление кольца End(p(^4')), то
|
|
|
det [ 1 - |
и • R1 (ф°р)]2 |
= det [1 — u-Ri |
( Ф Р ) ] , |
|
|
|
|||||||||
так |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det[l-Tw(p)2u |
+ |
q(p) ри2] |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Г det [1 — и2 -Я? (ф°р), |
|
|
|
|
|
|
если |
N (р) = |
р2, |
|||||||
|
^ |
\ det [1 — u-i?? (ф°)].det [1 — и-Д?(ф°/)], |
если |
(р) = |
рр'. |
|
||||||||||||
Итак, наше утверждение для функции |
£(s; A'Ik) |
доказано. |
|
|
||||||||||||||
|
Отметим также, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(7.5.17) |
det [1 — u.fl?(q>|p] = |
d e t [ l —u.i??(<p£.)]. если |
(р) = |
ДО', |
|
|||||||||||||
так как |
dettl |
— и - . flj(n p )] |
есть квадрат |
обеих частей этого |
равенства |
|||||||||||||
(или потому, |
что |
А' |
изогенно |
А'г |
над |
к). |
|
|
|
|
|
|
||||||
Далее, [т]* = |
1, так |
что |
в |
силу (7.5.11) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
(7.5.18) |
|
|
/„ |
|[т]2 |
= |
т / о |
р 1 |
|
/ о р |
| [т] 2 |
= |
гЧо |
|
|
|
|
||
при |
некоторой константе |
7. |
(Из |
предложения |
3.40 |
следует, |
что- |
|||||||||||
\у |
| = |
1, НО |
этот |
факт |
нам |
не |
потребуется.) |
Следовательно, |
если |
|||||||||
мы |
положим |
L(s, А')=Ц |
|
L(s, |
/„), |
m = [К |
: Q] |
и R(s, |
А') |
= |
||||||||
= T(s)m(2n)-mSN™/2L(s, |
|
А'), |
то |
получим |
|
|
|
|
|
|
||||||||
(7.5.19) |
|
|
|
R(s, А') |
= |
|
Д(2 |
А'). |
|
|
|
|
|
|
||||
