Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

234

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

В качестве примера рассмотрим случай, когда

(7.5.20)

dim(52 (r;, гр)) =

2.

Если группа Г'

та же, что в (7.5.15), то S2{V)

=

S2(T'0)

+ S2(Y'0, гр).

Поэтому в соответствии с теоремой 3.51 операторы

Т'(п)2,

ц, образуют

ной либо некоторому квадратичному полю, либо кольцу

Q ф

Q.

Из теоремы 7.16 вытекает, что последний случай невозможен,

так

как поле Q не является чисто мнимым. Следовательно, алгебра

21

изоморфна некоторому квадратичному расширению К поля Q. В силу

теоремы 7.14 можно найти абелево подмногообразие А в As

размер­

ности 2 и изоморфизм 0 поля К в кольцо End Q ( . 4) . Согласно

теоре­

мам 7.16 и 7.18, поле К мнимое и А изоморфно произведению Е

X

Е,

кривой

Г„\<§*, то якобиан As

кривой Г \ $ *

изогенен произведе­

нию А

X А п. Эллиптическая

кривая Е такого

типа обладает очень

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.19.

Пусть группы

S и

V

те же, что в (7.3.5)

и (7.3.6), £)* =

g x ,

t ^

1 и

А $ — якобиево

многообразие

кривой

Vs,

рассмотренной

выше.

Пусть

Хп —

эндоморфизм

многообразия

As,

соответствующий

оператору

Гекке

Т'{п)2

на

пространстве

S2(X').

Если А — абелево подмногообразие

в As,

рациональное

над Q,

то

А

инвариантно

относительно Хп для всех п, взаимно простых

с N.

Кро­

ме того, если X — подпространство

в S2(V),

соответствующее

мно­

гообразию

А,

и Тх(п) — ограничение

оператора

Т'(п)2

на X, то

функ­

ция t,(s;A/(l)

совпадает

с точностью

до конечного числа эйлеровых

мно­

жителей

с det (

2

Тх(п)п~$).

(п,

N)=i

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть р — простое

рациональное

чис­

ло,

не делящее N. Для доказательства первого утверждения достаточ­

но установить,

что Хр(А) cz А. Предположим, что Хр(А) ф

А ш А*

=

=

ХР(А)

+ А. Тогда А* — абелево подмногообразие в 4 8 и

dim(4)

<

Если зхр и

л| те же, что

в доказательстве теоремы 7.11, то лр(А) =

=

п'р(А)

=

А,

так как А

рационально над Q; поэтому в соответствии

с

(7.5.1)

имеем

Xp(A)cz

А. (Заметим, что r\p — i d , так как

по усло­

вию ч * =

cjx .) Однако,

согласно общей теории редукции по

модулю

§ 7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

КРИВЫХ

Vs

235

р (см. Шимура

[1]), многообразие А* =

|р (>1) +

А имеет ту же раз­

мерность, что я А*;

мы пришли к противоречию. Поэтому £,Р{А)

с А.

Рассмотрим

теперь многообразие

As

как

комплексный

тор

S2(T')/L

(см. доказательство теоремы 7.14).

Тогда А

соответствует

векторному подпространству X пространства S2(V),

инвариантному

относительно Т'(п)г

для всех п, взаимно простых

с N.

Теперь

наше

ний, что и при доказательстве

теоремы 7.11.

Так как операторы Тх (п) для всех п, взаимно простых с N,

обра­

зуют

коммутативную

полупростую алгебру,

можно

найти

базис

{ / i ,

• • •) /г} подпространства

X над полем С, образованный общими

Собственными

функциями

всех

таких

операторов Тх(п).

Положим

Д, | Тх

(п) =

avnfv

при avn

6 С. Тогда для каждого

фиксированного

v

множество

{g

6 *52(Г')I g

I Т'(п)о

— avng

для всех

п, взаимно

простых

с N)

инвариантно

относительно

операторов

Т'(п)2

для всех

п

(не обяза­

тельно взаимно простых с N). Поэтому можно найти общую собст­

венную функцию g4

всех Т'(п)2,

для которой gv

| Т'(п)2

— bvngv

при

bvn

=

avn,

если (п, /У) = 1. В силу теоремы 3.43 можно считать, что

со

gv(z)

=

2

bvne2ninz^.

Это

показывает,

что

функция

£(s; Л/Q) для

го числа эйлеровых

множителей с произведением

г

L(s, gj.

Функ-

[ }

ции g v могут не содержаться

в подпространстве

v = l

Следует

также

X.

отметить,

что

2

bvneZlxinz

принадлежит пространству

S2(T0(N2))

(ср. Гекке

(n,

i V ) = l

[5, теорема 19]).

§

7.6. t-адические

представления

Прежде всего мы расширим понятие Z-адической координатной

системы абелева

многообразия А,

рассматривая

все относительно

А — абелево многообразие,

определенное над произвольным полем,

F

— поле алгебраических чисел конечной степени и 0 — изоморфизм

поля F в кольцо Епа<з(.<4), отображающий единичный элемент поля F

в

единичный элемент кольца End(^4). Положим g =

dini(.<4) и h =

=

IF : Q1. Согласно предложению 2 из книги Шимуры и Таниямы

[ 1 , § 5.1], число 2g кратно числу d; положим 2g = dh. Согласно

тому

же предложению,

(7.6.1) характеристический

многочлен преобразования

В(х) для

каж­

дого х (j F

является

d-й степенью

главного многочлена элемен­

та х, над

полем Q;

в частности,

deg(0(a:)) =

Np/Q(x)d.

236

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

(По поводу

символа deg( )

см. дополнение

10.)

Пусть о — максимальный

порядок

поля

F. Предположим, что

(7.6.2)

0(о)с= E n d (

4 ) .

(7.6.3)

Ala]

=

{* € А | 6(a)* =

0},

Л[а~]

=

U

Л1ап].

71=1

Легко

видеть, что

Alab]

= Ala]

+

Alb],

если

а и Ь взаимно просты

(ср.

Шимура и

Танияма

[ 1 , стр. 61, предложение

18]).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.20.

Если

абелево

многообразие

А

определено

над

полем, характеристика

которого

равна

0

или

взаимно

проста

с а, то группа

Ala]

изоморфна

прямой

сумме

d экземпляров

фактор­

группы

о/а.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

доказать

это

утверждение

в случае, когда а — степень какого-нибудь простого идеала t.

Сог­

ласно

теории

элементарных

делителей,

группа

Alln]

при

любом

положительном целом п изоморфна прямой

сумме

(*)

o/l™» ф . . .

© o/tm s

|(0 <

mi < . . .

<

т. <

п).

В книге Шимуры и Таниямы

[ 1 , стр. 56, предложение

10] доказано,

что

(7.6.4)

группа

Ala]

имеет порядок

N(a)d,

если характеристика

поля

определения

многообразия

А

равна

0 или взаимно проста с а.

Следовательно,

т\ + . . .

+

ms

=

nd. С другой

стороны,

(*)

озна­

чает, что группа Al{]

изоморфна группе (o/()s ; поэтому

в силу (7.6.4)

s =

d. Так как

m-t

^

п,

то т{

=

. . .

=

ms

=

п, и

доказательство

закончено.

Для

произвольного простого идеала

Г поля

F

обозначим

через

Fi

(соответственно

о{) 1-адическое

пополнение

поля

F

(соответ­

ственно кольца д). Зафиксируем

векторное Пространство

W

над

полем F размерности d и некоторую о-решетку D

в

W. (Под

о-решет-

кой в W понимается конечно порожденный о-подмодуль в W, порож­

дающий пространство

W

над

F.)

Положим W[

=

W

® р Fi

и

D[ =

0 Dl

Wx Л - А [ (»] 0.

§ 7.6. l-АДИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

237

Такую точную последовательность или такое

отображение

t

будем называть

Ьадической

координатной системой

на

многообра­

зии

А.

Пусть У —

подкольцо в

EndQ(^4),

состоящее из всех

элементов,

коммутирующих

с

эндоморфизмами

из

Q(F).

Каждый

элемент

|

из У П End(^4) индуцирует некоторый эндоморфизм

группы

Л[1°°],

получающийся из того единственного элемента

Щ (|)

кольца

EndCPFj, F{), который неподвижен относительного D[.

Так

мы

полу­

чаем

F-линейный

гомоморфизм

Щ:

Y->

End(Wu

F{)

(~Md

(FJ)).

Если К — Q и \ — VL при

некотором простом

рациональном

числе

I,

то

это будет

Z-адическое

представление Вейля (см. А. Вейль

[3,

№

31]).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.21. Для каждого

эндоморфизма

\ £ Y

харак­

теристический

многочлен Д преобразования

Ri (£) является

многочле­

ном с коэффициентами

из F,

не зависящим от {. Кроме

того,

норма

NF/Q

(fi) (понимаемая в

очевидном смысле)

является

характеристиче­

ским многочленом

эндоморфизма

£ в смысле А. Вейля

[3, №

67].

Д о к а з а т е л ь с т в о

дается

в

работе

автора

[10,

§

11.9].

Z

®pF{^Md(F{),

эквивалентного

некоторому

кратному

редуцированного

представле­

ния алгебры Z ® FF^ над

полем F{ по

модулю

нуль-представления.

Это можно

вывести

из

предложения

7.21

теми

же

рассуждения­

ми,

что и аналогичный

факт в книге Шимуры

и Таниямы [ 1 , § 5.1,

лемма 1].

Предположим теперь, что многообразие А

и

элементы кольца

Q(F)

П End(^4)

определены над некоторым

полем

алгебраических