Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

стандартную

фундаментальную

область

группы Г =

SLo(Z).

Пусть z £

<Q и a =

'а Ы

е SL2 (Z). Тогда

Im(a(z))

=

Im(z)/| cz

+

с d

-j-d

I 2 ,

и множество

{cz

-|- d

| с £ Z, d £ Z } является

решеткой

в

Поэтому

существует

ruin

\ cz -\- d \ для

(с,

d) Ф (0,

0) при с £

Z,

max Im(o(z)). Если

матрица о такова,

что

Im(a(z)) является этим

0£Г

о

Г

максимумом и w =

a(z)

=

а: -f- iy,

у

— 1 о

то

Im(7a(z))

=

]m( — l/w)

=

у,'\ w

|2 < у;

следовательно, | w | ^

1. Если т

' 1

Г

0

1 ,

то

Im(r'a(z))

= Im(o-(z))

для каждого h £ Z,

в силу чего | r'a(z)

| ^

1. Подбирая

подходящим

считать,

что

Im(z) ^

Im(z')

1 ш

<г>

Тогпа

(*)

| с

|-Im(z)

<

| cz

- I - d К

1.

Если с =

0, то а = d =

±

1 и, значит, z' =

z ±

5, а это невозможно.

Поэтому

с Ф

0.

Исследуя вид

области F, мы замечаем, что Im(z) > ]/"3/2;

поэто­

му в силу

(*)

имеет

место

равенство

| с

|

=

1. Далее,

из

(*)

полу­

чается, что

| z ±

d | ^

1. Но если z £ F i i

| d

| ^

1, то

| z +

d | >

Поэтому

d =

0,

так

что

\ z

| ^

1.

Это

противоречит

включению

z £ F. Таким образом, мы доказали, что F служит

фундаментальной

областью

для

Г.

Легко

проверить, что множество

F' = F U {z

6 С |

| z | >

1, Re(z) =

- 1 / 2 }

U

U {z 6 С |

| z |

=

1,

—1/2 < Re(z)

< 0}

36

ГЛ.

1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

пространства

28

и

ра

— гомеоморфизм

подпространства

Ua на

некоторое

открытое

множество в комплексной

плоскости

С;

(2)

если

Ua[\

Uf, Ф 0,

/по

отображение

голоморфно;

Р» ° Pa1: pa(Ua

П Щ) -> р&

(Ua

П Щ)

(3)

структура

S — максимальная

структура,

для

которой

выполняются

(1)

и

(2).

Отображение ра

часто называют локальным

параметром

в точках

множества Ua. Требование

(3) не существенно,

так как если

задана

структура S, удовлетворяющая требованиям (1) и (2), то существует

единственная комплексная структура S', содержащая S. Действи­

тельно, структура S' задается как множество всех пар (V,

q), обра­

зованных открытыми

множествами

V пространства

ЗВ и

гомеомор­

физмами q множества

V на некоторое открытое множество

плоскости

С, причем pa°q~1

и

q о р'1

голоморфны,

если

V [}

и а ф

0.

Определим теперь комплексную структуру на Г\^д*. Обозначим

через ф естественное

проектирование из

на Г\§* . Для

каждого

v £ ^ *

положим

Г 0

=

{у

6 Г

| y(v)

=

v}.

окрестность

U

точки

v, что

Г„ =

{у

<Е Г

| y(U)

П

U Ф

0}.

Тогда

мы имеем

естественное

вложение

ГД £ /

Г\^*,

и

мно­

жество ГД/7 служит открытой окрестностью

точки ср(у) в простран­

стве

ГД.'д*. Если v не является ни эллиптической,

ни

параболиче­

ской точкой, то группа Г„ содержит лишь 1 и, возможно,

— 1 , так что

отображение

<р: U

ГДС/

является

гомеоморфизмом. Мы

возьмем

пару

(ГД£ /,

ф - 1 ) в

качестве

компоненты

комплексной

структуры

на Г\<§*.

Далее, предположим, что v — эллиптическая точка, и обозначим

через

Г„

группу

преобразований

(Г в • { ± 1 } ) / { ± 1 } . Пусть

X — голо­

морфный

изоморфизм

полуплоскости

SQ на

единичный

круг D ,

при котором

X(v) =

0.

Если Г 0

имеет

порядок

п,

то

Л-Г^Л.- 1

состоит

из

преобразований

w

^

thw,

к =

0,

1,

. . .,

д

—

1,

£ =

е™'п.

В

таком

случае

мы можем

определить

отображение р:

ГДС/->• С

посредством

равенства

p(q>(z))

=

X(z)n.

Очевидно,

р

является гомео­

морфизмом

на

некоторое

открытое

подмножество

плоскости

С.

Пару (ГДС/', р) мы включаем в комплексную

структуру.

Пусть, наконец,

s — параболическая

точка

группы

Г

и

р —

такой

элемент из SL 2 (R),

что

p(s) =

оо.

Тогда

f

Г1

h~\m

\

р Г р - Ч + 1 } = { ± [ 0

4 J

I m e z }

38

ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

зависит только от Sffi, Ж', /

и ие зависит от ю0. Это число п мы назы­

ваем

степенью

накрытия.

Известно,

что

число

ветвящихся точек

(т. е. тех z0 , для которых е

> 1 )

конечно. Если g

— род поверхности

2В> а

S' — РОД поверхности 2В',

то

их

связывает

формула Гурвица

(1.5.1)

2g' - 2 =

n(2g

-

2)

+ 2

(ez -

1),

2 — 2g

=

с0

— с, +

с2 ,

2 — 2g'

=

с'0

— с[ + с'2.

Заметим,

что

с'„ =

пс2,

с[

=

л с ь

с'в

=

пс0

—

^

(ez

— 1).

Теперь

нужная

формула

получается

непосредственно.

Под

фуксовой

группой

первого

рода

мы

будем

подразумевать

такую

дискретную

подгруппу

Г

группы

SL2 (R)

(или

группы

S L 2 ( R ) / { ± 1 } ) ,

для

которой

пространство

Г\ф*

компактно. Если

r \ j g * наделить

определенной

выше

комплексной структурой, то

оно станет римановой поверхностью. Если Г'

— подгруппа

конеч­

ного индекса

в

Г,

то

естественное

отображение

Г'\ф* -*- Г у § *

определяет

в

уточненном

выше

смысле

некоторое

накрытие. Пусть

Г и Г'

— образы

групп

Г и Г'

при естественном

отображении

S L 2 ( R ) - v S L 2 ( R ) / { ± 1 } .

Тогда степень указанного накрытия равна [Г : Г'] .

Для

каждой

точки

z £ <д*

положим

г ,

=

{у е г

| y(z)

=

z},

г ;

-

Т г

n

Т '

и рассмотрим

коммутативную

диаграмму

тождественное

отображение*.

<Q*

-

I

> r\<g*

T

'

W

где каждое

отображение — естественное

проектирование.

Пусть

z 6 &wh, Р =

ф(г)

и

f-xp =

{qu

. . ., qh).

Выберем

в

точки

wh

так, чтобы qh =

(p'(wk).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.37. Индекс

ветвления eh

отображения

f

в точке

qu равен [Г,^: Гщ ] .

Кроме

того, если wh

= ah (z)

при oh

£ Г,

то