Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 140
Скачиваний: 0
§ 7.6. I-АДИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ |
239 |
Заметим, что функция £(s; А/к, F) зависит только от класса изогении дшогообразия А над к. Поэтому предположение (7.6.2) несу щественно; в самом деле, для данной пары (А, 0) при помощи неко торой изогеиии, рациональной над к, всегда можно найти другую
пару |
(А', 0'), для которой выполнено (7.6.2) (см. Шимура и Танияма |
[ 1 , § |
7.1, предложение 7]). |
Так как Я р — характеристический многочлен преобразования 9ц (а), то функция £(s; А/к, F) аналогична L-функциям Артина конеч ных нормальных расширений полей алгебраических чисел. Поэтому определение функции £(s; А/к, F) доставляет некоторый закон взаим ности для расширений R (() поля к (необязательно абелевых), на что уже указывалось в книге Шимуры и Таниямы [ 1 , § 18.5] и в работе автора [5, § 6.3]. По поводу дальнейшего обсуждения этой темы мы отсылаем читателя к работе Таниямы [1], а также к работам автора [8], [10] - [12] и Серра [1].
Возвращаясь к многообразию (А, 0), определенному над любым полем, а не обязательно над к, предположим, что А имеет поляриза цию 'if, обладающую следующим свойством:
(7.6.8) если |
* означает инволюцию кольца E n d o ^ ) , определенную |
поляризацией Ч§ (дополнение п. 13), то 0(a)* = 0(a) для каждого |
|
a£F. |
|
Так |
как |
* — положительная |
инволюция |
кольца |
EndoX^), |
то |
|||||||||
поле F должно быть вполне вещественным. Для простого рациональ |
|||||||||||||||
ного числа |
I, делящегося на I , положим |
Wi |
= W ® Q Q J И |
D |
I = |
||||||||||
— D ®zZ(. Тогда получим Z-адическую координатную |
систему |
|
|
||||||||||||
0-*- /?{->• Wi—>- A[l°°] |
->• 0 |
(точная |
последовательность). |
|
|
||||||||||
Выберем некоторый |
дивизор X |
в |
|
Согласно |
А. Вейлю [3, № |
76], |
|||||||||
с дивизором X можно связать невырожденную знакопеременную' |
|||||||||||||||
форму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я,: |
Wt |
|
X Wt-+ |
Q „ |
|
|
|
|
|
||
для которой |
Ei(x, |
у) |
£ Z j |
при |
всех |
(х, |
у) |
£Di |
X Dt |
и |
|
|
|||
(7.6.9) |
|
|
Ег |
(Д, (Я.) х, |
у) = |
Ег |
(х, |
Rt |
(к*) у) |
|
|
|
|||
для каждого |
к 6 Endq(j4), |
где |
Л ( |
— это |
Z-адическое |
представление |
|||||||||
кольца |
Endojyl). Пространство |
|
|
можно |
теперь очевидным |
обра |
|||||||||
зом отождествить с подпространством в Wi. Ограничим Et на Ц\ |
X |
||||||||||||||
X W-[. Согласно Шимуре [7, лемма 1.2], можно найти такую невы |
|||||||||||||||
рожденную знакопеременную |
форму |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Sx: W{ |
|
X Wt-+ |
Fv |
|
|
|
|
||||
что |
|
|
T r F l / Q , |
(5 t |
|
|
|
|
((х, у) £ Wx X |
|
|
|
|||
|
Et |
(х, у) = |
(х, у)) |
|
W{). |
|
|
||||||||
240 |
ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ |
Предположим, что А, X и элементы пересечения 6(F) f| End(^4) рациональны над конечным полем из q элементов. Пусть ср — эндо морфизм Фробениуса многообразия А степени q. Тогда
Sl(R{(y)x, у) = S{(x, Щ<р*)у).
Следовательно, преобразования i?i(cp) и #J(cp*) имеют один и тот же
характеристический |
многочлен. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть As, |
f, А, К |
и 0 те же, что в теореме 7.14, 4SS — |
канониче |
||||||||||
ская |
поляризация |
многообразия |
^4В |
и |
* — инволюция кольца |
||||||||
Endo_(.<4s ) , определенная поляризацией % s . |
Рассмотрим |
А8 |
как ком |
||||||||||
плексный тор C8/L и выберем риманову |
|
форму Es на |
пространстве |
||||||||||
С8, |
соответствующую |
дивизору поляризации |
Пространство |
||||||||||
можно отождествить с пространством 5 2 (Г') . Согласно |
свойствам (6) |
||||||||||||
и (9) |
из |
предложения |
7.2, |
' Z s s |
( a ) |
= Z s s |
( a _ 1 ) |
= Z s s ( a ^ ) |
для каж |
||||
дого a £ А', |
так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Es |
( [ Г а Г ] * х, |
у) = Еа |
(х, |
[ Г ' а Т ' ] 2 |
у) ((х, |
у)\£ С* X С*). |
||||||
В силу (3.3.13) это, в частности, означает, что (7.6.10) | ? = т|д££, если q взаимно просто с N.
Обозначим через Е ограничение формы Es на подпространство в С8, соответствующее многообразию А; тогда, согласно (7.4.10),
(7.6.11) |
|
Е (9(а,)ж, |
у) = |
Е(х, |
Q(aP)y). |
|
|
|
||
Пусть Y— дивизор |
на многообразии |
А, |
соответствующий |
форме |
Е, |
|||||
и |
ф у — изо гения |
из многообразия |
А |
в |
его многообразие |
Пикара, |
||||
ассоциированное |
с |
Y. Тогда |
из |
(7.6.11) следует, |
что 1 0 ( а ( ? ) ф у |
= |
||||
= |
фу 0(аР). Изменяя |
Y в его классе алгебраической |
эквивалентпостп, |
|||||||
мы можем предполагать, что дивизор У рационален над Q. Но тогда *0(а9 )фу ( Г = фу С Т -0(яР) для каждого a £ Gal(Q/Q) . Пусть X — сумма
всех различных дивизоров Y° для ст £ Gal(Q/Q). Тогда X определяет некоторую поляризацию 'ё многообразия А, рациональную над Q,
иг 0 ( а д ) ф х = ф;г0(аР ). Если через * обозначить инволюцию кольца
Endq(4), определенную поляризацией сё, то
(7.6.12) ®(а%) = 9(ад )*, если q взаимно просто с N.
Пользуясь редукцией подмодулю р, получаем соответствующее соот ношение на (^4, 0). Теперь можно следующим образом переформули ровать теоремы 7.15 и 7.18.
ТЕОРЕМА |
7.24. |
Пусть /, А, |
К |
и |
Q^me же, |
что в теореме |
7.14. |
Предположим, |
что |
Г' = Ta(N) |
и |
утверждение |
(7.5.9) справедливо. |
||
Тогда функция £(s; 4./Q, К) совпадает |
с L(s, f) с точностью до |
конеч |
|||||
ного числа эйлеровых |
множителей. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
§ 7.6. I-АДИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ |
|
|
|
241 |
||||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Имеем IK : Q] = |
сНш(^4), так что d = |
2. |
||||||||||||||||||||
По условию |
поле К вполне вещественно и 9(a)* = |
8(a) для |
каждого |
||||||||||||||||||||
а 6 К. |
Пусть |
|
Л[ и |
R{ |
обозначают |
Т-адические |
представления |
колец |
|||||||||||||||
Епс1(Л) |
и |
End(/1) |
соответственно. Из (7.5.1) |
получаем |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R{(np |
+ |
л|) |
= |
R{(Q(ap)) |
|
= |
а р 1 2 , |
|
|
|
|
|
||||||
так |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det |
[1 — u-R{ |
(лр)] - det [1 — и-R{ (лр)] = (1 —ари-\- ри2)2. |
|
|
|||||||||||||||||
Так как преобразования R\{np) |
|
и R{(np) |
имеют один и тот же харак |
||||||||||||||||||||
теристический |
многочлен |
(это |
было |
замечено |
выше), |
то |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
det [1 — u-R'i |
(яр)] = |
1 — ари |
|
ри2, |
|
|
|
|
|
|||||||||
и теорема |
доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ТЕОРЕМА |
|
7.25. |
Пусть |
|
выполнены |
|
условия |
(7.5.8), |
(7.5.14) |
||||||||||||||
и (7.5.15), а А', |
К' и к те же, что в теоремах |
7.16 |
и 7.18. Тогда |
функ |
|||||||||||||||||||
ция £(s; A'Ik, |
К') совпадает |
с точностью |
до конечного числа |
эйлеровых |
|||||||||||||||||||
множителей |
с |
L(s, |
f)L(s, |
fp), |
где |
р — комплексное |
сопряжение, |
а |
/р |
||||||||||||||
ттго же, что в теореме |
7.14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть срр и |
ф° те же, что в доказатель |
|||||||||||||||||||||
стве теоремы 7.18, ( — простой идеал в поле К' |
и |
R^ (соответственио |
|||||||||||||||||||||
R{, |
R\) |
обозначает |
t-адическое |
представление |
кольца |
End(A) |
(соот |
||||||||||||||||
ветственио |
End(/1), |
End(A')). |
|
Тогда, |
как |
и |
в |
доказательстве |
теоре |
||||||||||||||
мы |
7.18, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.6.13) |
|
|
det [ l 2 - u . i ? » [ |
( f P p ) ] 2 - d e t [ l 4 |
- u . i ? ' [ |
( V p |
) ] J |
|
|
|
|
||||||||||||
(7.6.14) |
det [U — u.Ri |
(9 (ap)) + |
p.ip (p) uH4] |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
J d e t [ l 4 - i t 2 i ? i ( 9 p ) ] , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
N(9) |
= |
p\ |
|||||||
|
~ [ d e t [ 1 4 — u-R\(yp)]-det |
|
|
[ 1 4 — u-R{(cpp>)], |
|
если |
(p) = pp'. |
||||||||||||||||
Согласно предложениям 7.21 и 7.22, характеристическими |
корнями |
||||||||||||||||||||||
преобразования i?j(9(a7 ,)) являются ар |
и а£, |
причем |
кратность |
каж |
|||||||||||||||||||
дого |
нз |
них равна 2. Поэтому |
левая часть равенства (7.6.14) равна |
||||||||||||||||||||
|
|
|
(1 |
- |
a.pu + |
р -гр(р)и2)2(1 |
-аРи |
+ |
р -гр |
(р)и2)2. |
|
|
|
||||||||||
Далее, |
по |
той |
же причине, |
что |
и |
в (7.5.17), |
преобразования -fff(cp°) |
||||||||||||||||
иi?°(cpp<) имеют одни и тот же характеристический многочлен, если
(р)= рр'. Поэтому
|
d e t [ l 2 - u . J R f ( ? p ] = d e t [ l 2 - u . i ? ° I ( ? p O ] = |
|
|
||
|
„ |
|
= 1 — ари + ри2, |
если |
(р) = рр', |
1 |
i D ) (1еЬ[1а -иа .Л?(ф?)] |
= |
|
|
|
|
= |
(1 — ари-\- ри2) (1—а^и — ри2), |
если |
N (р) = р2, |
|
а |
отсюда следует |
теорема |
7.25. |
|
|
16-01118
242 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ПРИМЕР |
7.26. |
Рассмотрим |
группу |
Г0 |
(N) |
для |
N=23, |
|
29, |
3 1 . |
|||||||||||||
Тогда |
род |
кривой |
|
Vs ( = Г0 |
(N) \ <§*) |
равен |
2. |
Было |
показано |
|||||||||||||||
(Дой |
[1]), |
что |
многообразие |
As |
просто |
и |
кольцо |
E n d Q |
(As) |
изо |
||||||||||||||
морфно полю Q (1^5), Q (1^2) или Q (1/5) |
соответственно, |
а |
кольцо |
|||||||||||||||||||||
End (As) |
|
изоморфно |
максимальному порядку |
этих |
полей. Поэтому, |
|||||||||||||||||||
взяв |
эти |
поля |
в |
качестве |
поля |
К, |
положим |
A—As. |
|
Существует |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
такой |
элемент |
/ (z) = |
У] апегпЫг |
|
пространства S2(T0(N)), |
|
что |
|||||||||||||||||
f\T' |
{n)2 |
— a , J |
для всех п, где ап |
взято из К. Тогда из |
теоремы |
7.23 |
||||||||||||||||||
следует, |
что |
функция |
£ (s; AslQ, |
К) — это |
по |
существу |
L (s, /) — |
|||||||||||||||||
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 ann~s |
(если / |
используется |
для |
|
определения |
0: К -»- E n d 0 |
(Л)), |
||||||||||||||||
|
71=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
С (s; 4 S /Q) — |
это |
по |
существу |
L (s, /) L (s, / а ) , где / а |
(z) = |
2 |
а^е2 ^"* |
||||||||||||||||
и |
о — образующая группы |
Gal (ЛГ/Q). |
|
|
|
|
|
|
|
п=1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ЗАМЕЧАНИЕ |
7.27. |
(А) |
В |
формулировке |
теоремы |
7.25 |
имеется |
||||||||||||||||
в |
виду, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
L |
(s, f) L (s, / р ) |
= |
[J |
(1 - |
арр-Г1 |
(1 - аРр-Г1 |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P\N |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
П |
(1 - а р р - * |
+ гр (р) pi - ») - i |
(1 - я Р р - |
+ |
ф (р) |
pi - ») - i . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
PliV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Положим |
i?(s) |
= |
Afs (2n)_ 2 i T(s)2 L(s, /)L(s, / р ) . Согласно |
теореме |
3.66, |
|||||||||||||||||||
R(s) |
= |
Л(2 — s). |
Если |
iV — простое |
число, |
то |
к = |
Q ( j / A 0 |
к |
N == |
||||||||||||||
= 1 mod(4). Кроме того, aj V aP = N в силу результата Гекке [5, теорема 61].
Можно высказать гипотезу, что если — простое число, то абелево многообразие А' имеет хорошую редукцию для простого идеала (|АЛ/) и, следовательно, для всех простых идеалов поля
Q([/"АО, |
|
а |
(1 — a J y/V' _ s ) _ 1 (l |
— a^N'3)'1 |
— эйлеров |
множитель |
||||||||||
£(*•; А'Ik, |
К') |
для |
(УIf). |
Это |
|
означает, |
что |
£(s; |
A'Ik, |
К') |
= |
|||||
= |
L(s, /) L(s, /р) |
без |
ограничений, |
связанных |
с плохими |
простыми |
||||||||||
числами. К |
этому вопросу мы еще вернемся в конце параграфа. |
|
||||||||||||||
|
(Б) Якобиево многообразие As |
кривой Vs часто имеет точки конеч |
||||||||||||||
ного порядка, рациональные |
над |
Q |
и |
получаемые следующим обра |
||||||||||||
зом. Для простоты предположим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
S = |
Q" - tf\ |
U' = |
{. * ^ |
eU\c |
= 0 |
mod(iV)J |
|
|
|
||||
и, |
следовательно, Г 3 |
= |
Q* •Г0(ЛГ). |
Пусть |
\р — характер |
порядка |
г |
|||||||||
группы |
(ZA/VZ)*, |
для |
которого |
ap(—1) = |
1, и |
? — подгруппа |
груп |
|||||||||
пы |
д", |
соответствующая очевидным, |
образом |
ядру |
характера гр. |
|||||||||||
