Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

§ 7.6. l-АДИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

243

Положим

[Га Ь~]

}

rr==QX,|

"А

егоwn>(«) = i } .

и ут

— циклическое накрытие кривой Vs

порядка

г; каждый

эле­

мент

группы Gs\(VT/Vs)

как

бирациопальный

автоморфизм кривой

У т определен над Q. Предположим,

что

(7.6.16) кривая

VT

неразветпвлена над

Vs.

Положим F =

Q(e2 n i /r ).

Пусть Р — проектирование из VT

на Vs.

Тогда поле функций F(VT)

порождается над F(VS)

° Р таким элемен­

том

h, что hr £ F(VS)

о Р и h о X = e2ni'rh,

где X — образующая груп­

пы G a l ( y T / F s ) . (По поводу символа

F(VS)

см. дополнение

4.)

Пусть

d i v T

(соответственно d i v s ) — дивизор

функции

на

кривой

VT

(соответственно на Vs).

Тогда

P(divT(h))

=

га

при

некотором

дивизоре а на кривой

Vs,

рациональном над F;

таким образом, диви­

зор

га линейно

эквивалентен

0. Для

каждого

0"£Gal(.F/Q)

имеем

(/г°)г

£ F(VS) ° Р,

так

что

/гст = fh при некотором

элементе

/

поля

F(VS)°P.

Очевидно, что дивизор а0 линейно эквивалентен дивизору а.

Поэтому,

если

t

— точка

многообразия , 4 S , соответствующая

клас­

су дивизоров дивизора а, то t рациональна над Q и rt

= 0. Если ct =

— 0

для

некоторого

целого

положительного

с <

г,

то са =

d i v s ( g )

при

g 6 F(VS);

следовательно,

P(divT{hc))

= r-divs(g).

Отсюда

d i v T ( / i c ) =

d i v r

( ^ о P), так что hz 6 F{VS)

° P;

мы

пришли к

проти­

(7.6.17) якобиан

As кривой Vs имеет точку порядка г,

рациональную

над Q, если выполнено условие (7.6.16).

Выполнение

условия (7.6.16) в каждом отдельном

случае легко

элементов группы T0(N)

содержатся

в

Г г .

Например, кривая

VT

неразветвлена

над

Vs

в

параболических

точках, если число

N

сво­

бодно от квадратов.

Пусть, например,

N =

23, 29, 31 . В

силу (7.6.17)

можно

найти

точку t на As

порядка

г

=

11, 7, 5 соответственно,

рациональную

над Q.

Пусть

К = Q ( j / 5 ) ,

Q ( ] / 2 ) ,

Q ( K 5 ) , как это

было в

приме-

оо

ре 7.26,

и /(z)

=

2

апе2лШ,

где а^ =

1 , — общая собственная

функ-

ция для всех операторов

Т'(п)2 на пространстве S2(T0(N)).

Определим,

изоморфизм 0 поля К на кольцо E n d Q (As)

относительно функции /,,

§ 7.7. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЕЙ КЛАССОВ

245

К — поле,

порожденное числами ап

над полем

Q для

всех п;

р — комплексное

сопряжение;

К' =

{х

е

К

| ХР = яг}.

Мы уже показали, что поле К'

вполне вещественное,

а поле К

чисто

мнимое. Далее,

(7.7.1)

«Р = i\y{n)an,

если п

взаимно

просто

с

N.

В теореме 7.14 было получено абелево многообразие А и некото­

рый изоморфизм

9 поля К в кольцо E n d o ^ ) ;

многообразие А и пре­

образования

0(a)

для

всех

а £ К

рациональны над

полем

Q;

пара

(А, 0) характеризуется свойствами

(1) и (2) из теоремы

7.14. Далее,

многообразие

А

обладает

таким

автоморфизмом

р.,

рациональным

над полем к,

что

(7.7.2)

р 2

= 1,

p.0(a)

=

0(aP)u.

(a 6

К),

(7.7.3)

и* =

- р .

Положим

(7.7.4)

А

=

(l

+

ii)A.

Мы уже видели, что А'

— абелево подмногообразие в А,

рациональ­

ное над к, и

(7.7.5)

А=А'+

А'*,

А'*

=

(1 -

у)А.

Обозначим

через

0'(а)

ограничение

эндоморфизма

0(a)

на

А'

для

каждого a £ К'.

Тогда 0' — изоморфизм поля К' в кольцо

E n d q ^ ' ) .

Можно,

конечно,

определить

и изоморфизм

0'Е

поля

К'

в

кольцо

E n d Q ( ^ ' E ) ,

положив

0'Е (а) =

0'(а)Е .

Очевидно,

9'Е (а) •— ограниче­

ние эндоморфизма 9(a) на

А'Е.

Пусть р

— простое

рациональное число, не делящее N,

и

р —

простой

идеал поля к,

делящий р.

Как было

замечено

в §

7.5,

Будем

отмечать знаком ~

объекты, редуцированные

по модулю

р.

Пусть

Лр —

эндоморфизм

Фробениуса редукции

А

степени р,

а

Лр — элемент

кольца

Епй(А), для

которого прпр

= р.

Из (7.5.1)

вытекает,

что

(7.7.7)

пр

+

^(р)п* =

Ъ(ар).

246

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

ко,

изменяя многообразие А с помощью подходящей

изогеиии над

Q, мы можем принять условие

0(о) cz Епс1(Л). Действительно,

пусть

т — такое положительное целое число, что

Q(mo)cz

ЕжЦА). В силу

предложений 7 и 8 из книги Шимуры и Таниямы

[1, § 7.1] можно

найти такие абелево многообразие А у, изоморфизм

Qy поля К в коль­

цо

End-Q^i) и изогеиию X из А

в Л,, что (i) X-Q(a)

=

Qy(a)X для всех

а£К;

(И)

et (o)cz E n d ^ O ;

(iii) Ker(A,) = {t £ A

| Q(mo)t = 0};

(iv)

многообразие

Ay,

изогения X и эндоморфизм

01 (a) при любом

а 6 о рациональны

над Q. Заметим, что

автоморфизм

\х переводит

Кег(Я,)

на себя. Поэтому можно определить

автоморфизм \Ху многооб­

разия Ау, рациональный над к, положив

\ХуХ = Х\х. Заменим Л, 0, a

на

Ау,

0 Ь

ixу и последние также будем

обозначать

через А,

0, \х.

Это изменение не нарушит соотношений

(7.7.2) и (7.7.3). Вновь

опре­

деляя

А'

равенством

(7.7.4),

мы опять

получаем

утверждения

автоморфизм

\х многообразия

А

и параболическая форма f(z) =

со

= 2

a n e 2 l t i n z i

для которой

выполняются соотношения (7.7.2) —

п=1

и

(7.7.7)

0(o)cz E n d ( 4 ) ,

8'(о') cz E n d ( 4 ' ) .

(7.7.8)

&о = (х

6 0 I х Р = —х }-

Пусть

Ъ — идеал

кольца о,

порожденный

множеством Ь0 . Тогда

bcz Ь. Заметим, что ап 6 Ь0,

если \р(п) = —1.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.28. Для

каждого

х £ Б0

имеет место

включение

-NK/Q{x)

е Nh/Q(kx).

Кроме

того, ЩЪ) 6

Nh/Q(kx).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

х £ 60 .

Тогда а г 1 ^ cz К'.

Пусть

п — дробный идеал поля К',

порожденный

над о' множеством х_ 1 Ьо-

Тогда

Б = хоп и,

следовательно,

N(b) =

NK/Q(x)N(n)2.

Поэтому

для доказательства предложения достаточно доказать, что — N K

/ Q ( X ) £

Выберем базис

{а>у, .

. ., соп} пространства 3)(А'), рациональный

над к. Тогда {со? ,

. . .,

со^} — базис пространства Э)(А'е). Согласно

§ 7.7. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЕЙ КЛАССОВ

247

(7.7.5)

и (7.7.2), отображение

В(х)

переводит А'

в

Аг

и

Ае

в А'.

п

Положим

сйло0(л;) =

2

Ума1

(п =

1,

• • ч ?г)>

Г Д е

£//и —

элементы

i = i

поля к. Применяя автоморфизм е к этому соотношению,

получаем

<ah°B(x) =

2 Ultab

0 Т К У Д а

м л ° ®(х*)

=

2

УемУи®г

Далее,

пред-

i

г,

j

регулярному

ставление поля i f ' на пространстве 3)(А')

эквивалентно

представлению

поля

К'

над полем

Q. Таким образом,

-NK/Q(x)

=

NK./Q(x*)

= det(yhi)-det(yhi)E

6

Nm{k*),

что и требовалось доказать.

ЗАМЕЧАНИЕ

7.28'.

Гекке [5, теорема 61] доказал, что aNat$

— N,

если N

— простое число. Поэтому

N

£

NKIK'(K*)-

Интересно

отме­

тить,

что

это — обращение

предложения

7.28.

(7.7.9)

идеал Ь взаимно прост с 2.

5 =

{t£A

| 0(b)* =

0} = АШ,

\) =

s П A',

j = 5 П

А'\

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.29. о'-модули

t)

и

j

изоморфны

модулю

о'/с

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

предложению

7.20, модуль

j

изоморфен модулю (b/Ь)2 . Заметим, что

модуль o/Ь изоморфен

моду­

лю

о'/с. Из определения идеала Ь следует, что модуль $ инвариантен

относительно автоморфизма

р. Поэтому

(1 + р)

j cz

t) и (1 —

p ) j cz

cr

j . Так как идеал

Ь взаимно прост с 2, то каждый элемент

t из £

можно записать

в виде t =

2s, где s £ j ,

так

что

£ =

(1 +

p)s

+

-(-

(1 —

p)s 6 t) +

J.

Если

и 6 t) П J .

то

2u =

0

и

u

= 0.

Этим

доказано равенство j

= t) ©

g. Продолжим

автоморфизм

e до

неко­

торого

автоморфизма

б поля

Q.

Тогда

б

определяет

некоторый

о'-изоморфизм модуля

I) в модуль g. Поэтому t) и g должны быть изо­

морфны модулю

о'/с.

Пусть F — поле,

порожденное над к координатами точек

из

5.

В

силу

предложения 7.29

можно

найти такой

элемент

s модуля t)